En mathématiques , les polynômes de Bessel sont une suite de polynômes orthogonaux . Il en existe plusieurs définitions, mais toutes liées. La définition la plus courante est celle donnée par la somme[ 1]
y
n
(
x
)
=
∑
k
=
0
n
(
n
+
k
)
!
(
n
−
k
)
!
k
!
(
x
2
)
k
{\displaystyle y_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(n+k)!}{(n-k)!\,k!}}\,\left({\frac {x}{2}}\right)^{k}}
Une autre définition, préférée dans le traitement du signal, est parfois appelée polynômes de Bessel inverses [ 2] , [ 3]
θ
n
(
x
)
=
x
n
y
n
(
1
x
)
=
∑
k
=
0
n
(
n
+
k
)
!
(
n
−
k
)
!
k
!
x
n
−
k
2
k
{\displaystyle \theta _{n}(x)=x^{n}\,y_{n}\left({\frac {1}{x}}\right)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(n+k)!}{(n-k)!\,k!}}\,{\frac {x^{n-k}}{2^{k}}}}
Les coefficients de la deuxième définition sont les mêmes que dans la première, mais l'ordre des monômes est inversé. On a ainsi, par exemple pour l'ordre 3 :
y
3
(
x
)
=
15
x
3
+
15
x
2
+
6
x
+
1
e
t
θ
3
(
x
)
=
x
3
+
6
x
2
+
15
x
+
15
{\displaystyle y_{3}(x)=15x^{3}+15x^{2}+6x+1\quad \mathrm {et} \quad \theta _{3}(x)=x^{3}+6x^{2}+15x+15\,}
Cette deuxième famille est utilisée dans la conception des filtres de Bessel .
Un polynôme de Bessel peut aussi être défini à partir des fonctions de Bessel , dont les polynômes tirent leur nom :
y
n
(
x
)
=
x
n
θ
n
(
1
x
)
{\displaystyle y_{n}(x)=\,x^{n}\theta _{n}\left({\frac {1}{x}}\right)\,}
y
n
(
x
)
=
2
π
x
e
1
/
x
K
n
+
1
2
(
1
x
)
{\displaystyle y_{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\,\mathrm {e} ^{1/x}K_{n+{\frac {1}{2}}}\left({\frac {1}{x}}\right)}
θ
n
(
x
)
=
2
π
x
n
+
1
/
2
e
x
K
n
+
1
2
(
x
)
{\displaystyle \theta _{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,x^{n+1/2}\mathrm {e} ^{x}K_{n+{\frac {1}{2}}}(x)}
où K n x )fonction de Bessel modifiée de deuxième espèce[ 2] :7,34 . Par exemple[ 4]
y
3
(
x
)
=
15
x
3
+
15
x
2
+
6
x
+
1
=
2
π
x
e
1
/
x
K
3
+
1
2
(
1
x
)
{\displaystyle y_{3}(x)=15x^{3}+15x^{2}+6x+1={\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\,\mathrm {e} ^{1/x}K_{3+{\frac {1}{2}}}\left({\frac {1}{x}}\right)}
Définition en termes de fonctions hypergéométriques [ modifier | modifier le code ] Un polynôme de Bessel peut aussi être défini comme une fonction hypergéométrique confluente [ 5]
y
n
(
x
)
=
2
F
0
(
−
n
,
n
+
1
;
;
−
x
/
2
)
=
(
2
x
)
−
n
U
(
−
n
,
−
2
n
,
2
x
)
=
(
2
x
)
n
+
1
U
(
n
+
1
,
2
n
+
2
,
2
x
)
.
{\displaystyle y_{n}(x)=\,_{2}F_{0}(-n,n+1;;-x/2)=\left({\frac {2}{x}}\right)^{-n}U\left(-n,-2n,{\frac {2}{x}}\right)=\left({\frac {2}{x}}\right)^{n+1}U\left(n+1,2n+2,{\frac {2}{x}}\right).}
On retrouve une expression similaire pour les polynômes de Bessel généralités (cf. infra)[ 2] :35 :
y
n
(
x
;
α
,
β
)
=
2
F
0
(
−
n
,
n
+
a
−
1
;
;
−
x
/
b
)
=
(
b
x
)
n
+
a
−
1
U
(
n
+
a
−
1
,
2
n
+
a
,
b
x
)
.
{\displaystyle y_{n}(x;\alpha ,\beta )=\,_{2}F_{0}(-n,n+a-1;;-x/b)=\left({\frac {b}{x}}\right)^{n+a-1}U\left(n+a-1,2n+a,{\frac {b}{x}}\right).}
Les polynômes de Bessel inverses peuvent s'exprimer à partir des polynômes de Laguerre généralisés :
θ
n
(
x
)
=
n
!
(
−
2
)
n
L
n
−
2
n
−
1
(
2
x
)
{\displaystyle \theta _{n}(x)={\frac {n!}{(-2)^{n}}}\,L_{n}^{-2n-1}(2x)}
dont on tire une expression sous forme de fonction hypergéométrique :
θ
n
(
x
)
=
(
−
2
n
)
n
(
−
2
)
n
1
F
1
(
−
n
;
−
2
n
;
2
x
)
{\displaystyle \theta _{n}(x)={\frac {(-2n)_{n}}{(-2)^{n}}}\,\,_{1}F_{1}(-n;-2n;2x)}
avec (−2n )n pour le symbole de Pochhammer .
L'inversion pour les monômes s'écrit
(
2
x
)
n
n
!
=
(
−
1
)
n
∑
j
=
0
n
n
+
1
j
+
1
(
j
+
1
n
−
j
)
L
j
−
2
j
−
1
(
2
x
)
=
2
n
n
!
∑
i
=
0
n
i
!
(
2
i
+
1
)
(
2
n
+
1
n
−
i
)
x
i
L
i
(
−
2
i
−
1
)
(
1
x
)
.
{\displaystyle {\frac {(2x)^{n}}{n!}}=(-1)^{n}\sum _{j=0}^{n}{\frac {n+1}{j+1}}{j+1 \choose n-j}L_{j}^{-2j-1}(2x)={\frac {2^{n}}{n!}}\sum _{i=0}^{n}i!(2i+1){2n+1 \choose n-i}x^{i}L_{i}^{(-2i-1)}\left({\frac {1}{x}}\right).}
Les polynômes de Bessel, avec un décalage d'indice, ont pour fonction génératrice
∑
n
=
0
∞
2
π
x
n
+
1
2
e
x
K
n
−
1
2
(
x
)
t
n
n
!
=
1
+
x
∑
n
=
1
∞
θ
n
−
1
(
x
)
t
n
n
!
=
exp
(
x
(
1
−
1
−
2
t
)
)
.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}x^{n+{\frac {1}{2}}}\mathrm {e} ^{x}K_{n-{\frac {1}{2}}}(x){\frac {t^{n}}{n!}}=1+x\sum _{n=1}^{\infty }\theta _{n-1}(x){\frac {t^{n}}{n!}}=\exp \left(x(1-{\sqrt {1-2t}})\right).}
En dérivant selon t et en annulant x , on obtient la fonction génératrice pour les polynômes
(
θ
n
)
n
≥
0
{\displaystyle \left(\theta _{n}\right)_{n\geq 0}}
∑
n
=
0
∞
θ
n
(
x
)
t
n
n
!
=
1
1
−
2
t
e
x
(
1
−
1
−
2
t
)
.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\theta _{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}={\frac {1}{\sqrt {1-2t}}}\mathrm {e} ^{x(1-{\sqrt {1-2t}})}.}
Une fonction génératrice similaire existe pour les
(
y
n
)
n
≥
0
{\displaystyle \left(y_{n}\right)_{n\geq 0}}
[ 1] :106 :
∑
n
=
0
∞
y
n
−
1
(
x
)
t
n
n
!
=
exp
(
1
−
1
−
2
x
t
x
)
.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }y_{n-1}(x){\frac {t^{n}}{n!}}=\exp \left({\frac {1-{\sqrt {1-2xt}}}{x}}\right).}
En posant t = z -xz 2 /2
e
z
=
∑
n
=
0
∞
y
n
−
1
(
x
)
(
z
−
x
z
2
/
2
)
n
n
!
.
{\displaystyle \mathrm {e} ^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }y_{n-1}(x){\frac {(z-xz^{2}/2)^{n}}{n!}}.}
Une définition utilisée plus couramment pour le calcul des valeurs des polynômes de Bessel est la formule de récurrence :
y
0
(
x
)
=
1
{\displaystyle y_{0}(x)=1\,}
y
1
(
x
)
=
x
+
1
{\displaystyle y_{1}(x)=x+1\,}
y
n
(
x
)
=
(
2
n
−
1
)
x
y
n
−
1
(
x
)
+
y
n
−
2
(
x
)
{\displaystyle y_{n}(x)=(2n\!-\!1)x\,y_{n-1}(x)+y_{n-2}(x)\,}
et
θ
0
(
x
)
=
1
{\displaystyle \theta _{0}(x)=1\,}
θ
1
(
x
)
=
x
+
1
{\displaystyle \theta _{1}(x)=x+1\,}
θ
n
(
x
)
=
(
2
n
−
1
)
θ
n
−
1
(
x
)
+
x
2
θ
n
−
2
(
x
)
{\displaystyle \theta _{n}(x)=(2n\!-\!1)\theta _{n-1}(x)+x^{2}\theta _{n-2}(x)\,}
Les polynômes de Bessel sont les solutions polynomiales de l'équation différentielle :
x
2
d
2
y
n
d
x
2
(
x
)
+
2
(
x
+
1
)
d
y
n
(
x
)
d
x
−
n
(
n
+
1
)
y
n
(
x
)
=
0
{\displaystyle x^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}y_{n}}{\mathrm {d} x^{2}}}(x)+2(x\!+\!1){\frac {\mathrm {d} y_{n}(x)}{\mathrm {d} x}}-n(n+1)y_{n}(x)=0}
et
x
d
2
θ
n
d
x
2
(
x
)
−
2
(
x
+
n
)
d
θ
n
(
x
)
d
x
+
2
n
θ
n
(
x
)
=
0
{\displaystyle x{\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta _{n}}{\mathrm {d} x^{2}}}(x)-2(x\!+\!n){\frac {\mathrm {d} \theta _{n}(x)}{\mathrm {d} x}}+2n\,\theta _{n}(x)=0}
Les polynômes de Bessel sont orthogonaux pour le poids e-2/x sur le cercle unité du plan complexe [ 1]
∀
(
n
,
m
)
∈
N
2
,
n
≠
m
⟹
∫
0
2
π
y
n
(
e
i
θ
)
y
m
(
e
i
θ
)
i
e
i
θ
d
θ
=
0
{\displaystyle \forall (n,m)\in \mathbb {N} ^{2},\ n\neq m\Longrightarrow \int _{0}^{2\pi }y_{n}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }\right)y_{m}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }\right)\mathrm {i} \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }\mathrm {d} \theta =0}
Une généralisation des polynômes de Bessel ont été suggérés dans la littérature scientifique (Krall, Fink), comme suit :
y
n
(
x
;
α
,
β
)
:=
(
−
1
)
n
n
!
(
x
β
)
n
L
n
(
−
1
−
2
n
−
α
)
(
β
x
)
,
{\displaystyle y_{n}(x;\alpha ,\beta ):=(-1)^{n}n!\left({\frac {x}{\beta }}\right)^{n}L_{n}^{(-1-2n-\alpha )}\left({\frac {\beta }{x}}\right),}
ce qui donne une généralisation des polynômes inverses avec :
θ
n
(
x
;
α
,
β
)
:=
n
!
(
−
β
)
n
L
n
(
−
1
−
2
n
−
α
)
(
β
x
)
=
x
n
y
n
(
1
x
;
α
,
β
)
.
{\displaystyle \theta _{n}(x;\alpha ,\beta ):={\frac {n!}{(-\beta )^{n}}}L_{n}^{(-1-2n-\alpha )}(\beta x)=x^{n}y_{n}\left({\frac {1}{x}};\alpha ,\beta \right).}
Les coefficients explicites des polynômes yn (x ; α , β)[ 1] :108 :
y
n
(
x
;
α
,
β
)
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
(
n
+
k
+
α
−
2
)
k
_
(
x
β
)
k
.
{\displaystyle y_{n}(x;\alpha ,\beta )=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(n+k+\alpha -2)^{\underline {k}}\left({\frac {x}{\beta }}\right)^{k}.}
Par conséquent, les polynômes θn (x ; α , β)
θ
n
(
x
;
α
,
β
)
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
(
2
n
−
k
+
α
−
2
)
n
−
k
_
x
k
β
n
−
k
.
{\displaystyle \theta _{n}(x;\alpha ,\beta )=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(2n-k+\alpha -2)^{\underline {n-k}}{\frac {x^{k}}{\beta ^{n-k}}}.}
Avec la fonction poids
ρ
(
x
;
α
,
β
)
:=
1
F
1
(
1
,
α
−
1
,
−
β
x
)
{\displaystyle \rho (x;\alpha ,\beta ):=\,_{1}F_{1}\left(1,\alpha -1,-{\frac {\beta }{x}}\right)}
on retrouve l'orthogonalité :
∀
n
≠
m
,
∮
c
ρ
(
z
;
α
,
β
)
y
n
(
z
;
α
,
β
)
y
m
(
z
;
α
,
β
)
d
z
=
0
{\displaystyle \forall n\neq m,\oint _{c}\rho (z;\alpha ,\beta )y_{n}(z;\alpha ,\beta )y_{m}(z;\alpha ,\beta )\mathrm {d} z=0}
avec C une courbe passant autour de l'origine.
On retrouve les polynômes de Bessel pour α = β = 2 , et on obtient bien la fonction poids vue au-dessus ρ(x ) = exp(−2 / x ) .
Formule de Rodrigues pour les polynômes de Bessel [ modifier | modifier le code ] La formule de Rodrigues pour les polynômes de Bessel comme solutions particulières des équations différentielles donnent :
B
n
(
α
,
β
)
(
x
)
=
a
n
(
α
,
β
)
x
α
e
−
β
x
d
n
d
x
n
(
x
α
+
2
n
e
−
β
x
)
{\displaystyle B_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)={\frac {a_{n}^{(\alpha ,\beta )}}{x^{\alpha }\mathrm {e} ^{-{\frac {\beta }{x}}}}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\left(x^{\alpha +2n}\mathrm {e} ^{-{\frac {\beta }{x}}}\right)}
où a (α, β)n
Selon cette généralisation, on trouve l'équation différentielle généralisée pour les polynômes de Bessel généralisés :
x
2
d
2
B
n
,
m
(
α
,
β
)
(
x
)
d
x
2
+
[
(
α
+
2
)
x
+
β
]
d
B
n
,
m
(
α
,
β
)
(
x
)
d
x
−
[
n
(
α
+
n
+
1
)
+
m
β
x
]
B
n
,
m
(
α
,
β
)
(
x
)
=
0
{\displaystyle x^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}B_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}(x)}{\mathrm {d} x^{2}}}+[(\alpha +2)x+\beta ]{\frac {\mathrm {d} B_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}(x)}{\mathrm {d} x}}-\left[n(\alpha +n+1)+{\frac {m\beta }{x}}\right]B_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}(x)=0}
avec
0
≤
m
≤
n
{\displaystyle 0\leq m\leq n}
B
n
,
m
(
α
,
β
)
(
x
)
=
a
n
,
m
(
α
,
β
)
x
α
+
m
e
−
β
x
d
n
−
m
d
x
n
−
m
(
x
α
+
2
n
e
−
β
x
)
.
{\displaystyle B_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}(x)={\frac {a_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}}{x^{\alpha +m}\mathrm {e} ^{-{\frac {\beta }{x}}}}}{\frac {\mathrm {d} ^{n-m}}{\mathrm {d} x^{n-m}}}\left(x^{\alpha +2n}\mathrm {e} ^{-{\frac {\beta }{x}}}\right).}
En désignant les zéros de yn (x ; α , β)α (n )k (α , β)θn (x ; α , β)β (n )k (α , β)[ 2] :82 :
2
n
(
n
+
α
−
1
)
≤
α
k
(
n
)
(
α
,
2
)
≤
2
n
+
α
−
1
,
{\displaystyle {\frac {2}{n(n+\alpha -1)}}\leq \alpha _{k}^{(n)}(\alpha ,2)\leq {\frac {2}{n+\alpha -1}},}
et
n
+
α
−
1
2
≤
β
k
(
n
)
(
α
,
2
)
≤
n
(
n
+
α
−
1
)
2
,
{\displaystyle {\frac {n+\alpha -1}{2}}\leq \beta _{k}^{(n)}(\alpha ,2)\leq {\frac {n(n+\alpha -1)}{2}},}
pour tout
α
≥
2
{\displaystyle \alpha \geq 2}
parties réelles négatives.
Des résultats plus fins peuvent être donnés en utilisant des théorèmes plus puissants sur l'estimation des zéros de polynômes (comme le théorème parabolique de Saff et Varga, ou des techniques d'équations différentielles[ 2] :88 , [ 6] [ 7]
2
2
n
+
α
−
2
3
≤
α
k
(
n
)
(
α
,
2
)
≤
2
n
+
α
−
1
.
{\displaystyle {\frac {2}{2n+\alpha -{\frac {2}{3}}}}\leq \alpha _{k}^{(n)}(\alpha ,2)\leq {\frac {2}{n+\alpha -1}}.}
Représentation graphique des six premiers polynômes de Bessel Les six premiers polynômes de Bessel sont :
y
0
(
x
)
=
1
y
1
(
x
)
=
x
+
1
y
2
(
x
)
=
3
x
2
+
3
x
+
1
y
3
(
x
)
=
15
x
3
+
15
x
2
+
6
x
+
1
y
4
(
x
)
=
105
x
4
+
105
x
3
+
45
x
2
+
10
x
+
1
y
5
(
x
)
=
945
x
5
+
945
x
4
+
420
x
3
+
105
x
2
+
15
x
+
1
{\displaystyle {\begin{aligned}y_{0}(x)&=1\\y_{1}(x)&=x+1\\y_{2}(x)&=3x^{2}+3x+1\\y_{3}(x)&=15x^{3}+15x^{2}+6x+1\\y_{4}(x)&=105x^{4}+105x^{3}+45x^{2}+10x+1\\y_{5}(x)&=945x^{5}+945x^{4}+420x^{3}+105x^{2}+15x+1\end{aligned}}}
Aucun polynôme de Bessel ne peut être factorisé avec des coefficients strictement rationnels[ 8]
Représentation graphique des six premiers polynômes de Bessel inverses Les six premiers polynômes de Bessel inverses sont donc :
θ
0
(
x
)
=
1
θ
1
(
x
)
=
x
+
1
θ
2
(
x
)
=
x
2
+
3
x
+
3
θ
3
(
x
)
=
x
3
+
6
x
2
+
15
x
+
15
θ
4
(
x
)
=
x
4
+
10
x
3
+
45
x
2
+
105
x
+
105
θ
5
(
x
)
=
x
5
+
15
x
4
+
105
x
3
+
420
x
2
+
945
x
+
945
{\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{0}(x)&=1\\\theta _{1}(x)&=x+1\\\theta _{2}(x)&=x^{2}+3x+3\\\theta _{3}(x)&=x^{3}+6x^{2}+15x+15\\\theta _{4}(x)&=x^{4}+10x^{3}+45x^{2}+105x+105\\\theta _{5}(x)&=x^{5}+15x^{4}+105x^{3}+420x^{2}+945x+945\end{aligned}}}
L'équation différentielle des polynômes de Bessel apparait dans l'étude de l'équation des ondes en coordonnées sphériques [ 9]
↑ a b c et d H. L. Krall et O. Frink , « A New Class of Orthogonal Polynomials: The Bessel Polynomials », Trans. Amer. Math. Soc. , vol. 65, no 1, 1948 , p. 100-115 (DOI 10.2307/1990516 ↑ a b c d et e (en) Emil Grosswald, Bessel Polynomials (Lecture Notes in Mathematics) , New York, Springer, 1978 (ISBN 978-0-387-09104-4 ↑ Christian Berg et C. Vignat , « Linearization coefficients of Bessel polynomials and properties of Student-t distributions 2000 (consulté le 16 août 2006 ) ↑ Wolfram Alpha example ↑ (en) Petre Dita et Nicolae Grama , On Adomian's Decomposition Method for Solving Differential Equations , 24 mai 2006 (lire en ligne ) ↑ (en) E. B. Saff et R. S. Varga, « Zero-free parabolic regions for sequences of polynomials », SIAM J. Math. Anal. vol. 7, no 3, 1976 , p. 344-357 (DOI 10.1137/0507028 ↑ (en) M. G. de Bruin, E. B. Saff et R. S. Varga, « On the zeros of generalized Bessel polynomials. I », Indag. Math. vol. 84, no 1, 1981 , p. 1-13↑ (en) Michael Filaseta et Ognian Trifinov, « The Irreducibility of the Bessel Polynomials », Journal für die Reine und Angewandte Mathematik vol. 2002, no 550, 2 août 2002 , p. 125–140 (DOI 10.1515/crll.2002.069 CiteSeerx 10.1.1.6.9538 ↑
http://bib.univ-oeb.dz:8080/jspui/bitstream/123456789/8804/1/MemoireMeradHadjer.pdf
Si ce bandeau n'est plus pertinent, retirez-le. Cliquez ici pour en savoir plus. « The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS) (vois les suites A001497 A001498 A104548 (en) Leonard Carlitz , « A Note on the Bessel Polynomials », Duke Math. J. vol. 24, no 2, 1957 , p. 151–162 (DOI 10.1215/S0012-7094-57-02421-3 MR 0085360 (en) H. Fakhri et A. Chenaghlou , « Ladder operators and recursion relations for the associated Bessel polynomials », Physics Letters A vol. 358, nos 5–6, 2006 , p. 345–353 (DOI 10.1016/j.physleta.2006.05.070 Bibcode 2006PhLA..358..345F S. Roman , The Umbral Calculus (The Bessel Polynomials §4.1.7) , New York, Academic Press, 1984 (ISBN 978-0-486-44139-9 
![{\displaystyle x^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}B_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}(x)}{\mathrm {d} x^{2}}}+[(\alpha +2)x+\beta ]{\frac {\mathrm {d} B_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}(x)}{\mathrm {d} x}}-\left[n(\alpha +n+1)+{\frac {m\beta }{x}}\right]B_{n,m}^{(\alpha ,\beta )}(x)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b97993876258b9509d5bcb22afb43617f44a692)
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