Fonction de Bessel modifiée

Les quatre premières fonctions de Bessel modifiées de première espèce

Les quatre premières fonctions de Bessel modifiées de deuxième espèce

Les fonctions de Bessel modifiées génèrent l'ensemble des solutions de l'équation différentielle

$x^{2}{\frac {{\text{d}}^{2}y}{{\text{d}}x^{2}}}+x{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}-(x^{2}+n^{2})y=0$.

Les fonctions de Bessel modifiées de première espèce I_n et de deuxième espèce K_n sont reliées à la fonction de Bessel de première espèce J_n par

$I_{n}(x)=\mathrm {i} ^{-n}\,J_{n}(\mathrm {i} x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!\,(m+n)!}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{2m+n}$,

$K_{n}(x)={\frac {\pi }{2}}{\frac {\mathrm {i} ^{n}J_{-n}(\mathrm {i} x)-\mathrm {i} ^{-n}J_{n}(\mathrm {i} x)}{\sin(n\pi )}}$ lorsque $n\notin \mathbb {Z}$ et

$K_{n}(x)=\lim \limits _{p\to n}{\frac {\pi }{2}}{\frac {\mathrm {i} ^{p}J_{-p}(\mathrm {i} x)-\mathrm {i} ^{-p}J_{p}(\mathrm {i} x)}{\sin(p\pi )}}$ lorsque $n\in \mathbb {Z}$

Propriétés de K_n

Intégrales

$K_{n}(z)={\frac {2^{n}\Gamma (n+1/2)}{\sqrt {\pi }}}z^{n}\int _{0}^{+\infty }{\frac {\cos x}{(z^{2}+x^{2})^{n+1/2}}}\,{\text{d}}x$

$K_{n}(z)={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{n}\Gamma (n+1/2)}}z^{n}\int _{1}^{+\infty }(x^{2}-1)^{n-1/2}\exp(-zx)\,{\text{d}}x$ (pour n > -1/2)

Voir aussi

• Fonction de Bessel
• Fonction de Bessel sphérique