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Opérateur différentiel

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En mathématiques, et plus précisément en analyse, un opérateur différentiel est un opérateur agissant sur des fonctions différentiables.

  • Lorsque la fonction est à une seule variable, l'opérateur différentiel est construit à partir des dérivées ordinaires.
  • Lorsque la fonction est à plusieurs variables, l'opérateur différentiel est construit à partir des dérivées partielles.

Un opérateur différentiel agissant sur deux fonctions est appelé opérateur bidifférentiel.

L'opération différentielle la plus commune consiste simplement à prendre la dérivée de la grandeur considérée. Les notations usuelles pour désigner la dérivée première par rapport à une variable x sont par exemple :

ou , ou encore ou .

La notation en D est attribuée à Oliver Heaviside, qui l'a introduite dans son étude des équations différentielles pour noter des opérateurs différentiels de la forme :

Pour des dérivées d'ordre n supérieur, ces mêmes opérateurs peuvent s'écrire :

, ou encore

La notation en "prime" s'utilise plutôt pour exprimer la valeur que prend une fonction dérivée f pour un argument x :

, ou :

Deux opérateurs différentiels particulièrement fréquents sont l'opérateur nabla, défini dans une base cartésienne , par :

ainsi que l'opérateur laplacien, défini par :

Un autre opérateur utilisé en physique est l'opérateur Θ, dont les vecteurs propres sont les monômes homogènes, défini par[1]

ou, dans le cas de plusieurs variables,

Soit un ouvert de , et un point de . On introduit les coordonnées . Supposons que l'on ait une fonction des variables .

Dérivées du premier ordre

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Pour simplifier les écritures, on note usuellement la dérivée partielle première par rapport à la coordonnée par le symbole :

On est également amené à introduire l'opérateur différentiel du premier ordre défini par :

Dans cette définition, est la « racine de l'unité » complexe : . L'intérêt de définir cet opérateur apparaîtra plus tard, en relation avec la transformée de Fourier.

On utilise les notations sous forme de multi-indices : un multi-indice est un -uplet d'entiers

Sa longueur est définie comme la somme des et on définit enfin la multi-factorielle :

Dérivées d'ordres plus élevés

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  • La dérivée partielle d'ordre par rapport à la coordonnée correspond au symbole :
  • On définit alors les dérivées partielles, d'ordre global  :
  • Et les opérateurs différentiels , d'ordre global  :

Définition d'un opérateur différentiel

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Définition

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Un opérateur différentiel linéaire d'ordre est défini par :

où les sont des fonctions de variables, appelées coefficients de l'opérateur .

Propriété de localité

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Un opérateur différentiel est local au sens où, pour déterminer ses effets sur une fonction suffisamment différentiable, seule la connaissance de la fonction dans le voisinage du point est nécessaire.

Transformée de Fourier

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Introduction de la transformée de Fourier

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On définit ici la transformée de Fourier de la fonction de variables par :

Dans cette définition :

  • on note le -uplet constitué des variables : .
  • la mesure est : .
  • le facteur dans l'exponentielle oscillante désigne le produit scalaire :.

La formule de transformation inverse s'écrit alors :

où la mesure est : avec .

Application aux opérateurs différentiels

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On applique l'opérateur différentiel à la représentation de Fourier de la fonction . En supposant qu'on puisse intervertir la dérivation et l'intégration, on obtient :

qu'on peut écrire : . On en déduit que :

où : . L'opérateur différentiel d'ordre vérifie donc la relation :

On peut intervertir la somme et l'intégrale pour écrire :

Symbole d'un opérateur différentiel

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On appelle symbole de l'opérateur différentiel d'ordre la fonction des variables polynomiale en de degré  :

de telle sorte que :

On constate que cette formule pourrait en fait permettre de définir l'opérateur à partir de son symbole . Cette idée sera mise à profit dans la théorie des opérateurs pseudo-différentiels.

Attention : pour un opérateur différentiel dont les coefficients ne sont pas constants, le symbole dépend des coordonnées d'espace , et l'expression n'est pas la transformée de Fourier de , c’est-à-dire que :

La formule correcte de la transformée de Fourier est calculée dans le paragraphe « Cas général ».

Symbole principal d'un opérateur différentiel

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On appelle symbole principal de l'opérateur différentiel d'ordre la fonction  :

Classification des opérateurs différentiels

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Opérateur elliptique

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L'opérateur différentiel est dit elliptique au point si et seulement si :

est dit elliptique dans s'il est elliptique pour tout point .

Opérateur hyperbolique

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L'opérateur différentiel est dit hyperbolique dans la direction au point si et seulement si : et si, pour tout non colinéaire à , les racines de l'équation :

sont toutes réelles. Si, de plus, les racines réelles sont toutes distinctes, l'opérateur est dit strictement hyperbolique dans la direction .

est dit (strictement) hyperbolique dans la direction dans s'il est strictement hyperbolique dans la direction pour tout point .

Exemples importants pour la physique théorique

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La physique théorique fait un usage abondant de trois opérateurs d'ordre 2 :

Opérateur laplacien

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L'opérateur laplacien est un opérateur elliptique, qui s'écrit :

  • en coordonnées cartésiennes dans  :
  • soit en coordonnées cartésiennes tridimensionnelles :

Cet opérateur est notamment utilisé en mécanique newtonienne, en électromagnétisme, et en mécanique quantique non relativiste.

Opérateur d'alembertien

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L'opérateur d'alembertien est un opérateur hyperbolique, qui s'écrit en coordonnées cartésiennes dans  :

est le laplacien à variables d'espace, est le temps, et une constante positive, homogène à une vitesse. Cet opérateur est utilisé pour décrire la propagation des ondes à la vitesse dans l'espace-temps. Il est notamment utilisé en acoustique, en électromagnétisme, et en théorie quantique des champs.

Opérateur de la chaleur

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L'opérateur de la chaleur, qui s'écrit en coordonnées cartésiennes dans  :

est le laplacien à variables d'espace, est le temps, et est ici une constante, appelée coefficient de diffusion. Cet opérateur est dit parabolique.

Opérateur différentiel à coefficients constants

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Si les coefficients sont indépendants des variables d'espace , le symbole de l'opérateur différentiel d'ordre est seulement une fonction des variables polynomiale en  :

de telle sorte que :

Le symbole principal de l'opérateur différentiel d'ordre à coefficients constants est la fonction des variables  :

Cas général

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On a vu que plus haut :

Pour un opérateur différentiel dont les coefficients ne sont pas constants, le symbole dépend des coordonnées d'espace , et on a  :

Expression de la transformée de Fourier

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Partons de la relation générale :

Si l'on introduit la transformée de Fourier des coefficients :

on obtient :

soit :

A fixé, on fait le changement de variable : , ce qui donne :

On reconnait le produit de convolution :

d'où :

qu'on peut réécrire :

Notes et références

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  1. (en) E. W. Weisstein, « Theta Operator » (consulté le )

Bibliographie

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  • (en) Lars Hörmander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators, Springer-Verlag, 1983-1985. Traité de référence en quatre volumes, par le récipiendaire de la médaille Fields 1962. Le volume I est sous-titré : Distribution theory and Fourier analysis, et le volume II : Differential operators with constant coefficients. Les volumes III et IV sont consacrés à la théorie moderne via les opérateurs pseudo-différentiels.
  • (en) Lars Hörmander, Linear Partial Differential Operators, Springer-Verlag, 1963. Ce livre contient les travaux pour lesquels l'auteur a obtenu la médaille Fields en 1962.
  • (en) Yu. V. Egorov et M. A. Shubin (en), Foundations of the Classical Theory of Partial Differential Equations, Springer-Verlag, 2e éd., 1998 (ISBN 3-540-63825-3). Premier volume d'une série qui en comporte neuf, écrits pour l'Encyclopaedia of Mathematical Sciences. Les volumes suivants sont consacrés à la théorie moderne via les opérateurs pseudo-différentiels.
  • (en) Michael E. Taylor (en), Partial Differential Equations - Basic Theory, coll. « Texts in Applied Mathematics » (no 23), Springer-Verlag, 2e éd., 1999 (ISBN 0-387-94654-3). Premier volume d'une série qui en comporte trois. Les volumes suivants sont consacrés à la théorie moderne via les opérateurs pseudo-différentiels.

Articles connexes

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