En mathématiques, et plus précisément en analyse, un opérateur différentiel est un opérateur agissant sur des fonctions différentiables.
- Lorsque la fonction est à une seule variable, l'opérateur différentiel est construit à partir des dérivées ordinaires.
- Lorsque la fonction est à plusieurs variables, l'opérateur différentiel est construit à partir des dérivées partielles.
Un opérateur différentiel agissant sur deux fonctions
est appelé opérateur bidifférentiel.
L'opération différentielle la plus commune consiste simplement à prendre la dérivée de la grandeur considérée. Les notations usuelles pour désigner la dérivée première par rapport à une variable x sont par exemple :
ou
, ou encore
ou
.
La notation en D est attribuée à Oliver Heaviside, qui l'a introduite dans son étude des équations différentielles pour noter des opérateurs différentiels de la forme :
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}c_{k}D^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16434e8d204c2a2ac40df8d32f5db2dcc965c817)
Pour des dérivées d'ordre n supérieur, ces mêmes opérateurs peuvent s'écrire :
,
ou encore ![{\displaystyle D_{x}^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c04aa91e9e84fcd59409af44839265596fb66b7)
La notation en "prime" s'utilise plutôt pour exprimer la valeur que prend une fonction dérivée f pour un argument x :
, ou : ![{\displaystyle [f(x)]'\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/378e6d0caf776c43fd10cced7d7f75e25e7b92b4)
Deux opérateurs différentiels particulièrement fréquents sont l'opérateur nabla, défini dans une base cartésienne
, par :
![{\displaystyle \nabla =\sum _{k=1}^{n}{\partial \over \partial x_{k}}\mathbf {i} _{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f12e5a997447cb21ab05949c53199356451828a)
ainsi que l'opérateur laplacien, défini par :
![{\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}=\sum _{k=1}^{n}{\partial ^{2} \over \partial x_{k}^{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04e3ad5a712f262381e8902affcecc55a2e0040f)
Un autre opérateur utilisé en physique est l'opérateur Θ, dont les vecteurs propres sont les monômes homogènes, défini par[1]
ou, dans le cas de plusieurs variables, ![{\displaystyle \Theta =\sum _{k=1}^{n}x_{k}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add03c961565fb007f37b7d2275f1593fa41e4b4)
Soit
un ouvert de
, et
un point de
. On introduit les
coordonnées
. Supposons que l'on ait une fonction des
variables
.
Pour simplifier les écritures, on note usuellement la dérivée partielle première par rapport à la coordonnée
par le symbole :
![{\displaystyle \partial _{k}\ =\ {\frac {\partial ~~}{\partial x_{k}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70799b0a9d0bd9b6957955e2848d9b1d4c53032a)
On est également amené à introduire l'opérateur différentiel
du premier ordre défini par :
![{\displaystyle \mathrm {D} _{k}\ =\ -\ \mathrm {i} \ \partial _{k}\ =\ -\ \mathrm {i} \ {\frac {\partial ~~}{\partial x_{k}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9aa9ee82d2d7ecc125e3f683df0ec36262b1d5e)
Dans cette définition,
est la « racine de l'unité » complexe :
. L'intérêt de définir cet opérateur
apparaîtra plus tard, en relation avec la transformée de Fourier.
On utilise les notations sous forme de multi-indices : un multi-indice
est un
-uplet d'entiers
![{\displaystyle \alpha \ =\ \left(\alpha _{1},\ \dots ,\ \alpha _{n}\right)\ ;\quad \ \alpha _{k}\,\in \,\mathbb {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a510c7cc35b34f217a19b49bd5e4439d4ca84cfe)
Sa longueur
est définie comme la somme des
et on définit enfin la multi-factorielle :
![{\displaystyle \alpha \,!\ =\ \prod _{k=1}^{n}(\,\alpha _{k}\,!\,)\ =\ \alpha _{1}\,!\ \times \ \dots \ \times \ \alpha _{n}\,!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ce7bdec9ebb6ab19d90b8583ea3d1aab9d16fd8)
- La dérivée partielle d'ordre
par rapport à la coordonnée
correspond au symbole :
![{\displaystyle \partial _{k}^{\alpha _{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c285031e5ede584631bcbef60631ceb136788b1)
- On définit alors les dérivées partielles, d'ordre global
:
![{\displaystyle \partial ^{\alpha }\ =\ \partial _{1}^{\alpha _{1}}\ \dots \ \partial _{n}^{\alpha _{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/355382f6083f2b456276671534b175c67791ee6b)
- Et les opérateurs différentiels
, d'ordre global
:
![{\displaystyle \mathrm {D} ^{\alpha }\ =\ \mathrm {D} _{1}^{\alpha _{1}}\ \dots \ \mathrm {D} _{n}^{\alpha _{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9eba00d2d38c89c0d22ae412e8373c623a5f41ad)
Un opérateur différentiel linéaire d'ordre
est défini par :
![{\displaystyle {\mathfrak {D}}\ =\ \sum _{|\alpha |=0}^{m}\ a_{\alpha }(x)\ \mathrm {D} ^{\alpha }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58960326abcfc6768f5a4b673bf2e3a9df3e8440)
où les
sont des fonctions de
variables, appelées coefficients de l'opérateur
.
Un opérateur différentiel
est local au sens où, pour déterminer ses effets
sur une fonction
suffisamment différentiable, seule la connaissance de la fonction dans le voisinage du point
est nécessaire.
On définit ici la transformée de Fourier de la fonction
de
variables
par :
![{\displaystyle {\hat {f}}(\xi )\ =\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} x\ \mathrm {e} ^{-\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93c8936daa6d9138f2832c5fc0dcffc2729a498c)
Dans cette définition :
- on note
le
-uplet constitué des variables :
.
- la mesure est :
.
- le facteur
dans l'exponentielle oscillante désigne le produit scalaire :
.
La formule de transformation inverse s'écrit alors :
![{\displaystyle f(x)\ =\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ {\hat {f}}(\xi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2754ea770c9e776a1c03a5690865d682b940afba)
où la mesure est :
avec
.
On applique l'opérateur différentiel
à la représentation de Fourier de la fonction
. En supposant qu'on puisse intervertir la dérivation et l'intégration, on obtient :
![{\displaystyle \mathrm {D} _{k}\,f(x)\ =\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ \left(\ -\ \mathrm {i} \ \partial _{k}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ \right)\ {\hat {f}}(\xi )\ =\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ \xi _{k}\ {\hat {f}}(\xi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d3ae72cb3e79ed5d38cbee44b8685832bd73d6d)
qu'on peut écrire :
. On en déduit que :
![{\displaystyle ({\widehat {\mathrm {D} ^{\alpha }\,f}})(\xi )\ =\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}(\xi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bb7b8c9106c6e4851a4d2e99385dde6555fbb8e)
où :
. L'opérateur différentiel
d'ordre
vérifie donc la relation :
![{\displaystyle ({\mathfrak {D}}\,f)(x)\ =\ \sum _{|\alpha |=0}^{m}\ a_{\alpha }(x)\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}(\xi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f15b31e51df0b6f31a1d8c3f1a9a8040f2185bf6)
On peut intervertir la somme et l'intégrale pour écrire :
![{\displaystyle ({\mathfrak {D}}\,f)(x)\ =\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ \left(\ \sum _{|\alpha |=0}^{m}\ a_{\alpha }(x)\ \xi ^{\alpha }\ \right)\ {\hat {f}}(\xi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c14cc7e954515cc0274dd43c6d01ab551f2f5a4b)
On appelle symbole de l'opérateur différentiel
d'ordre
la fonction
des
variables
polynomiale en
de degré
:
![{\displaystyle \sigma (x,\xi )=\sum _{|\alpha |=0}^{m}\ a_{\alpha }(x)\ \xi ^{\alpha }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec9634caaa893110a6edc22508469202d2a885be)
de telle sorte que :
![{\displaystyle ({\mathfrak {D}}\,f)(x)\ =\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ \sigma (x,\xi )\ {\hat {f}}(\xi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/766b27566a2b16781ff1f1924e91cc1eea72a2f4)
On constate que cette formule pourrait en fait permettre de définir l'opérateur
à partir de son symbole
. Cette idée sera mise à profit dans la théorie des opérateurs pseudo-différentiels.
Attention : pour un opérateur différentiel dont les coefficients
ne sont pas constants, le symbole
dépend des coordonnées d'espace
, et l'expression
n'est pas la transformée de Fourier de
, c’est-à-dire que :
![{\displaystyle ({\widehat {{\mathfrak {D}}\,f}})(\xi )\ \neq \ \sigma (x,\xi )\ {\hat {f}}(\xi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/411ac43ec23fd19e3176b01a5004b178efe10154)
La formule correcte de la transformée de Fourier est calculée dans le paragraphe « Cas général ».
On appelle symbole principal de l'opérateur différentiel
d'ordre
la fonction :
![{\displaystyle \sigma _{m}(x,\xi )=\sum _{|\alpha |=m}\ a_{\alpha }(x)\ \xi ^{\alpha }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bdf7e7c916d4b48d410bc2553a76c4c31d994db)
L'opérateur différentiel
est dit elliptique au point
si et seulement si :
![{\displaystyle \forall \ \xi \ \in \ \mathbb {R} ^{n}\backslash \{0\}\ ,\quad \sigma _{m}(x,\xi )\ \neq \ 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1952329a0d9fe47e741efd73b4a06d6230664491)
est dit elliptique dans
s'il est elliptique pour tout point
.
L'opérateur différentiel
est dit hyperbolique dans la direction
au point
si et seulement si :
et si, pour tout
non colinéaire à
, les racines
de l'équation :
![{\displaystyle \sigma _{m}(x,\ \xi \ +\ \lambda \,\eta )\ =\ 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe8b596370ad5a4480a49ac6721f64e496071dff)
sont toutes réelles. Si, de plus, les
racines réelles sont toutes distinctes, l'opérateur
est dit strictement hyperbolique dans la direction
.
est dit (strictement) hyperbolique dans la direction
dans
s'il est strictement hyperbolique dans la direction
pour tout point
.
La physique théorique fait un usage abondant de trois opérateurs d'ordre 2 :
L'opérateur laplacien est un opérateur elliptique, qui s'écrit :
- en coordonnées cartésiennes dans
:
![{\displaystyle \Delta \ =\ \sum _{k=1}^{n}\ {\frac {\partial ^{2}~~}{\partial x_{k}^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4840083fcf0ccc6a96a80ab04ff7a1ae6624866)
- soit en coordonnées cartésiennes tridimensionnelles :
![{\displaystyle \Delta \ =\ {\frac {\partial ^{2}~~}{\partial x^{2}}}\ +\ {\frac {\partial ^{2}~~}{\partial y^{2}}}\ +\ {\frac {\partial ^{2}~~}{\partial z^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f67999506587b8fcfc2271bfa316cefaea00a521)
Cet opérateur est notamment utilisé en mécanique newtonienne, en électromagnétisme, et en mécanique quantique non relativiste.
L'opérateur d'alembertien est un opérateur hyperbolique, qui s'écrit en coordonnées cartésiennes
dans
:
![{\displaystyle \Box \ =\ {\frac {1}{c^{2}}}\ {\frac {\partial ^{2}~~}{\partial t^{2}}}\ -\ \Delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5565d186b5d24def45f95e78580c020cc22716a2)
où
est le laplacien à
variables d'espace,
est le temps, et
une constante positive, homogène à une vitesse. Cet opérateur est utilisé pour décrire la propagation des ondes à la vitesse
dans l'espace-temps. Il est notamment utilisé en acoustique, en électromagnétisme, et en théorie quantique des champs.
L'opérateur de la chaleur, qui s'écrit en coordonnées cartésiennes
dans
:
![{\displaystyle {\frac {\partial ~}{\partial t}}\ -\ {\tilde {D}}\ \Delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78ee202eff8fe82fbae2cbbf9e051663088483d7)
où
est le laplacien à
variables d'espace,
est le temps, et
est ici une constante, appelée coefficient de diffusion. Cet opérateur est dit parabolique.
Si les coefficients
sont indépendants des
variables d'espace
, le symbole de l'opérateur différentiel
d'ordre
est seulement une fonction
des
variables
polynomiale en
:
![{\displaystyle \sigma (\xi )=\sum _{|\alpha |=0}^{m}\ a_{\alpha }\ \xi ^{\alpha }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a4753928e9e5094c0958685726a1e8bb9eb72a0)
de telle sorte que :
![{\displaystyle ({\widehat {{\mathfrak {D}}\,f}})(\xi )\ =\ \sigma (\xi )\ {\hat {f}}(\xi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4890518192f741da21651206807428e2b1a590e4)
Le symbole principal de l'opérateur différentiel
d'ordre
à coefficients constants est la fonction des
variables
:
![{\displaystyle \sigma _{m}(\xi )=\sum _{|\alpha |=m}\ a_{\alpha }\ \xi ^{\alpha }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bee5f33f1dd9670906fc40900b3972d07bdf9ef)
On a vu que plus haut :
![{\displaystyle ({\mathfrak {D}}\,f)(x)\ =\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ \sigma (x,\xi )\ {\hat {f}}(\xi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/766b27566a2b16781ff1f1924e91cc1eea72a2f4)
Pour un opérateur différentiel dont les coefficients
ne sont pas constants, le symbole
dépend des coordonnées d'espace
, et on a :
![{\displaystyle ({\widehat {{\mathfrak {D}}\,f}})(\xi )\ \neq \ \sigma (x,\xi )\ {\hat {f}}(\xi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/411ac43ec23fd19e3176b01a5004b178efe10154)
Partons de la relation générale :
![{\displaystyle ({\mathfrak {D}}\,f)(x)\ =\ \sum _{|\alpha |=0}^{m}\ a_{\alpha }(x)\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}(\xi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f15b31e51df0b6f31a1d8c3f1a9a8040f2185bf6)
Si l'on introduit la transformée de Fourier des coefficients :
![{\displaystyle a_{\alpha }(x)\ =\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\eta }}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\eta \,,\,x\,\rangle }\ {\hat {a}}_{\alpha }(\eta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e63d408c5eacdf6bc1c2c5e407c4164c905bb40f)
on obtient :
![{\displaystyle ({\mathfrak {D}}\,f)(x)\ =\ \sum _{|\alpha |=0}^{m}\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\eta }}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\eta \,,\,x\,\rangle }\ {\hat {a}}_{\alpha }(\eta )\ \times \ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}(\xi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55d3e7cdcfa2ca34d2c378b31e273a3ae7b17a61)
soit :
![{\displaystyle ({\mathfrak {D}}\,f)(x)\ =\ \sum _{|\alpha |=0}^{m}\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\eta }}\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ {\hat {a}}_{\alpha }(\eta )\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}(\xi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60f08961b335818ffbc3b590f44948cf9328b4e3)
A
fixé, on fait le changement de variable :
, ce qui donne :
![{\displaystyle ({\mathfrak {D}}\,f)(x)\ =\ \sum _{|\alpha |=0}^{m}\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {t}}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ {\hat {a}}_{\alpha }(t-\xi )\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}(\xi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed38263a0f82b57c7786241ff22fbe0d1ab474c7)
On reconnait le produit de convolution :
![{\displaystyle \left(\,{\hat {a}}_{\alpha }\ *\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}\,\right)(t)\ =\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ {\hat {a}}_{\alpha }(t-\xi )\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}(\xi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d4e52681518c44c4cd50b6982a02fec4983835f)
d'où :
![{\displaystyle ({\mathfrak {D}}\,f)(x)\ =\ \sum _{|\alpha |=0}^{m}\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {t}}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ \left(\,{\hat {a}}_{\alpha }\ *\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}\,\right)(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8d422e198fefe22f04ba82c1c367ece952caf03)
qu'on peut réécrire :
![{\displaystyle ({\widehat {{\mathfrak {D}}\,f}})(\xi )\ =\ \sum _{|\alpha |=0}^{m}\ \left(\,{\hat {a}}_{\alpha }\ *\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}\,\right)(\xi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f93aa0e7dd2949a9700e078925a89d8a17b2debe)
- (en) Lars Hörmander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators, Springer-Verlag, 1983-1985. Traité de référence en quatre volumes, par le récipiendaire de la médaille Fields 1962. Le volume I est sous-titré : Distribution theory and Fourier analysis, et le volume II : Differential operators with constant coefficients. Les volumes III et IV sont consacrés à la théorie moderne via les opérateurs pseudo-différentiels.
- (en) Lars Hörmander, Linear Partial Differential Operators, Springer-Verlag, 1963. Ce livre contient les travaux pour lesquels l'auteur a obtenu la médaille Fields en 1962.
- (en) Yu. V. Egorov et M. A. Shubin (en), Foundations of the Classical Theory of Partial Differential Equations, Springer-Verlag, 2e éd., 1998 (ISBN 3-540-63825-3). Premier volume d'une série qui en comporte neuf, écrits pour l'Encyclopaedia of Mathematical Sciences. Les volumes suivants sont consacrés à la théorie moderne via les opérateurs pseudo-différentiels.
- (en) Michael E. Taylor (en), Partial Differential Equations - Basic Theory, coll. « Texts in Applied Mathematics » (no 23), Springer-Verlag, 2e éd., 1999 (ISBN 0-387-94654-3). Premier volume d'une série qui en comporte trois. Les volumes suivants sont consacrés à la théorie moderne via les opérateurs pseudo-différentiels.