Opérateur pseudo-différentiel

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En analyse mathématique, un opérateur pseudo-différentiel est une extension du concept familier d'opérateur différentiel, permettant notamment l'inclusion d'ordres de dérivation non entiers. Ces opérateurs pseudo-différentiels sont abondamment utilisés dans la théorie des équations aux dérivées partielles et en théorie quantique des champs.

Rappels et notations[modifier | modifier le code]

On reprend ci-dessous les notations introduites dans l'article opérateur différentiel.

Opérateur différentiel[modifier | modifier le code]

Rappelons qu'un opérateur différentiel linéaire d'ordre s'écrit :

où les , appelées coefficients de l'opérateur , sont des fonctions des variables d'espace .

Introduction de la transformée de Fourier[modifier | modifier le code]

Définition[modifier | modifier le code]

On définit ici la transformée de Fourier de la fonction de variables par :

La formule de transformation inverse s'écrit alors :

Application aux opérateurs différentiels[modifier | modifier le code]

Le symbole de l'opérateur différentiel d'ordre est la fonction des variables polynomiale en  :

L'opérateur différentiel linéaire d'ordre vérifie alors la relation :

On constate que cette formule pourrait en fait permettre de définir l'opérateur à partir de son symbole . Nous allons mettre cette idée à profit dans le paragraphe suivant.

Introduction : opérateur pseudo-différentiel à coefficients constants[modifier | modifier le code]

Opérateur différentiel à coefficients constants[modifier | modifier le code]

Si les coefficients de l'opérateur différentiel d'ordre sont indépendants des variables d'espace , son symbole est seulement une fonction des variables polynomiale en  :


de telle sorte que :

soit encore, en utilisant la transformation de Fourier inverse[1] :

Définition : opérateur pseudo-différentiel à coefficients constants[modifier | modifier le code]

Soit une fonction des variables . On associe à cette fonction un opérateur pseudo-différentiel à coefficients constants, dont l'action sur une fonction est définie par l'intégrale suivante :

Pour que l'intégrale ait un sens, il faut que le symbole présente quelques « bonnes » propriétés :

  • la fonction doit être lisse.
  • la fonction doit avoir une croissance tempérée lorsque , cette croissance tempérée devant de plus s'améliorer par dérivation. Par analogie avec le cas d'un opérateur différentiel d'ordre , où cette croissance est polynomiale, on est amené à demander ici qu'il existe un nombre tel que :

où les sont des constantes, qui peuvent dépendre de .

Calcul symbolique exact[modifier | modifier le code]

Soient et deux opérateurs pseudo-différentiels à coefficients constants, définis respectivement par les symboles et . Alors, l'opérateur est encore un opérateur pseudo-différentiel à coefficients constants, dont le symbole est le produit .

Opérateur pseudo-différentiel : cas général[modifier | modifier le code]

Définition[modifier | modifier le code]

Soit une fonction des variables . On associe à cette fonction un opérateur pseudo-différentiel , dont l'action sur une fonction est définie par l'intégrale suivante :

Remarque : on note parfois cet opérateur pseudo-différentiel à partir de son symbole de la façon suivante :

Propriétés requises du symbole[modifier | modifier le code]

Pour que l'intégrale ait un sens, il faut que le symbole présente quelques « bonnes » propriétés, énoncées ci-dessous :

  • la fonction doit avoir une croissance tempérée lorsque , cette croissance tempérée devant de plus s'améliorer par dérivation. Par analogie avec le cas d'un opérateur différentiel d'ordre , où cette croissance est polynomiale, on est amené à demander ici qu'il existe un nombre tel que
    où les sont des constantes, qui peuvent dépendre de .
  • la fonction doit avoir une variation lente dans les variables d'espace . On demande explicitement que

Ces deux conditions peuvent être combinées en une seule, utilisée ci-dessous pour définir plus précisément la classe des symboles d'ordre .

Classe des symboles d'ordre m[modifier | modifier le code]

Soit un compact, et une fonction lisse de . Soit un nombre réel quelconque. La classe des symboles d'ordre est définie par :

pour tout , , et pour tous les multi-indices . Les sont des constantes, qui peuvent dépendre de et .

Remarque : lorsque la mention du compact est indifférente, on note simplement :

On note souvent l'ensemble des opérateurs pseudo-différentiels à symbole dans

Propriété de pseudo-localité[modifier | modifier le code]

image illustrant l’analyse
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Support singulier d'une distribution[modifier | modifier le code]

On appelle support singulier d'une distribution le complémentaire de l'ensemble des points au voisinage desquels est une fonction .

Calcul symbolique[modifier | modifier le code]

Soient des éléments de . Alors l'opérateur est aussi un opérateur pseudo-différentiel, dont le symbole, qui appartient à est donné par une somme asymptotique dont le premier terme est

Continuité dans les espaces de Sobolev[modifier | modifier le code]

On note l'espace de Sobolev standard d'ordre sur . Soient et deux nombres réels. Un opérateur pseudo-différentiel d'ordre sur (i.e un élément de ) est continu de dans .

Propriété de pseudo-localité[modifier | modifier le code]

Soit et soit le noyau de . Alors est pour . En particulier, pour toute distribution tempérée , supp sing supp sing

Bibliothèque virtuelle[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Serge Alinhac et Patrick Gérard, Opérateurs pseudo-différentiels et théorème de Nash-Moser, coll. « Savoirs actuels », EDP Sciences/CNRS éditions, 1991 (ISBN 2-86883-363-2). Issu d’un cours professé à l’École normale supérieure dans le cadre du magistère de mathématiques, ce livre s’adresse aux étudiants de troisième cycle de mathématiques désireux d’acquérir une formation de base en analyse.
  • Jacques Chazarain et Alain Piriou, Introduction à la théorie des équations aux dérivées partielles linéaires, Gauthier-Villars, 1981 (ISBN 2-04-012157-9).
  • (en) Yu. V. Egorov et M. A. Shubin (en), Elements of the Modern Theory of Partial Differential Equations, Springer-Verlag, 2e éd., 1999 (ISBN 3-540-65377-5). Cet ouvrage fait suite au volume d'introduction : Foundations of the Classical Theory of Partial Differential Equations, Springer-Verlag, 2e éd., 1998 (ISBN 3-540-63825-3).
  • (en) Lars Hörmander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators, Springer-Verlag, 1983-1985. Traité de référence en quatre volumes, par le récipiendaire de la médaille Fields 1962. Le volume III est sous-titré : Pseudo-Differential Operators, et le volume IV : Fourier Integral Operators.
  • (en) Lars Hörmander, Linear Partial Differential Operators, Springer-Verlag, 1963. Ce livre contient les travaux pour lesquels l'auteur a obtenu la médaille Fields en 1962.
  • (en) M. A. Shubin, Pseudodifferential Operators and Spectral Theory, Springer-Verlag, 2001 (ISBN 3-540-41195-X).
  • (en) Michael E. Taylor (en), Pseudodifferential Operators, Princeton Univ. Press, 1981 (ISBN 0-691-08282-0).
  • (en) Michael E. Taylor, Partial Differential Equations II - Qualitative Studies of Linear Equations, coll. « Applied Mathematical Sciences » (no 116), Springer-Verlag, 2e éd., 1997 (ISBN 0-387-94651-9). Cet ouvrage fait suite au volume d'introduction : Partial Differential Equations - Basic Theory, coll. « Texts in Applied Mathematics » (no 23), Springer-Verlag, 2e éd., 1999 (ISBN 0-387-94654-3).
  • (en) Michael E. Taylor, Partial Differential Equations III - Nonlinear Equations, coll. « Applied Mathematical Sciences » (no 117), Springer-Verlag, 2e éd., 1997 (ISBN 0-387-94652-7).
  • (en) François Treves, Introduction to Pseudo Differential and Fourier Integral Operators, coll. « University Series in Mathematics », Plenum Publ., 1981 (ISBN 0-306-40404-4).

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Cette formule est fausse lorsque les coefficients de l'opérateur différentiel ne sont pas constants.