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Opérations sur les équivalents

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Cet article synthétise les opérations valides sur les équivalents de fonctions, en analyse mathématique. Pour plus de détails, voir le cours correspondant sur Wikiversité.

Règles simples

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Si et alors .

On en déduit, si  :

  • pour tout ,  ;
  • pour tout , .

En supposant, pour que les quotients soient définis, que et ne s'annulent pas au voisinage de a, sauf peut-être en a :

si et alors .

En particulier :

si alors .

En supposant, pour que leurs puissances d'exposant quelconque soient définies, que f et g sont strictement positives au voisinage de a :

si alors, pour tout , .

Composition

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Composition à droite par une même fonction

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Si et si alors .

Quelques cas de composition à gauche

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Pour la composition à gauche, il n'existe pas de théorème général. Cependant, on peut remarquer certains cas particuliers.

Somme, différence

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Si et si (au voisinage de a) et sont de même signe et ne s'annulent pas simultanément, alors .

Composition à gauche par le logarithme

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En supposant, pour que leurs logarithmes soient définis, que f et g sont strictement positives au voisinage de a :

si et si ou (ou plus généralement : si « ne s'approche pas » de 1), alors .

Composition à gauche par l'exponentielle

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.

Si deux fonctions de signe constant sont équivalentes au point a, alors leurs primitives qui s'annulent en a sont équivalentes au point a.

Contre-exemples

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Somme, différence

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Sans hypothèses supplémentaires (voir supra), on ne peut pas faire la somme ou la différence de fonctions équivalentes.

Par exemple, mais .

Composition à gauche par l'exponentielle

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De , on ne peut pas déduire .

En effet, (voir supra).

Par exemple, mais .

Composition à gauche par le logarithme

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De , on ne peut pas déduire .

En effet, si alors (voir supra) , or en général .

Par exemple mais .

L'hypothèse que « ne s'approche pas » de 1 (voir supra) est indispensable.

Si et si f et g sont dérivables, on ne peut pas conclure que .

Par exemple quand x tend vers 0, et sont équivalentes, mais et , donc .

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