L'opérateur de Laplace -Beltrami est une généralisation de l'opérateur laplacien aux variétés riemanniennes .
On part de la définition
Δ
=
d
i
v
g
r
a
d
{\displaystyle \Delta =\mathrm {div} \ \mathrm {grad} }
, et l'on est ramené à définir la divergence et le gradient dans le cadre riemannien .
Avertissement : Dans cet article, on utilise la convention de sommation d'Einstein . Même quand le signe somme n'est pas omis, on s'impose la discipline de ne sommer que par rapport à un indice se trouvant à la fois en positions inférieure et supérieure.
Sur une variété différentielle
M
{\displaystyle M}
orientable , la divergence est naturellement associée
à une forme volume . Si
ω
{\displaystyle \omega }
est une telle forme,
toute autre forme de degré maximum s'écrit de façon unique
f
ω
{\displaystyle f\omega }
, où
f
{\displaystyle f}
est une fonction.
Cela s'applique à la dérivée de Lie de
ω
{\displaystyle \omega }
par rapport à un champ de vecteurs
X
{\displaystyle X}
.
La divergence de
X
{\displaystyle X}
(par rapport à
ω
{\displaystyle \omega }
) est l'unique
fonction telle que
L
X
ω
=
(
d
i
v
ω
X
)
ω
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =(\mathrm {div} _{\omega }X)\omega }
.
D'après la formule
L
X
=
d
∘
i
X
+
i
X
∘
d
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}=d\circ i_{X}+i_{X}\circ d}
, on a
L
X
ω
=
d
(
i
X
ω
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =\mathrm {d} (i_{X}\omega )}
. Donc, d'après la formule de Stokes, si
X
{\displaystyle X}
est à support compact ,
∫
M
(
d
i
v
ω
X
)
ω
=
∫
M
d
(
i
X
ω
)
=
0
{\displaystyle \int _{M}(\mathrm {div} _{\omega }X)\omega =\!\int _{M}\mathrm {d} (i_{X}\omega )=0}
Si
ω
{\displaystyle \omega }
s'écrit en coordonnées locales
θ
d
x
1
∧
⋯
∧
d
x
n
{\displaystyle \theta \mathrm {d} x^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n}}
,
on a
L
X
ω
=
(
L
X
θ
)
d
x
1
∧
⋯
∧
d
x
n
+
θ
∑
i
=
1
n
d
x
1
∧
⋯
∧
L
X
(
d
x
i
)
∧
⋯
∧
d
x
n
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =({\mathcal {L}}_{X}\theta )\mathrm {d} x^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n}+\theta \sum _{i=1}^{n}\mathrm {d} x^{1}\wedge \cdots \wedge {\mathcal {L}}_{X}(\mathrm {d} x^{i})\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n}}
(car
L
X
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}
est une dérivation).
Si
X
=
∑
i
=
1
n
X
i
∂
∂
x
i
{\displaystyle \textstyle X=\sum _{i=1}^{n}X^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}
, on a
L
X
d
x
i
=
d
(
L
X
x
i
)
=
d
X
i
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\mathrm {d} x^{i}=\mathrm {d} ({\mathcal {L}}_{X}x^{i})=d\mathrm {X} ^{i}}
,
d'où l'on tire
L
X
ω
=
(
L
X
θ
)
d
x
1
∧
⋯
∧
d
x
n
+
θ
∑
i
=
1
n
∂
X
i
∂
x
i
d
x
1
∧
⋯
∧
d
x
n
{\displaystyle \textstyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =({\mathcal {L}}_{X}\theta )\mathrm {d} x^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n}+\theta \sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial X^{i}}{\partial x^{i}}}dx^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n}}
,
et finalement,
d
i
v
ω
X
=
d
θ
(
X
)
θ
+
∑
i
=
1
n
∂
X
i
∂
x
i
{\displaystyle \textstyle \mathrm {div} _{\omega }X={\frac {\mathrm {d} \theta (X)}{\theta }}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial X^{i}}{\partial x^{i}}}}
.
Remarque sur l'orientabilité : L'introduction d'une forme volume suppose la variété orientable. Mais si on change la forme volume
ω
{\displaystyle \omega }
en son opposée,
d
i
v
ω
X
)
{\displaystyle \mathrm {div} _{\omega }X)}
ne change pas. En fait, la divergence
ne dépend que de la densité associée à
ω
{\displaystyle \omega }
.
Contrairement aux apparences, l'hypothèse d'orientabilté est inutile, on a en
fait utilisé une orientation locale.
L'exemple le plus important est celui de
la divergence définie par la forme volume canonique d'une métrique riemannienne .
d
s
2
=
g
i
j
(
x
)
d
x
i
d
x
j
{\displaystyle \mathrm {d} s^{2}\ =\ g_{ij}(x)\ \mathrm {d} x^{i}\mathrm {d} x^{j}}
En coordonnées locales
v
g
=
det
(
g
i
j
)
d
x
1
∧
⋯
∧
d
x
n
{\displaystyle v_{g}={\sqrt {\det(g_{ij})}}\mathrm {d} x^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n}}
.
D'après la remarque qui précède, il n'est nullement nécessaire de supposer la variété orientable.
Le déterminant des
g
i
j
{\displaystyle g_{ij}}
est souvent noté
g
{\displaystyle g}
,
notamment par ceux qui écrivent
d
s
2
{\displaystyle \mathrm {d} s^{2}}
la métrique riemannienne,
cela ne porte pas trop à confusion.
Gradient associé à une métrique riemannienne [ modifier | modifier le code ]
Le gradient d'une fonction (disons lisse)
f
{\displaystyle f}
est l'unique champ de vecteurs, noté
∇
f
{\displaystyle \nabla f}
, tel que
g
(
X
,
∇
f
)
=
d
f
(
X
)
{\displaystyle g(X,\nabla f)=\mathrm {d} f(X)}
pour tout champ de vecteurs
X
{\displaystyle X}
.
En coordonnées locales,
∇
f
=
∑
i
=
1
n
(
∑
j
=
1
n
g
i
j
∂
f
∂
x
j
)
∂
∂
x
i
{\displaystyle \nabla f=\sum _{i=1}^{n}\left(\sum _{j=1}^{n}g^{ij}{\frac {\partial f}{\partial x^{j}}}\right){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}
Ici,
g
i
j
(
x
)
{\displaystyle g^{ij}(x)}
est l'inverse du tenseur métrique , défini en coordonnées par
g
i
k
(
x
)
g
k
j
(
x
)
=
δ
i
j
{\displaystyle g_{ik}(x)g^{kj}(x)\ =\ \delta _{i}^{j}}
où
δ
i
j
{\displaystyle \delta _{i}^{j}}
est le symbole de Kronecker .
Définition et propriétés de base du laplacien [ modifier | modifier le code ]
On définit l'opérateur de Laplace-Beltrami comme l'opérateur différentiel du second ordre
Δ
f
=
d
i
v
(
∇
f
)
{\displaystyle \Delta f=\mathrm {div} (\nabla f)}
.
En coordonnées locales,
Δ
=
1
g
∂
i
[
g
g
i
j
∂
j
]
{\displaystyle \Delta \ =\ {\frac {1}{\sqrt {g}}}\ \partial _{i}\left[{\sqrt {g}}g^{ij}\partial _{j}\right]}
Si
f
1
{\displaystyle f_{1}}
et
f
2
{\displaystyle f_{2}}
sont
C
2
{\displaystyle C^{2}}
et à support compact
on a
∫
M
f
1
Δ
f
2
v
g
=
−
∫
M
g
(
∇
f
1
,
∇
f
2
)
v
g
=
∫
M
f
2
Δ
f
1
v
g
{\displaystyle \int _{M}f_{1}\Delta f_{2}v_{g}=-\int _{M}g(\nabla f_{1},\nabla f_{2})v_{g}=\int _{M}f_{2}\Delta f_{1}v_{g}}
Pour le voir, on remarque que si
f
{\displaystyle f}
est une fonction et
X
{\displaystyle X}
un champ de vecteurs,
d
i
v
f
X
=
f
d
i
v
X
+
d
f
(
X
)
=
f
d
i
v
X
+
g
(
X
,
∇
f
)
{\displaystyle \mathrm {div} fX=f\mathrm {div} X+\mathrm {d} f(X)=f\mathrm {div} X+g(X,\nabla f)}
En appliquant cette relation à
f
=
f
1
{\displaystyle f=f_{1}}
et
X
=
∇
f
2
{\displaystyle X=\nabla f_{2}}
, on obtient
∫
M
(
f
1
d
i
v
∇
f
2
+
g
(
∇
f
1
,
∇
f
2
)
)
v
g
=
∫
M
d
i
v
(
f
1
∇
f
2
)
v
g
=
0
{\displaystyle \int _{M}{\bigl (}f_{1}\mathrm {div} \nabla f_{2}+g(\nabla f_{1},\nabla f_{2}){\bigr )}v_{g}=\int _{M}\mathrm {div} (f_{1}\nabla f_{2})v_{g}=0}
puisque d'après la formule de Stokes l'intégrale de la divergence d'un champ
de vecteurs à support compact est nulle.
Cette formule exprime le fait que
Δ
{\displaystyle \Delta }
est un opérateur formellement autoadjoint
sur
C
∞
(
M
)
{\displaystyle C^{\infty }(M)}
, par rapport au produit scalaire global , défini par
⟨
f
1
,
f
2
⟩
:=
∫
M
f
1
f
2
v
g
{\displaystyle \langle f_{1},f_{2}\rangle :=\int _{M}f_{1}f_{2}v_{g}}
(noter l'analogie avec les opérateurs symétriques en dimension finie.)
⟨
f
,
Δ
f
⟩
=
−
∫
M
g
(
∇
f
,
∇
f
)
v
g
{\displaystyle \textstyle \langle f,\Delta f\rangle =-\int _{M}g(\nabla f,\nabla f)v_{g}}
est négatif ou nul. L'opérateur
−
Δ
{\displaystyle -\Delta }
est positif (c'est la raison pour laquelle beaucoup de géomètres riemanniens définissent l'opérateur de Laplace comme
−
d
i
v
g
r
a
d
{\displaystyle -\mathrm {div~grad} }
). Enfin, si
M
{\displaystyle M}
est une variété compacte sans bord, les seules fonctions à Laplacien nul sont les constantes (de même que les seules fonctions harmoniques sur un domaine compact de
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
, nulles au bord sont les constantes, la preuve est d'ailleurs la même).
Il existe plusieurs extensions du laplacien quand on sort du cadre des fonctions numériques pour l'appliquer à des formes différentielles , des tenseurs ou de façon générale à des sections de fibrés vectoriels sur la variété riemannienne. Elles partagent certaines propriétés : le même symbole principal , le caractère elliptique . Et elles sont reliées les unes aux autres par des formules faisant intervenir la géométrie de la variété par sa courbure .
(en) Peter Sarnak , « Spectra of hyperbolic surfaces », Bull. Amer. Math. Soc. , vol. 40, 2003 , p. 441-478 (lire en ligne )
(en) Isaac Chavel, Eigenvalues in Riemannian Geometry , Academic Press