Norme asymétrique
En mathématiques, une norme asymétrique sur un espace vectoriel est une généralisation du concept de norme.
Définition[modifier | modifier le code]
Une norme asymétrique sur un espace vectoriel réel est une fonction qui est :
- sous-additive, i.e. satisfait à l'inégalité triangulaire : pour tous ;
- positivement homogène : pour tout et tout nombre réel positif ou nul
- définie positive : pour tout non nul.
Les normes asymétriques diffèrent des normes dans la mesure où l'on n'a pas nécessairement l'égalité .
Si la dernière condition est omise, c'est-à-dire si l'on ne suppose pas que est définie positive, on dit que est une semi-norme asymétrique. Une condition plus faible qu'être définie positive est d'être non dégénérée : au moins l'un des deux nombres et n'est pas nul.
Exemples[modifier | modifier le code]
Sur la droite réelle la fonction donnée par
Dans un espace vectoriel réel la fonctionnelle de Minkowski d'une partie convexe qui contient l'origine est définie par la formule :
pour .
Cette fonctionnelle est une semi-norme asymétrique lorsque est un ensemble absorbant, ce qui signifie que et assure que est fini pour tout .
Correspondance entre semi-normes asymétriques et sous-ensembles convexes de l'espace dual[modifier | modifier le code]
Si est une partie convexe qui contient l'origine, alors on peut définir une semi-norme asymétrique sur par la formule
- définie positive si et seulement si l'origine appartient à l'intérieur topologique de ;
- dégénérée si et seulement si est contenu dans un sous-espace vectoriel de dimension strictement inférieure à ;
- symétrique si et seulement si .
Plus généralement, si est un espace vectoriel réel de dimension finie et si est une partie convexe compacte de l'espace dual qui contient l'origine, alors est une semi-norme asymétrique sur .
Articles connexes[modifier | modifier le code]
- Jauge, ou fonctionnelle de Minkowski : généralisation de semi-norme définie par une partie convexe qui contient l'origine
- Espace de Finsler : variété lisse dont tous les espaces tangents sont munis d'une fonctionnelle de Minkowski
Notes et références[modifier | modifier le code]
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Asymmetric norm » (voir la liste des auteurs).
- Ştefan Cobzaş, « Compact operators on spaces with asymmetric norm », Stud. Univ. Babeş-Bolyai Math., vol. 51, no 4, , p. 69-87 (ISSN 0252-1938, MR 2314639)
- Ştefan Cobzaş, Functional Analysis in Asymmetric Normed Spaces, Basel, Birkhäuser, coll. « Frontiers in Mathematics », , x+219 (ISBN 978-3-0348-0477-6, DOI 10.1007/978-3-0348-0478-3).