Module élastique

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La connaissance du module et son évolution en fonction de T sont nécessaires pour la sélection du matériau le plus adapté.

Le module d'élasticité (souvent appelé à tort "module élastique") est une grandeur intrinsèque d'un matériau, définie par le rapport de la contrainte à la déformation élastique provoquée par cette contrainte. La déformation est exprimée comme une grandeur sans dimension. L'unité pratique souvent usitée du module est le MPa.

Le comportement élastique d'un matériau homogène isotrope et linéaire est caractérisé par deux modules (ou constantes) d'élasticité indépendants. Le tableau nommé « Formules de conversion » en bas de page indique les relations des paires de modules d'élasticité, sur un total de six modules : E, G, K, M, ν[1] et λ. L'utilisation des relations données dans ce tableau nécessite cependant des corrections qui sont données dans la littérature[2].

En ingénierie structurelle, le choix le plus courant est la paire module de Young et coefficient de Poisson (E, ν) ; la paire équivalente (E, G) est aussi utilisée. Le module E (lié à la raideur) est souvent utilisé en acoustique.

La connaissance des caractéristiques rhéologiques en fonction de la température revêt un grand intérêt. Les évolutions de modules ou de viscosités sont souvent importantes. Voir aussi Température de transition vitreuse (Tg) et Thermostabilité.

Typologie[modifier | modifier le code]

Selon le type de déformation[3], le module d'élasticité d'un matériau peut être :

Divers types de modules élastiques correspondant aux différents types de déformation (exemples) :

Nom Comportement du matériau Loi de comportement
Module de traction Soumis à une contrainte uniaxiale \sigma_E, l'échantillon subit une dilatation linéaire \varepsilon_E faible par rapport à l'épaisseur.
\sigma_E = E_t \ \varepsilon_E
Module de cisaillement Soumis à une contrainte de cisaillement[5] \sigma_C, l'échantillon subit une déformation \varepsilon_C sans changer de volume.
\sigma_C = G_s \ \varepsilon_C
Module de compressibilité mécanique Soumis à une contrainte de compressibilité \sigma_K, l'échantillon subit une variation de volume \varepsilon_K sans changer de forme.
\sigma_K = K \ \varepsilon_K
Module en déformation uniaxiale Soumis à une contrainte de pseudo-compressibilité \sigma_M, l'échantillon subit une variation de volume \varepsilon_M sans changer de forme.
La déformation résultante est grande par rapport à l'épaisseur.
\sigma_M = L \ \varepsilon_M

Modules en régime dynamique[modifier | modifier le code]

Représentation dans le plan complexe.

En général, pour un matériau viscoélastique, il n'existe pas de relation contrainte \leftrightarrow déformation (équation rhéologique) indépendante du temps, c'est le cas notamment du rapport contrainte sur déformation. Le rapport contrainte dynamique \sigma(t) sur déformation dynamique \varepsilon(t) d'un matériau viscoélastique soumis à une vibration sinusoïdale est appelé module complexe ou module dynamique ou module viscoélastique, noté M^*[6] :

M^*(t) = \frac {\sigma(t)} {\varepsilon(t)} = M'(t) + iM''(t) = \frac {1} {C^*(t)}
|M|^2 = \left( \frac {\sigma_A} {\varepsilon_A}\right )^2 = (M')^2 + (M'')^2

avec :

M', le module de conservation, partie réelle de M*, représentant la composante élastique de M^* et la rigidité du matériau viscoélastique ;
M'', le module de perte, partie imaginaire de M*, représentant la composante visqueuse de M^* ;
C^*, la complaisance complexe, pour un comportement viscoélastique linéaire ;
\sigma_A et \varepsilon_A, les amplitudes des cycles de contrainte et de déformation, respectivement.

Les contraintes élastiques et visqueuses sont liées aux propriétés du matériau par le module.

Le schéma ci-dessus représente diverses propriétés mécaniques dynamiques dans le plan complexe, dans une expérience utilisant des déformations sinusoïdales ; \delta est l'angle de phase entre la contrainte et la déformation.

Un matériau est considéré comme viscoélastique linéairement si, lorsqu'il est faiblement déformé, le rapport contrainte sur déformation (ou module) n'est fonction que de la fréquence (ou du temps) et de la température (T). À partir d'un niveau de déformation critique, le comportement de l'échantillon est non-linéaire.

Un module viscoélastique est déterminé en DMA à partir de la géométrie et de la raideur dynamique de l'échantillon. Par exemple, les modules viscoélastiques E' et E'' d'un solide déformable peuvent être mesurés en DMA en soumettant l'échantillon à une contrainte de traction-compression ou de flexion. Les modules viscoélastiques G' et G'' d'un produit solide, d'un (polymère) fondu, d'une résine, d'un bitumeetc. peuvent être mesurés en DMA ou au moyen d'un rhéomètre dynamique (hors échantillon solide dans ce dernier cas) ; la caractérisation se fait en torsion (sur un solide) ou en cisaillement.

La viscosité dynamique \eta' est proportionnelle à G''.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. D'après la norme (fr) ISO 6721-1:1994(F), Plastiques - Détermination des propriétés mécaniques dynamiques - Partie 1: Principes généraux, le coefficient de Poisson a pour symbole µ.
  2. D'après la norme ISO 6721-1:1994(F), qui indique par exemple les références [1] et [2] citées dans la Bibliographie.
  3. À ne pas confrondre avec les modes de déformation que sont le fluage et la relaxation, liés à leur dépendance temporelle.
  4. D'après la norme ISO 6721-1:1994(F), le module en compression uniaxiale (sur feuilles minces) a pour symbole L_c et le module en onde de compression longitudinale a pour symbole L_w.
  5. Cisaillement, shear en anglais, d'où la notation G_s pour le module correspondant.
  6. À ne pas confrondre avec le module d'onde de compression, L ou M.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • [1] Nederveen, C.J. et van der Wal, C.W., Rheol. Acta, 6 (4), p. 316 (1967)
  • [2] Read, B.E. et Dean, G.D., The determination of dynamic properties of polymers and composites, 207 p., Adam Hilger, Bristol, 1978. ISBN 0-85274-363-7

Voir aussi[modifier | modifier le code]


Formules de conversion
Les propriétés élastiques des matériaux homogènes, isotropes et linéaires sont déterminées de manière unique par deux modules quelconques parmi ceux-ci. Ainsi, on peut calculer chacun à partir de deux d'entre eux en utilisant ces formules.
(\lambda, G) (E, G) (K, \lambda) (K, G) (\lambda, \nu) (G, \nu) (E, \nu) (K, \nu) (K, E) (M, G)
K = \lambda + \tfrac{2G}{3} \tfrac{EG}{3(3G - E)} \tfrac{\lambda(1 + \nu)}{3\nu} \tfrac{2G(1 + \nu)}{3(1 - 2\nu)} \tfrac{E}{3(1 - 2\nu)} M - \tfrac{4G}{3}
E = \tfrac{G(3\lambda + 2G)}{\lambda + G} \tfrac{9K(K - \lambda)}{3K - \lambda} \tfrac{9KG}{3K + G} \tfrac{\lambda(1 + \nu)(1 - 2\nu)}{\nu} 2G(1 + \nu)\, 3K(1 - 2\nu)\, \tfrac{G(3M - 4G)}{M - G}
\lambda = \tfrac{G(E - 2G)}{3G - E} K - \tfrac{2G}{3} \tfrac{2 G \nu}{1 - 2\nu} \tfrac{E\nu}{(1 + \nu)(1 - 2\nu)} \tfrac{3K\nu}{1 + \nu} \tfrac{3K(3K - E)}{9K - E} M - 2G
G = \tfrac{3(K - \lambda)}{2} \tfrac{\lambda(1 - 2\nu)}{2\nu} \tfrac{E}{2(1 + \nu)} \tfrac{3K(1 - 2\nu)}{2(1 + \nu)} \tfrac{3KE}{9K - E}
\nu = \tfrac{\lambda}{2(\lambda + G)} \tfrac{E}{2G} - 1 \tfrac{\lambda}{3K - \lambda} \tfrac{3K - 2G}{2(3K + G)} \tfrac{3K - E}{6K} \tfrac{M - 2G}{2M - 2G}
M = \lambda + 2G \tfrac{G(4G - E)}{3G - E} 3K - 2\lambda\, K + \tfrac{4G}{3} \tfrac{\lambda(1 - \nu)}{\nu} \tfrac{2G(1 - \nu)}{1 - 2\nu} \tfrac{E(1 - \nu)}{(1 + \nu)(1 - 2\nu)} \tfrac{3K(1 - \nu)}{1 + \nu} \tfrac{3K(3K + E)}{9K - E}