Module de cisaillement

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Schéma de principe du cisaillement.

En résistance des matériaux, le module de cisaillement (shear modulus en anglais), aussi appelé module de glissement, module de Coulomb ou second coefficient de Lamé, est une grandeur physique propre à chaque matériau et qui intervient dans la caractérisation des déformations causées par des efforts de cisaillement.

La définition du module de cisaillement G est :

G \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\   \frac {\tau_{xy}} {\gamma_{xy}} =  \frac{F/A}{\Delta x/l} = \frac{F l}{A \Delta x}

où (cf. image ci-contre) :

  • \tau_{xy} = F/A est la contrainte de cisaillement ;
  • F est la force ;
  • A est l'aire sur laquelle la force agit ;
  • \gamma_{xy} = \Delta x/l = \tan \theta est le déplacement latéral relatif, et \theta est l'écart à l'angle droit ;
  • \Delta x est le déplacement latéral ;
  • l est l'épaisseur.

Le module de cisaillement a la dimension d'une contrainte et est généralement exprimé en MPa (megapascals) ou en newtons par millimètre carré.
À titre d'exemple, le module de cisaillement de l'acier vaut environ 81 000 N/mm² soit 81 000 MPa.

Dans le cas de matériaux isotropes, il est relié au module d'élasticité E et au coefficient de Poisson \nu par l'expression :

G = \frac {E}{2(1+\nu)}.

Articles connexes[modifier | modifier le code]


Formules de conversion
Les propriétés élastiques des matériaux homogènes, isotropes et linéaires sont déterminées de manière unique par deux modules quelconques parmi ceux-ci. Ainsi, on peut calculer chacun à partir de deux d'entre eux en utilisant ces formules.
(\lambda, G) (E, G) (K, \lambda) (K, G) (\lambda, \nu) (G, \nu) (E, \nu) (K, \nu) (K, E) (M, G)
K = \lambda + \tfrac{2G}{3} \tfrac{EG}{3(3G - E)} \tfrac{\lambda(1 + \nu)}{3\nu} \tfrac{2G(1 + \nu)}{3(1 - 2\nu)} \tfrac{E}{3(1 - 2\nu)} M - \tfrac{4G}{3}
E = \tfrac{G(3\lambda + 2G)}{\lambda + G} \tfrac{9K(K - \lambda)}{3K - \lambda} \tfrac{9KG}{3K + G} \tfrac{\lambda(1 + \nu)(1 - 2\nu)}{\nu} 2G(1 + \nu)\, 3K(1 - 2\nu)\, \tfrac{G(3M - 4G)}{M - G}
\lambda = \tfrac{G(E - 2G)}{3G - E} K - \tfrac{2G}{3} \tfrac{2 G \nu}{1 - 2\nu} \tfrac{E\nu}{(1 + \nu)(1 - 2\nu)} \tfrac{3K\nu}{1 + \nu} \tfrac{3K(3K - E)}{9K - E} M - 2G
G = \tfrac{3(K - \lambda)}{2} \tfrac{\lambda(1 - 2\nu)}{2\nu} \tfrac{E}{2(1 + \nu)} \tfrac{3K(1 - 2\nu)}{2(1 + \nu)} \tfrac{3KE}{9K - E}
\nu = \tfrac{\lambda}{2(\lambda + G)} \tfrac{E}{2G} - 1 \tfrac{\lambda}{3K - \lambda} \tfrac{3K - 2G}{2(3K + G)} \tfrac{3K - E}{6K} \tfrac{M - 2G}{2M - 2G}
M = \lambda + 2G \tfrac{G(4G - E)}{3G - E} 3K - 2\lambda\, K + \tfrac{4G}{3} \tfrac{\lambda(1 - \nu)}{\nu} \tfrac{2G(1 - \nu)}{1 - 2\nu} \tfrac{E(1 - \nu)}{(1 + \nu)(1 - 2\nu)} \tfrac{3K(1 - \nu)}{1 + \nu} \tfrac{3K(3K + E)}{9K - E}