Coefficient de Poisson

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En mécanique des milieux continus, le coefficient de Poisson ou coefficient principal de Poisson, noté ν, est une constante élastique adimensionnelle mesurant la déformation d'un matériau solide perpendiculairement à la direction de l'effort appliqué. Il est égal à l'opposé du ratio entre la déformation transversale et la déformation axiale. Sa valeur est strictement comprise entre −1 et 0,5, et est le plus souvent positive. Les matériaux ayant un coefficient de Poisson négatif sont dits auxétiques.

Il tire son nom de Siméon Denis Poisson, qui l'a mis en évidence et a adopté la notation ν, dans une note qu'il a publié en 1827[1]. Le coefficient de Poisson est souvent associé au Module de Young, les deux valeurs, ensemble, suffisant à décrire totalement le comportement élastique linéaire d'un matériau isotrope (c'est-à-dire dont les propriétés sont indépendantes de l'orientation).

Illustration du coefficient de Poisson.

Définition[modifier | modifier le code]

Définition intuitive[modifier | modifier le code]

Considérons un barreau constitué du matériau que l'on souhaite caractériser. Une compression est appliquée dans la longueur du barreau, ce qui réduit sa longueur. On appelle déformation longitudinale la variation relative de la longueur du barreau. Par exemple, si on a appliqué une pression telle que la longueur du barreau est réduite de 1 %, on notera que la déformation longitudinale vaut -0,01. Une déformation transverse, c'est-à-dire dans la direction perpendiculaire à la pression appliquée, est aussi observée, c'est l'effet de Poisson. Pour n'importe quel matériau considéré homogène, isotrope et élastique linéaire, le barreau va se dilater dans le sens transverse s'il est comprimé dans la longueur, et inversement. Le coefficient de Poisson est le rapport de déformation entre la contrainte appliquée et l'état initial. Ainsi, quand le barreau voit sa longueur réduite de 1 %, si son diamètre (ou sa largeur, selon la forme de l'échantillon) augmente de 0,3 %, le coefficient de Poisson de ce matériau vaut 0,3. Cette définition suppose que les valeurs appliquées sont assez faibles pour que la réponse du matériau reste linéaire[2].

Définition plus formelle[modifier | modifier le code]

Le matériau est soumis à une contrainte unidirectionnelle. C'est-à-dire que sa valeur est non-nulle sur une seule direction, choisie ici, arbitrairement, selon l'axe x du référentiel. Les contraintes selon x et y sont nulles, de même que les contraintes en cisaillement. En outre, la valeur (la contrainte est notée, selon les auteurs, T ou σ) reste assez faible pour que le matériau réponde de façon linéaire[3].

La déformation principale du matériau est celle selon , notée . Il existe cependant aussi une déformation selon les axes et . Le coefficient de poisson se définit en les comparant[3] :

Pour la grande majorité des matériaux, la déformation en y et z est de signe opposée à la déformation en x. Cela explique la présence du signe « - » dans la définition, rendant le coefficient de Poisson positif[3].

Matériau isotrope ou anisotrope[modifier | modifier le code]

Dans le cas le plus général, le coefficient de Poisson dépend de la direction de l'allongement. Ainsi, en contraignant le matériau selon l'axe , on aurait défini des coefficients et . Si le matériau est isotrope, le coefficient de Poisson est (comme toutes les propriétés du matériau) indépendant de la direction choisie, il est alors simplement noté .

Dans le cas d'un matériau isotrope transverse, on définit trois coefficients de Poisson (dont deux liés par une relation) ; Dans le cas d'un matériau orthotrope, on définit deux coefficients de Poisson (liés par une relation) pour chacune des trois directions principales.

Le coefficient de Poisson fait partie des constantes élastiques. Il est nécessairement compris entre −1 et 0,5, mais généralement positif. Il est sans unité. Certains matériaux artificiels et quelques matériaux naturels (certaines roches sédimentaires riches en quartz[4]) ont un coefficient de Poisson négatif ; ces matériaux particuliers sont dits auxétiques.

Relations avec les autres expressions de l'élasticité, pour un matériau isotrope[modifier | modifier le code]

Dans le domaine linéaire, le comportement élastique d'un matériau isotrope est entièrement décrit par seulement deux paramètres indépendants. Il existe plusieurs choix de paramètres, selon le problème à résoudre, des formules permettant les conversions. Un choix habituel est l'association du coefficient de Poisson et du Module de Young[5].

Changement de volume[modifier | modifier le code]

Lorsqu'un matériau isotrope est soumis, en régime linéaire, à une contrainte uniaxiale (placée ici, arbitrairement, selon l'axe x), le coefficient de poisson intervient dans le calcul du changement de volume[6]

La déformation selon l'axe x est notée . Les déformations selon les axes x et y sont égales et valent [6].

En notant le volume initial de l'objet, le volume déformé vaut :

En développant le produit, et en ne retenant que les termes du premier ordre (puisque la déformation est très petite devant 1), on obtient la variation de volume :

Celà signifie qu'au plus le coefficient de poisson est proche de 0,5, au plus le matériau tend à conserver son volume lorsqu'il est déformé[6].

Autres jeux de coefficients[modifier | modifier le code]

Le module d'élasticité isostatique () exprime la réduction du volume du matériau lorsqu'il est soumis à une pression isostatique (par exemple, en l'immergeant en profondeur). Il est lié au module de Young () par le coefficient de Poisson () au travers de la relation[7] :

On note les valeurs particulières de ν :

Cette relation explique aussi pourquoi il est impossible que le coefficient de Poisson d'un matériau dépasse 0,5. Si c'était le cas, son module de compressibilité deviendrait négatif. Cela signifie que le matériau se dilaterait sous l'effet d'une pression externe. Ce faisant, il fournirait un travail au milieu environnant, produisant de l'énergie. Ce serait en contradiction avec le premier principe de la thermodynamique[8].

Le module de cisaillement exprime la déformation du matériau soumis à un effort uniquement en cisaillement. Son expression en fonction de E et est la suivante[7] :

Par un raisonnement analogue au précédent, cette relation explique que le coefficient de Poisson ne peut pas être inférieur à -1. En effet, la module de cisaillement deviendrait négatif, et le matériau fournirait alors un travail lors d'une sollicitation en cisaillement[8].

Tenseur d'élasticité[modifier | modifier le code]

La loi de Hooke dans un matériau quelconque exprime une relation linéaire entre le tenseur des contraintes et le tenseur des déformations (chacun comprenant six termes, trois de compression et trois de cisaillement) :

ou

La matrice des rigidités c, et son inverse s (matrice des souplesses) sont des matrices symétriques, il y a donc, dans le cas le plus général, 21 paramètres indépendants. Selon les propriétés du matériau (symétries, etc), certains termes des matrices sont nuls, égaux, ou interdépendants. Dans le cas d'un matériau isotrope, ces matrices sont entièrement déterminées par seulement deux paramètres, comme E et [9].

Méthodes de mesure[modifier | modifier le code]

Mesure directe[modifier | modifier le code]

Le coefficient de Poisson peut être calculé à partir de l'allongement longitudinal et du rétrécissement transversal, mesurés directement.

Mesure acoustique[modifier | modifier le code]

Pour les matériaux très rigides, il peut être plus commode de mesurer la vitesse de propagation des ondes P et des ondes S et d'en déduire le coefficient de Poisson, grâce à la relation suivante. Cette méthode est utilisée en laboratoire, sur des échantillons, mais aussi pour l'étude du sol, par imagerie sismique[10] :

.

Valeurs typiques[modifier | modifier le code]

Dans la plupart des cas, le coefficient de Poisson est compris entre 0,25 et 0,35[11].

Cas limites[modifier | modifier le code]

Un coefficient de Poisson égal à 0,5 signifie que le matériau est incompressible : ce cas limite correspond au comportement d'un liquide. Les matériaux élastomère, dont le comportement se rapproche des liquides, ont des valeurs très proches de 0,5, valeur que la thermodynamique interdit de dépasser[12]. Quel que soit le matériau, lorsque la température croît, le coefficient de Poisson augmente ; ν vaut 0,5 à la température de fusion[11].

Certains matériaux ont un coefficient de Poisson négatif, le minimum théoriquement possible étant de -1. Une valeur négative signifie que le matériau compressé se contracte aussi dans la direction transverse, ce comportement assez rare est appelé auxétisme.

Corps simples et métaux purs[modifier | modifier le code]

La plupart des corps simples à l'état solide ont un coefficient de Poisson compris entre 0,2 et 0,4. Sur 64 de ces corps simples[4], 6 seulement ont un coefficient supérieur à 0,4 (Si : 0,422 ; Au : 0,424 ; Pb : 0,442 ; Mo : 0,458 ; Cs : 0,460 ; Tl : 0,468), et 4 un coefficient inférieur à 0,2 (Ru : 0,188 ; Eu : 0,139 ; Be : 0,121 ; U : 0,095) ; aucun n'est auxétique.

Métaux purs
Matériau ν
Aluminium (Al)  0,346
Béryllium (Be)  0,032
Bore (B)  0,21
Cuivre (Cu)  0,33
Fer (Fe)  0,21 – 0,259
Magnésium (Mg)  0,35
Or (Au)  0,42
Plomb (Pb)  0,44
Titane (Ti)  0,34

Alliages métalliques[modifier | modifier le code]

La valeur typique du coefficient de Poisson est de l'ordre de 0,28 pour les aciers, et de 0,33 pour les alliages d'aluminium[13].

Alliages
Matériau ν
Acier de construction  0,27 – 0,30
Acier inoxydable  0,30 – 0,31
Fontes  0,21 – 0,26
Laiton  0,37

Oxydes[modifier | modifier le code]

Sur 160 oxydes testés en 2018[4], un seul est auxétique dans les conditions ambiantes, la cristobalite α[a] (ν = −0,164[14]), et elle le reste de 20 à 1 500 °C. Le quartz a aussi un coefficient de Poisson nettement plus petit que les autres oxydes : ν = 0,08 à température ambiante.

Pour 97,4 % des oxydes, le coefficient de Poisson est compris entre 0,150 et 0,400 (moyenne : 0,256 ; écart type : 0,050). D'une manière générale, le coefficient de Poisson est corrélé positivement avec la masse volumique : (en excluant la cristobalite et le quartz) mais le coefficient de détermination r2 n'est pas très élevé : 0,28. La corrélation est meilleure quand on ne considère que les oxydes cristallisant dans un même système réticulaire :

Coefficient de Poisson des oxydes[4]
Système[α] n[β] Équation de corrélation r2
hexagonal 8 0,99
trigonal 24 0,83
cubique 70 0,46
tétragonal 19 0,36
orthorhombique 33 0,27
  1. L'unique oxyde monoclinique étudié a un coefficient de Poisson égal à 2,271.
  2. n : nombre d'oxydes pris en compte dans la régression linéaire.

Silicates[modifier | modifier le code]

Le coefficient de Poisson des 301 silicates testés en 2018 (9 cyclosilicates, 43 inosilicates, 219 nésosilicates, 5 phyllosilicates et 25 tectosilicates)[4] varie entre 0,080 pour le quartz[b] et 0,365 pour le zircon. Si l'on excepte ces deux extrêmes, ν varie entre 0,200 et 0,350 (moyenne : 0,261 ; écart-type : 0,030).

Autres matériaux[modifier | modifier le code]

Le coefficient de Poisson des carbonates, des halogénures, des phosphates, des sulfates et des sulfures s'étage entre 0,091 et 0,379 :

Coefficient de Poisson de différents composés chimiques[4]
Composés n Intervalle de valeurs Moyenne Écart type
Carbonates 12 0,178-0,319 0,288 0,041
Halogénures 10 0,133-0,310 0,258 0,048
Phosphates 8 0,091-0,316 0,243 0,083
Sulfates 8 0,191-0,379 0,305 0,057
Sulfures 10 0,160-0,376 0,290 0,086
Verres, céramiques, oxydes, carbures métalliques, minéraux
Matériau ν
Argile humide  0,40 – 0,50
Béton  0,20
Sable  0,20 – 0,45
Carbure de silicium (SiC)  0,17
Si3N4  0,25
Verre 0,18 – 0,3
Matériaux naturels
Matériau ν
Polymères, fibres  0,30 – 0,50
Caoutchouc  0,50
Liège  0,05 – 0,40
Mousse  0,10 – 0,40
Plexiglas (Polyméthacrylate de méthyle)  0,40 – 0,43

Exemple d'application[modifier | modifier le code]

photo d'une bouteille de vin et de son bouchon en liège.
Un bouchon en liège.

Les bouchons des bouteilles de vin sont un exemple d'application du coefficient de Poisson : le liège a un coefficient de Poisson très proche de zéro, ce qui en fait un très bon choix pour un bouchon : lorsqu'on l'enfonce dans la bouteille, il ne se dilate pas dans la direction transverse, chose qui rendrait l'insertion bien plus difficile. Ainsi, lorsqu'on recherche un matériau alternatif au liège pour cette application, il doit aussi avoir un coefficient de Poisson très faible[15].

Extension en grandes déformations : fonction de Poisson[modifier | modifier le code]

Lorsque les déformations sont importantes, la réponse du matériau n'est plus linéaire, et le rapport entre la déformation axiale et la déformation transverse n'est plus constant. On définit alors une fonction de Poisson (sans rapport avec la distribution de Poisson en statistiques) selon l'étirement (en grands déplacements, il est usuel d'utiliser l'étirement plutôt que la déformation . Il existe plusieurs définitions de cette fonction. Chacune admet, comme limite pour , la définition usuelle du coefficient de Poisson[16] :

Définition de Hencky (en) :

Définition de Biot :

Définition de Green :

Définition de Almansi :

Généralisation dans le cas d'un stratifié[modifier | modifier le code]

schéma d'un composite formé de couches d'aluminium et de couche de verre-epoxy
Un exemple de composite stratifié : le GLARE.

En théorie des plaques, un stratifié est une plaque composée de plusieurs couches de matériaux différents. La théorie classique des stratifiés est un modèle prédictif du comportement des déformations d'une telle plaque composite[17].

Dans le cadre de la théorie de Kirchoff-Love (qui suppose notamment l'absence de cisaillement transverse), la rigidité de la plaque en flexion et torsion s'exprime sous la forme d'une matrice 3x3. Les moments fléchissant sont reliés aux courbures[18] :

Si le stratifié est isotrope dans le plan, l'écriture se simplifie. On peut représenter le comportement de l'ensemble du stratifié par une rigidité flexionnelle D et un coefficient de poisson homogénéisé </ref name=Abbas>.

C'est une définition sensiblement différente de celle donnée précédemment, car le coefficient de Poisson ainsi défini n'est plus une propriété locale (microscopique) du matériau, il est homogénéisé à l'échelle du stratifié, vu comme un milieu 2D. Si on écrit la même équation concernant une plaque homogène, formée d'un seul matériau isotrope, c'est bien le coefficient de Poisson de ce matériau qui intervient. Quand à D, sa valeur est alors la suivante (selon E le module de Young et h l'épaisseur de la plaque)[19] :

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. La cristobalite α est un polymorphe métastable du dioxyde de silicium SiO2.
  2. Le quartz n'est pas à proprement parler un silicate (c'est un oxyde), mais il est classé parmi les tectosilicates dans les différentes classifications de minéraux.

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) G. Neville Greaves, « Poisson's ratio over two centuries: challenging hypotheses », Notes and Records: the Royal Society Journal of the History of Science, vol. 67, no 1,‎ , p. 37–58 (ISSN 0035-9149 et 1743-0178, PMID 24687094, PMCID PMC3645204, DOI 10.1098/rsnr.2012.0021, lire en ligne, consulté le )
  2. Pierre-Alain Boucard, Cours de Dimensionnement des Structures - Résistance des Matériaux, 96 p. (lire en ligne [PDF])
  3. a b et c François Frey, Analyse des structures et milieux continus : mécanique des structures, PPUR presses polytechniques, (ISBN 978-2-88074-434-2, lire en ligne)
  4. a b c d e et f (en) Shaocheng Ji, Le Li, Hem Bahadur Motra, Frank Wuttke, Shengsi Sun, Katsuyoshi Michibayashi et Matthew H. Salisbury, « Poisson's Ratio and Auxetic Properties of Natural Rocks », Journal of Geophysical Research: Solid Earth, Wiley-Blackwell, vol. 123, no 2,‎ , p. 1161-1185 (ISSN 2169-9313 et 2169-9356, DOI 10.1002/2017JB014606)Voir et modifier les données sur Wikidata
  5. (en) Thomas Fiedler, Numerical and Experimental Investigation of Hollow Sphere Structures in Sandwich Panels, Trans Tech Publications Ltd, (ISBN 978-3-03813-238-7, lire en ligne)
  6. a b et c Atsushi Ikai et Rehana Africa institute of South Africa, The world of nano-biomechanics: mechanical imaging and measurement by atomic force microscopy, Elsevier, (ISBN 978-0-444-63686-7), « 2.4.3 »
  7. a et b Manuel de mécanique des roches: Fondements, Presses des MINES, (ISBN 978-2-911762-23-9, lire en ligne)
  8. a et b Jan Tichì, Fundamentals of piezoelectric sensorics: mechanical, dielectric, and thermodynamical properties of piezoelectric materials, Springer, (ISBN 978-3-540-68427-5), p. 49
  9. (ru) G.L. Belen'kii, E.Yu. Salaev et R.A. Suleimanov, « Deformation effects in layer crystals », Uspekhi Fizicheskih Nauk, vol. 155, no 5,‎ , p. 89–127 (ISSN 0042-1294 et 1996-6652, DOI 10.3367/UFNr.0155.198805c.0089, lire en ligne, consulté le )
  10. J. Kumar, « The Effect of Poisson's Ratio on Rock Properties », onepetro, SPE,‎ (DOI 10.2118/6094-MS, lire en ligne, consulté le )
  11. a et b Bernard Le Neindre, « Constantes mécaniques - Coefficients d’élasticité », sur Techniques de l'ingénieur, (consulté le )
  12. Vukota Boljanovic, Sheet metal forming processes and die design, Industrial Press, (ISBN 978-0-8311-3182-1), p. 16
  13. (en) Encyclopædia Britannica, « Young's modulus » (consulté le )
  14. (en) A. Yeganeh-Haeri, D. J. Weidner et J. B. Parise, « Elasticity of α-cristobalite: A silicon dioxide with a negative Poisson’s ratio », Science, vol. 257, no 5070,‎ , p. 650-652 (DOI 10.1126/science.257.5070.650).
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  16. (en) L. Angela Mihai et Alain Goriely, « How to characterize a nonlinear elastic material? A review on nonlinear constitutive parameters in isotropic finite elasticity », Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, vol. 473, no 2207,‎ , p. 20170607 (ISSN 1364-5021 et 1471-2946, PMID 29225507, PMCID PMC5719638, DOI 10.1098/rspa.2017.0607, lire en ligne, consulté le )
  17. Victor Giurgiutiu, « Chapter 3 - Classical lamination theory », dans Stress, Vibration, and Wave Analysis in Aerospace Composites, Academic Press, , 111–277 p. (ISBN 978-0-12-813308-8, DOI 10.1016/b978-0-12-813308-8.00011-9, lire en ligne)
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Articles connexes[modifier | modifier le code]