Coefficient de Poisson

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Mis en évidence (analytiquement) par Siméon Denis Poisson, le coefficient de Poisson (aussi appelé coefficient principal de Poisson) permet de caractériser la contraction de la matière perpendiculairement à la direction de l'effort appliqué.

Illustration du coefficient de poisson.

Définition[modifier | modifier le code]

Dans le cas le plus général le coefficient de Poisson dépend de la direction de l'allongement, mais :

  • dans le cas important des matériaux isotropes il en est indépendant ;
  • dans le cas d'un matériau isotrope transverse (en) on définit trois coefficients de Poisson (dont deux liés par une relation) ;
  • dans le cas d'un matériau orthotrope on définit deux coefficients de Poisson (liés par une relation) pour chacune des trois directions principales.

Le coefficient de Poisson fait partie des constantes élastiques. Il est nécessairement compris entre −1 et 0,5, mais généralement positif. Certains matériaux artificiels et quelques matériaux naturels (certaines roches sédimentaires riches en quartz[1]) ont un coefficient de Poisson négatif ; ces matériaux particuliers sont dits auxétiques. Les valeurs expérimentales obtenues pour un matériau quelconque sont souvent voisines de 0,3.

Relations[modifier | modifier le code]

Cas d'un matériau isotrope[modifier | modifier le code]

  • Le changement de volume ΔV/V dû à la contraction du matériau peut être donné par la formule (uniquement valable pour de petites déformations) :

Cette relation montre que doit rester inférieur à 1/2 pour que le module d'élasticité isostatique reste positif. On note également les valeurs particulières de ν :

  • pour ν = 1/3 on a K = E.
  • pour ν → 0,5 on a K → ∞ incompressibilité (cas du caoutchouc, par exemple)


.

Cette relation met en évidence le fait que ne peut être inférieur à -1, sinon son module de cisaillement serait négatif (il serait sollicité en traction dès qu'on le comprimerait!)

Cas d'un stratifié (isotrope transverse)[modifier | modifier le code]

Un coefficient secondaire de Poisson est alors défini par la relation suivante :

et sont les modules de Young des matériaux et est le coefficient secondaire de Poisson.

Coefficient de Poisson des matériaux naturels[modifier | modifier le code]

Le coefficient de Poisson peut être calculé à partir de l'allongement longitudinal et du rétrécissement transversal, mesurés directement.

Pour les matériaux très rigides il peut être plus commode de mesurer la vitesse de propagation des ondes P et des ondes S et d'en déduire le coefficient de Poisson, grâce à la relation :

.


Corps simples[modifier | modifier le code]

La plupart des corps simples à l'état solide ont un coefficient de Poisson compris entre 0,2 et 0,4. Sur 64 de ces corps simples[1], 6 seulement ont un coefficient supérieur à 0,4 (Si : 0,422 ; Au : 0,424 ; Pb : 0,442 ; Mo : 0,458 ; Cs : 0,460 ; Tl : 0,468), et 4 un coefficient inférieur à 0,2 (Ru : 0,188 ; Eu : 0,139 ; Be : 0,121 ; U : 0,095) ; aucun n'est auxétique.

Oxydes[modifier | modifier le code]

Sur 160 oxydes testés en 2018[1], un seul est auxétique dans les conditions ambiantes, la cristobalite α[a] (ν = −0,164[2]), et elle le reste de 20 à 1 500 °C. Le quartz a aussi un coefficient de Poisson nettement plus petit que les autres oxydes : (ν = 0,08 à température ambiante.

Pour 97,4 % des oxydes le coefficient de Poisson est compris entre 0,150 et 0,400 (moyenne : 0,256 ; écart type : 0,050). D'une manière générale le coefficient de Poisson est corrélé positivement avec la masse volumique : (en excluant la cristobalite et le quartz) mais le coefficient de détermination r2 n'est pas très élevé : 0,28. La corrélation est meilleure quand on ne considère que les oxydes cristallisant dans un même système réticulaire :

Coefficient de Poisson des oxydes[1]
Système[α] n[β] Équation de corrélation r2
hexagonal 8 0,99
trigonal 24 0,83
cubique 70 0,46
tétragonal 19 0,36
orthorhombique 33 0,27
  1. L'unique oxyde monoclinique étudié a un coefficient de Poisson égal à 2,271.
  2. n : nombre d'oxydes pris en compte dans la régression linéaire.

Silicates[modifier | modifier le code]

Le coefficient de Poisson ν des 301 silicates testés en 2018 (9 cyclosilicates, 43 inosilicates, 219 nésosilicates, 5 phyllosilicates et 25 tectosilicates)[1] varie entre 0,080 pour le quartz[b] et 0,365 pour le zircon. Si l'on excepte ces deux extrêmes, ν varie entre 0,200 et 0,350 (moyenne : 0,261 ; écart-type : 0,030).

Autres composés inorganiques[modifier | modifier le code]

Le coefficient de Poisson des carbonates, des halogénures, des phosphates, des sulfates et des sulfures s'étage entre 0,091 et 0,379 :

Coefficient de Poisson de différents composés chimiques[1]
Composés n Intervalle de valeurs Moyenne Écart type
Carbonates 12 0,178-0,319 0,288 0,041
Halogénures 10 0,133-0,310 0,258 0,048
Phosphates 8 0,091-0,316 0,243 0,083
Sulfates 8 0,191-0,379 0,305 0,057
Sulfures 10 0,160-0,376 0,290 0,086

Quelques valeurs numériques du coefficient de Poisson[modifier | modifier le code]

Les caractéristiques mécaniques des matériaux sont variables d'un échantillon à l'autre. Néanmoins, pour les calculs, on peut considérer en bonne approximation les valeurs suivantes. Le coefficient de Poisson n'a pas d'unité.

Métaux purs
Matériau ν
Aluminium (Al)  0,346
Béryllium (Be)  0,032
Bore (B)  0,21
Cuivre (Cu)  0,33
Fer (Fe)  0,21 - 0,259
Magnésium (Mg)  0,35
Or (Au)  0,42
Plomb (Pb)  0,44
Titane (Ti)  0,34
Alliages
Matériau ν
Acier de construction  0,27 - 0,30
Acier inoxydable  0,30 - 0,31
Fontes  0,21 - 0,26
Laiton  0,37
Verres, céramiques, oxydes, carbures métalliques, minéraux
Matériau ν
Argile humide  0,40 - 0,50
Béton  0,20
Sable  0,20 - 0,45
Carbure de silicium (SiC)  0,17
Si3N4  0,25
Verre 0,18 - 0,3
Matériaux naturels
Matériau ν
Polymères, fibres  0,30 - 0,50
Caoutchouc  0,50
Liège  0,05 - 0,40
Mousse  0,10 - 0,40
Plexiglas (Polyméthacrylate de méthyle)  0,40 - 0,43

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. La cristobalite α est un polymorphe métastable du dioxyde de silicium SiO2.
  2. Le quartz n'est pas à proprement parler un silicate (c'est un oxyde), mais il est classé parmi les tectosilicates dans les différentes classifications de minéraux.

Références[modifier | modifier le code]

  1. a, b, c, d, e et f (en) Shaocheng Ji, Le Li, Hem Bahadur Motra, Frank Wuttke, Shengsi Sun et al., « Poisson's Ratio and Auxetic Properties of Natural Rocks », Journal of Geophysical Research − Solid Earth, vol. 123, no 2,‎ , p. 1161-1185 (DOI 10.1002/2017JB014606).
  2. (en) A. Yeganeh-Haeri, D. J. Weidner et J. B. Parise, « Elasticity of α-cristobalite: A silicon dioxide with a negative Poisson’s ratio », Science, vol. 257, no 5070,‎ , p. 650-652 (DOI 10.1126/science.257.5070.650).

Articles connexes[modifier | modifier le code]