Connaissance commune

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Une connaissance commune est une connaissance ou un savoir partagé par un groupe d'agents où tous savent que tous la partagent, et tous savent que tous savent que tous la partagent etc. Ce concept a d'abord été introduit par le philosophe David Kellogg Lewis dans son maître ouvrage Convention (1969) puis formalisé mathématiquement en théorie ensembliste par Robert Aumann qui en a aussi développé l'intérêt en économie et théorie des jeux, notamment dans le cadre de la « théorie de la décision interactive » pour lequel il fut récompensé du « Prix Nobel » d'économie en 2005.

En effet, dans les situation de coordination ou de décision collective, la connaissance commune peut jouer un rôle important. C'est ainsi la reconnaissance de ce mécanisme dans la sphère géopolitique qui a permis à R. Auman de théoriser les situations d'équilibres de la terreur ou de course aux armements. Sur un plan ludique, certaines énigmes peuvent aussi être résolues grâce au formalisme de la connaissance commune, c'est ainsi le cas pour le « paradoxe des prisonniers », l'énigme des « cocus de Bagdad »[1] ou « l'énigme des yeux verts »[2].

Exemple[modifier | modifier le code]

Considérons un groupe constitué de deux agents Alice et Bernard. Supposons que chacun conduit une voiture en France et se présente à une intersection. Bernard arrive sur la voie située à gauche de celle d'Alice. Alice va-t-elle s'engager sur l'intersection ?

Le raisonnement que fait Alice (et que fait instinctivement chaque conducteur) est le suivant. « Je m'engage parce que le code de la route dit que je peux le faire et parce je sais que Bernard ne va pas s'engager, parce que Bernard sait que le code de la route ne l'autorise pas à le faire et parce qu'il sait qu'Alice qui connait le code de la route, peut s'y engager si elle a le droit de le faire et parce qu'elle sait qu'il connait le code de la route et qu'il ne se s'engagera que si etc. ». Plus simplement, Alice va s'engager dans l'intersection parce que le code de la route l'y autorise, mais aussi parce qu'elle sait que le code de la route l'y autorise, mais aussi parce qu'elle sait que Bernard sait qu'elle sait que le code de la route l'y autorise et qu'elle sait que Bernard sait qu'elle sait que Bernard sait que le code de la route l'y autorise et ainsi de suite. Il y a une conjonction infinie de connaissances.

On dit alors plus simplement qu’Alice s'engagera dans l'intersection parce qu'elle sait qu'elle peut le faire sans danger, parce que la règle de la priorité à droite du code de la route français est une connaissance commune du groupe constitué d'Alice et de Bernard.

Formalisation en logique épistémique[modifier | modifier le code]

La logique de la connaissance commune est une extension de la logique épistémique qui formalise cette notion à partir de la définition suivante : on dit qu'il y a connaissance commune (ou savoir commun) de p dans un groupe d'agents G quand tous les agents de G savent p, et tous savent qu'ils savent tous p, et tous savent qu'ils savent tous qu'ils savent tous p, etc.[3] Soit G un groupe d'agents, \varphi une proposition et i dans G. On note alors K_i(\varphi) la proposition : l'agent i sait que \varphi est vraie. On dit alors que \varphi est une connaissance partagée du groupe G si tout agent de G connaît \varphi, autrement dit si :

\forall i\in G, K_i(\varphi).

On peut alors définir une nouvelle proposition E_G(\varphi) qui signifie : \varphi est une connaissance partagée dans le groupe G. On peut écrire :

E_G(\varphi) = \bigwedge_{i\in G} K_i(\varphi) (où \,\wedge est la conjonction). Donc E_G(\varphi) peut se lire \,\varphi est un fait connu de tout le groupe G, ou le groupe G sait que \,\varphi.

La connaissance partagée peut s'itérer ainsi E_G^3(\varphi) signifie le groupe G sait que le groupe G sait que le groupe G sait que \,\varphi, tandis que E_G^k(\varphi) signifie le groupe G sait que [répété k fois] la proposition \,\varphi est vraie.

La connaissance commune serait alors C_G(\varphi) = \bigwedge_{k=0}^{\infty}E_G^k(\varphi) qui est une conjonction infinie et que l'on ne peut donc pas écrire. On montre que l'opérateur de connaissance commune n'est pas exprimable en logique épistémique classique.

Théorème d'impossibilité[modifier | modifier le code]

La connaissance commune d'une propriété est impossible dans un système distribué[4](si les communications sont asynchrones et peut-être non fiables (voir Problème des deux généraux).

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. « [Enigme] Les cocus de Bagdad », sur Goutte de science
  2. « Enigme : Les yeux verts », sur Achronalie
  3. Ken Binmore, Jeux et théorie des jeux,‎ (ISBN 2804127664)
  4. Joseph Y. Halpern et Yoram Moses, « Knowledge and Common Knowledge in a Distributed Environment », J. ACM, vol. 37,‎ , p. 549–587 (ISSN 0004-5411, DOI 10.1145/79147.79161, lire en ligne)

Sources[modifier | modifier le code]

  • J-J Ch. Meyer and W van der Hoek Epistemic Logic for Computer Science and Artificial Intelligence, volume 41, Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science, Cambridge University Press, 1995. (ISBN 0-52146-014-X)
  • R. Fagin, J. Y. Halpern, Y. Moses, and M. Y. Vardi. Reasoning about Knowledge, The MIT Press, 1995. (ISBN 0-26256-200-6)