Inégalité de Markov

En théorie des probabilités, l'inégalité de Markov donne une borne supérieure de la probabilité qu'une variable aléatoire à valeurs positives soit supérieure ou égale à une constante positive. Cette inégalité a été nommée ainsi en l'honneur d'Andrei Markov.

Sommaire

1 Énoncé
2 Corollaire
3 Applications
4 Voir aussi

Énoncé[modifier | modifier le code]

Inégalité de Markov — Soit $\scriptstyle\ Z\$ une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé $\scriptstyle\ \left(\Omega,\mathcal A,\mathbb P\right),\$ et supposée presque sûrement positive ou nulle. Alors

\forall a >0,\qquad \mathbb P(Z\geqslant a)\leqslant\frac{\mathbb{E}[Z]}{a}.

Démonstration

On a l'inégalité

\forall \omega\in\Omega,\qquad Z(\omega)\geqslant a\ 1_{\{Z(\omega)\geqslant a\}},

dès que $\scriptstyle\ a\geqslant 0.\$ On en déduit que

\mathbb{E}[Z]\ \geqslant\ \mathbb{E}[a\ 1_{\{Z\geqslant a\}}]\ \left({\scriptstyle\ =\ a\ \mathbb{P}(Z\geqslant a)}\ \right).

Corollaire[modifier | modifier le code]

Elle possède un corollaire fréquemment utilisé:

Corollaire — Soit $\scriptstyle\ \phi\$ une fonction croissante et positive ou nulle sur l'intervalle $\scriptstyle\ I.\$ Soit $\scriptstyle\ Y\$ une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé $\scriptstyle\ \left(\Omega,\mathcal A,\mathbb P\right),\$ et telle que $\scriptstyle\ \mathbb P(Y\in I)=1.\$ Alors

\forall b \in I,\text{ tel que }\phi(b)>0,\qquad \mathbb P(Y\geqslant b)\leqslant\frac{\mathbb{E}[\phi(Y)]}{\phi(b)}.

Démonstration

On applique l'inégalité de Markov à $\scriptstyle\ Z=\phi(Y)\$ et à $\scriptstyle\ a=\phi(b),\$ pour obtenir que

\forall b >0,\qquad \mathbb P\left(\phi(Y)\geqslant \phi(b)\right)\leqslant\frac{\mathbb{E}[\phi(Y)]}{\phi(b)}.

La croissance de $\scriptstyle\ \phi\$ entraîne que $\scriptstyle\ \{Y\geqslant b\}\ \Rightarrow\ \{\phi(Y)\geqslant \phi(b)\}\$ et donc que $\scriptstyle\ \mathbb P(Y\geqslant b)\ \leqslant \ \mathbb P(\phi(Y)\geqslant \phi(b)).\$

Applications[modifier | modifier le code]

Le choix, dans l'inégalité ci-dessus, de $\scriptstyle\ Y=|X-\mathbb{E}[X]|,\$ $\scriptstyle\ I=[0,+\infty[\$ et $\scriptstyle\ \phi(x)=x^2\$ donne l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Le choix, dans l'inégalité ci-dessus, de $\scriptstyle\ Y=X-\mathbb{E}[X],\$ ou bien $\scriptstyle\ Y=\mathbb{E}[X]-X,\$ de $\scriptstyle\ I=\R,\$ et de $\scriptstyle\ \phi(x)=e^{\lambda x}, \lambda>0,\$ est le premier pas de la démonstration de l'inégalité de Chernoff ou de l'inégalité de Hoeffding.