Inégalité de Markov

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En théorie des probabilités, l'inégalité de Markov donne une borne supérieure de la probabilité qu'une variable aléatoire à valeurs positives soit supérieure ou égale à une constante positive. Cette inégalité a été nommée ainsi en l'honneur d'Andrei Markov.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Inégalité de Markov —  Soit une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé et supposée presque sûrement positive ou nulle. Alors

Corollaire[modifier | modifier le code]

Elle possède un corollaire fréquemment utilisé:

Corollaire — Soit une fonction croissante et positive ou nulle sur l'intervalle Soit une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé et telle que Alors

Applications[modifier | modifier le code]

  • Le choix, dans l'inégalité ci-dessus, de et donne l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
  • Le choix, dans l'inégalité ci-dessus, de ou bien de et de est le premier pas de la démonstration de l'inégalité de Chernoff ou de l'inégalité de Hoeffding.

Exemple[modifier | modifier le code]

Les salaires étant positifs, le salaire moyen d'un cinquième de la population ne peut pas être plus grand que 5 fois le salaire moyen de la totalité de la population.

Voir aussi[modifier | modifier le code]