Inégalité de Markov

En théorie des probabilités, l'inégalité de Markov donne une borne supérieure de la probabilité qu'une variable aléatoire réelle à valeurs positives soit supérieure ou égale à une constante positive. Cette inégalité a été nommée ainsi en l'honneur d'Andreï Markov.

Énoncé

Inégalité de Markov — Soit Z une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé $\left(\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} \right)$ et supposée presque sûrement positive ou nulle. Alors

$\forall a>0,\qquad \mathbb {P} (Z\geqslant a)\leqslant {\frac {\mathbb {E} (Z)}{a}}.$

Démonstration

Soit $a\in \mathbb {R} _{+}^{*}$. On note $\mathbf {1} _{\{Z\geqslant a\}}$ la fonction indicatrice de l'événement $\{Z\geqslant a\}$.

On a l'inégalité :

$\forall \omega \in \Omega ,\qquad a\,\mathbf {1} _{\{Z(\omega )\geqslant a\}}\leqslant Z(\omega )\,\mathbf {1} _{\{Z(\omega )\geqslant a\}}\leqslant Z(\omega )$

car $Z$ est à valeurs positives ou nulles.

Par croissance de l'espérance, on a :

$\mathbb {E} \left(a\,\mathbf {1} _{\{Z(\omega )\geqslant a\}}\right)\leqslant \mathbb {E} (Z)\qquad (*)$

Puis, par linéarité de l'espérance :

$\mathbb {E} \left(a\,\mathbf {1} _{\{Z(\omega )\geqslant a\}}\right)=a\,\mathbb {E} \left(\mathbf {1} _{\{Z(\omega )\geqslant a\}}\right)=a\,\left(1\times \mathbb {P} (Z\geqslant a)+0\times \mathbb {P} (Z<a)\right)=a\,\mathbb {P} \left(Z\geqslant a\right)$

En réinjectant l'expression dans l'inégalité $(*)$, on obtient :

$a\,\mathbb {P} \left(Z\geqslant a\right)\leqslant \mathbb {E} (Z)\quad \Longleftrightarrow \quad \mathbb {P} \left(Z\geqslant a\right)\leqslant {\frac {\mathbb {E} (Z)}{a}}$

Généralisation

Il existe une version plus générale de ce théorème. Soit X une variable aléatoire de ${\textstyle L^{p}(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ où Ω est l'ensemble des réalisations, ${\textstyle {\mathcal {F}}}$ est la tribu des événements et ${\textstyle \mathbb {P} }$ la mesure de probabilité. Alors, l'inégalité de Markov peut être énoncée de la façon suivante :

Inégalité de Markov — Pour tout réel strictement positif $\alpha$,

$\mathbb {P} \left(|X|\geq \alpha \right)\leq {\frac {1}{\alpha ^{p}}}\mathbb {E} \left(|X|^{p}\right)$

La démonstration tient entièrement au fait que pour tout α strictement positif, ${\textstyle \alpha ^{p}\mathbf {1} _{\left\{|X|\geq \alpha \right\}}\leq |X|^{p}}$. Ici, 1_A désigne l'indicatrice de l'événement A. Par croissance de l'espérance, on obtient :

$$\mathbb {E} \left(|X|^{p}\right)\geq \mathbb {E} \left(\alpha ^{p}\,\mathbf {1} _{\left\{|X|\geq \alpha \right\}}\right)=\alpha ^{p}\,\mathbb {E} \left(\mathbf {1} _{\left\{|X|\geq \alpha \right\}}\right)=\alpha ^{p}\,\mathbb {P} \left\{|X|\geq \alpha \right\}$$

En divisant de part et d'autre de l'inégalité par α^p on trouve le résultat recherché.

On voit immédiatement que le résultat cité plus haut n'est rien d'autre qu'un cas particulier de cette inégalité.

De plus en prenant ${\textstyle X=Y-\mathbb {E} \left(Y\right)}$ et p = 2 on obtient exactement l'énoncé de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Corollaire

Elle possède un corollaire fréquemment utilisé :

Corollaire — Soit ϕ une fonction croissante positive ou nulle sur un intervalle I. Soit Y une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé $\left(\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} \right)$ telle que $\mathbb {P} (Y\in I)=1$. Alors :

$\forall b\in I\;|\;\phi (b)>0,\qquad \mathbb {P} (Y\geqslant b)\leqslant {\frac {\mathbb {E} (\phi (Y))}{\phi (b)}}.$

Démonstration

On applique l'inégalité de Markov à $Z=\phi (Y)\$ et à $a=\phi (b)$ pour obtenir :

$\forall b>0,\qquad \mathbb {P} \left(\phi (Y)\geqslant \phi (b)\right)\leqslant {\frac {\mathbb {E} (\phi (Y))}{\phi (b)}}$.

La croissance de $\phi$ entraîne : $\{Y\geqslant b\}\quad \Longrightarrow \quad \{\phi (Y)\geqslant \phi (b)\}\$.

Par conséquent : $\mathbb {P} (Y\geqslant b)\leqslant {\frac {\mathbb {E} (\phi (Y))}{\phi (b)}}$.

Applications

• Le choix, dans l'inégalité ci-dessus, de $Y=|X-\mathbb {E} (X)|,~I=[0,+\infty [\$ et ϕ(x) = x² donne l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

• Le choix, dans l'inégalité ci-dessus, de $Y=X-\mathbb {E} (X)$, ou bien $Y=\mathbb {E} (X)-X$, de $I=\mathbb {R}$, et de ϕ(x) = e^λx, λ > 0 , est le premier pas de la démonstration de l'inégalité de Chernoff ou de l'inégalité de Hoeffding.

• L'inégalité de Markov est souvent appliquée conjointement au lemme de Borel-Cantelli, par exemple pour démontrer la loi forte des grands nombres.

Exemple

Les salaires étant positifs, la part de la population percevant un salaire supérieur à 5 fois le salaire moyen est au maximum d'un cinquième.

Voir aussi

• Inégalité d'Azuma
• Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
• Inégalité de Hoeffding