Inégalité de Markov

En théorie des probabilités, l'inégalité de Markov donne une borne supérieure de la probabilité qu'une variable aléatoire à valeurs positives soit supérieure ou égale à une constante positive. Cette inégalité a été nommée ainsi en l'honneur d'Andrei Markov.

Énoncé

Inégalité de Markov —  Soit $\scriptstyle \ Z\$$\scriptstyle\ Z\$ une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé $\scriptstyle \ \left(\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} \right),\$$\scriptstyle \ \left(\Omega ,{\mathcal A},{\mathbb P}\right),\$ et supposée presque sûrement positive ou nulle. Alors

$\forall a>0,\qquad \mathbb {P} (Z\geqslant a)\leqslant {\frac {\mathbb {E} [Z]}{a}}.$$\forall a>0,\qquad {\mathbb P}(Z\geqslant a)\leqslant {\frac {{\mathbb {E}}[Z]}{a}}.$

Démonstration

On a l'inégalité

$\forall \omega \in \Omega ,\qquad Z(\omega )\geqslant a\ 1_{\{Z(\omega )\geqslant a\}},$$\forall \omega \in \Omega ,\qquad Z(\omega )\geqslant a\ 1_{{\{Z(\omega )\geqslant a\}}},$

dès que $a\geqslant 0.\$$a\geqslant 0.\$ On en déduit que

$\mathbb {E} [Z]\ \geqslant \ \mathbb {E} [a\ 1_{\{Z\geqslant a\}}]\ \left({\scriptstyle \ =\ a\ \mathbb {P} (Z\geqslant a)}\ \right).$${\mathbb {E}}[Z]\ \geqslant \ {\mathbb {E}}[a\ 1_{{\{Z\geqslant a\}}}]\ \left({\scriptstyle \ =\ a\ {\mathbb {P}}(Z\geqslant a)}\ \right).$

Corollaire

Elle possède un corollaire fréquemment utilisé :

Corollaire — Soit $\phi \$$\phi \$ une fonction croissante et positive ou nulle sur l'intervalle I. Soit Y une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé $\left(\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} \right),\$$\left(\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} \right),\$ et telle que $\mathbb {P} (Y\in I)=1.\$$\mathbb {P} (Y\in I)=1.\$ Alors

$\forall b\in I,{\text{ tel que }}\phi (b)>0,\qquad \mathbb {P} (Y\geqslant b)\leqslant {\frac {\mathbb {E} [\phi (Y)]}{\phi (b)}}.$$\forall b\in I,{\text{ tel que }}\phi (b)>0,\qquad {\mathbb P}(Y\geqslant b)\leqslant {\frac {{\mathbb {E}}[\phi (Y)]}{\phi (b)}}.$

Démonstration

On applique l'inégalité de Markov à $Z=\phi (Y)\$$Z=\phi (Y)\$ et à $a=\phi (b),\$$a=\phi (b),\$ pour obtenir que

$\forall b>0,\qquad \mathbb {P} \left(\phi (Y)\geqslant \phi (b)\right)\leqslant {\frac {\mathbb {E} [\phi (Y)]}{\phi (b)}}.$$\forall b>0,\qquad {\mathbb P}\left(\phi (Y)\geqslant \phi (b)\right)\leqslant {\frac {{\mathbb {E}}[\phi (Y)]}{\phi (b)}}.$

La croissance de $phi$$phi$ entraîne que $\{Y\geqslant b\}\ \Rightarrow \ \{\phi (Y)\geqslant \phi (b)\}\$$\{Y\geqslant b\}\ \Rightarrow \ \{\phi (Y)\geqslant \phi (b)\}\$ et donc que $\mathbb {P} (Y\geqslant b)\ \leqslant \ \mathbb {P} (\phi (Y)\geqslant \phi (b)).\$$\mathbb {P} (Y\geqslant b)\ \leqslant \ \mathbb {P} (\phi (Y)\geqslant \phi (b)).\$

Applications

• Le choix, dans l'inégalité ci-dessus, de $Y=|X-\mathbb {E} [X]|,\ I=[0,+\infty [\$$Y=|X-\mathbb {E} [X]|,\ I=[0,+\infty [\$ et $\phi (x)=x^{2}\$$\phi (x)=x^{2}\$ donne l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

• Le choix, dans l'inégalité ci-dessus, de $Y=X-\mathbb {E} [X],\$$Y=X-\mathbb {E} [X],\$ ou bien $Y=\mathbb {E} [X]-X,\$$Y=\mathbb {E} [X]-X,\$ de $I=\mathbb {R} ,\$$I=\mathbb {R} ,\$ et de $\phi (x)=e^{\lambda x},\lambda >0,\$$\phi (x)=e^{\lambda x},\lambda >0,\$ est le premier pas de la démonstration de l'inégalité de Chernoff ou de l'inégalité de Hoeffding.

• L'inégalité de Markov est souvent appliquée conjointement au lemme de Borel-Cantelli, par exemple pour démontrer la loi forte des grands nombres.

Exemple

Les salaires étant positifs, le salaire moyen d'un cinquième de la population ne peut pas être plus grand que 5 fois le salaire moyen de la totalité de la population.

Voir aussi

• Inégalité d'Azuma
• Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
• Inégalité de Hoeffding