En théorie des probabilités, l'inégalité de Markov donne une majoration de la probabilité qu'une variable aléatoire réelle à valeurs positives soit supérieure ou égale à une constante positive. Cette inégalité a été nommée ainsi en l'honneur d'Andreï Markov.
Il existe une version plus générale de ce théorème. Soit X une variable aléatoire de où Ω est l'ensemble des réalisations, est la tribu des événements et la mesure de probabilité. Alors, l'inégalité de Markov peut être énoncée de la façon suivante :
Inégalité de Tchebychev — Pour tout réel strictement positif ,
La démonstration tient entièrement au fait que pour tout α strictement positif, . Ici, 1A désigne l'indicatrice de l'événement A. Par croissance de l'espérance, on obtient :
En divisant de part et d'autre de l'inégalité par αp on trouve le résultat recherché.
On voit immédiatement que le résultat cité plus haut n'est rien d'autre qu'un cas particulier de cette inégalité.
Corollaire — Soit ϕ une fonction croissante positive ou nulle sur un intervalle I. Soit Y une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé telle que . Alors :
Démonstration
On applique l'inégalité de Markov à et à pour obtenir :
Le choix, dans l'inégalité ci-dessus, de , ou bien , de , et de ϕ(x) = eλx, λ > 0 , est le premier pas de la démonstration de l'inégalité de Chernoff ou de l'inégalité de Hoeffding.