Inégalité de Tchebychev pour les sommes

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L’inégalité de Tchebychev pour les sommes est due à Pafnouti Tchebychev. Elle est un cas particulier de l'inégalité FKG[1] et de l'inégalité de Harris. Elle ne doit pas être confondue avec l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Inégalité de Tchebychev pour les sommes — Si et alors

De même, si et alors

Version continue : inégalité de corrélation[modifier | modifier le code]

Il existe une version continue de l'inégalité de Tchebychev pour les sommes :

Théorème —  Si f et g sont des fonctions à valeurs réelles, intégrables sur [0,1], toutes deux croissantes (ou toutes deux décroissantes), alors

Une version plus générale est la suivante :

Inégalité de corrélation —  Pour toute variable aléatoire réelle X, si f et g sont des fonctions à valeurs réelles, toutes deux croissantes (ou toutes deux décroissantes), telles que f(X) et g(X) soient de carré intégrables sur [0,1], alors

ou bien, de manière équivalente,

  • L'inégalité de Tchebychev pour les sommes se déduit de l'inégalité de corrélation par application du théorème de transfert pour les variables aléatoires réelles : il suffit de choisir, dans l'inégalité de corrélation, une variable aléatoire réelle X suivant la loi uniforme discrète sur puis de poser f(i)=ai et g(i)=bi .
  • La version continue de l'inégalité de Tchebychev pour les sommes se déduit de de l'inégalité de corrélation de manière analogue, en choisissant, dans l'inégalité de corrélation, une variable aléatoire réelle X suivant la loi uniforme continue sur [0,1].
  • La démonstration de l'inégalité de corrélation est analogue à la démonstration de l'inégalité de Tchebychev pour les sommes, telle que donnée dans cette page : cette démonstration figure, comme premier pas de la démonstration de l'inégalité FKG, sur la page correspondante.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Pages liées[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  1. (en) C. M. Fortuin, P. W. Kasteleyn et J. Ginibre, « Correlation inequalities on some partially ordered sets », Communications in Mathematical Physics, vol. 22,‎ , p. 89-103 (ISSN 0010-3616, présentation en ligne)