Identité hypergéométrique

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Une identité hypergéométrique est un résultat sur des sommes de termes d'une série hypergéométrique. De telles identités apparaissent fréquemment dans des problèmes de combinatoire et d'analyse d'algorithme. Les premières identités ont été trouvées à la main par des mathématiciens brillants comme Carl Friedrich Gauss ou Ernst Kummer. Maintenant, l'objectif est d'obtenir des algorithmes qui automatisent les démonstrations de ces égalités.

La liste des identités hypergéométriques est parfois appelée liste de Bailey suite à l'ouvrage de Wilfrid Norman Bailey (en)[1].

Parmi les identités hypergéométriques les plus classiques

 \sum_{i=0}^{n} {n \choose i} = 2^{n}, \qquad \sum_{i=0}^{n} {n \choose i}^2 = {2n \choose n} \qquad \mbox{ et } \qquad\sum_{k} k {n \choose k} = n2^{n-1}.

Automatisation de la preuve[modifier | modifier le code]

La preuve automatisée repose sur deux étapes :

  • trouver une expression simple de la somme hypergéométrique, dans le meilleur des cas une forme close ;
  • montrer rigoureusement (par des suites de transformations élémentaires) que cette expression est bien égale à la somme initiale.

Pour chaque type de somme hypergéométrique, il existe de nombreuses méthodes pour trouver une expression simple. Certaines de ces méthodes offrent aussi une preuve de l'égalité. On peut nommer :

Les méthodes employées font souvent appel à des résultats du calcul formel.

Exemples d'identités hypergéométriques[modifier | modifier le code]

Référence[modifier | modifier le code]

  1. (en) W. N. Bailey, Generalized Hypergeometric Series, Cambridge University Press, coll. « Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics » (no 32),‎ 1935

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Théorème hypergéométrique de Gauss

Liens externes[modifier | modifier le code]