Identité de Vandermonde

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En mathématiques combinatoires, l'identité de Vandermonde, nommée d'après Alexandre-Théophile Vandermonde (1772), affirme que

,

où les nombres (parfois aussi notés ) sont les coefficients binomiaux, « ! » désignant la factorielle.

Preuves[modifier | modifier le code]

Algébrique[modifier | modifier le code]

Elle peut être démontrée de façon algébrique[1].

D'après les propriétés générales des puissances dans n'importe quel anneau (ici : l'anneau des polynômes à coefficients entiers),

En appliquant la formule du binôme de Newton puis en effectuant le produit des deux polynômes de droite, cette égalité devient :

En identifiant les coefficients, l'identité de Vandermonde apparaît :

Bijective[modifier | modifier le code]

Une preuve bijective basée sur le dénombrement est aussi possible[2]. Ainsi, en considérant deux ensembles E et F finis et disjoints de cardinaux respectifs m et n, ce qui implique que le nombre de combinaisons de r éléments de EF est égal à

D’autre part, on peut obtenir toutes les combinaisons en choisissant r éléments dans E et aucun dans F, ou r-1 dans E et un dans Fetc. Les ensembles E et F étant définis disjoints, toutes les combinaisons possibles de r éléments parmi les m+n de EF ont été comptées une seule fois, ce qui donne l’égalité.

Probabiliste[modifier | modifier le code]

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On considère des variables aléatoires , définies sur un même espace probabilisé, indépendantes et identiquement distribuées, suivant toutes la loi de Bernoulli de paramètre 1/2 (cf. Processus de Bernoulli). On pose , (indépendantes), et . Alors (resp. , ) suit la loi binomiale b(n, 1/2) (resp. b(m, 1/2), b(n + m, 1/2)). En considérant les fonctions génératrices associées, on a donc démontré :

(ce qui est par ailleurs immédiat).

On conclut par la preuve algébrique.

Distribution de probabilités hypergéométrique[modifier | modifier le code]

Lorsque les deux côtés de cette identité sont divisés par l'expression de gauche, alors les termes obtenus peuvent être interprétés comme des probabilités, lesquelles sont donnés par la distribution hypergéométrique. C'est la probabilité de tirer des billes rouges en r tirages sans remise d'une urne contenant n billes rouges et m billes bleues. Par exemple, supposons qu'une personne est responsable de créer un comité de r membres tirés au hasard parmi n verts et m jaunes. Alors quelle est la probabilité qu'il y ait exactement k verts dans le comité ? La réponse se trouve dans cette distribution.

Identité de Chu-Vandermonde[modifier | modifier le code]

L'identité de Chu-Vandermonde — du nom de Vandermonde et du mathématicien chinois Zhu Shijie (environ 1260 - environ 1320)[3] — généralise l'identité de Vandermonde à des valeurs non entières (en utilisant la définition générale des coefficients binomiaux :

qui vient d'une réécriture de la « formule du binôme pour les factorielles décroissantes » établie par Vandermonde[4], exprimant que la suite des polynômes est de type binomial (en) :

L'identité de Chu-Vandermonde est vraie pour tous nombres complexes s et t.

Elle est elle-même un cas spécial du théorème hypergéométrique de Gauss qui affirme que

est la fonction hypergéométrique et est la fonction gamma. Il suffit de prendre a = –n et d'appliquer l'identité

à plusieurs reprises.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Vandermonde's identity » (voir la liste des auteurs).

  1. (en) Thomas Koshy, Catalan Numbers with Applications, Oxford University Press, (lire en ligne), p. 92.
  2. Steeve Sarfati et Matthias Fegyvères, Mathématiques : méthodes, savoir-faire et astuces, Bréal, (lire en ligne), p. 402.
  3. (en) Richard P. Stanley, Enumerative Combinatorics, vol. 1, CUP, , 2e éd. (lire en ligne), p. 97.
  4. V.-A. Lebesgue (en), « Mémoire sur une formule de Vandermonde et son application à la démonstration d'un théorème de M. Jacobi », J. Math. Pures Appl., 1e série, vol. 6,‎ , p. 17-35 (lire en ligne).

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) BinomialCoefficients contient quelques démonstrations de l'identité de Vandermonde