Gnomonique

La gnomonique (du grec gnomon, indicateur) est l'art de concevoir, calculer et tracer des cadrans solaires.

• On attribue les prémices de la gnomonique ancienne au Grec Anaximandre (-550) qui contribuât de façon notable au développement de la science des ombres ramenée d’Egypte par Thalès
• La gnomonique était alors utilisée par les architectes grecs et romains dans les années -25 lors de la conception des bâtiments (source : De Architectura de Vitruve, chapitre III).
• La gnomonique moderne ayant pour base l’astronomie naquit en Europe au milieu du XVIe siècle. Les premiers ouvrages, en latin, furent publiés par Sebastian Münster en 1531 et par Oronce Fine en 1532 rapidement suivis par des livres en français.
• C'est à partir du XVIIe siècle que la gnomonique se développa notamment en s'appuyant sur la trigonométrie sphérique. De multiples méthodes, graphiques ou analytiques, exposées dans de multiples livres ont permis et permettent encore de réaliser avec plus ou moins de précision les cadrans solaires ornant les façades et les jardins.
• Dans son Histoire de la Gnomonique ancienne et moderne Jean-Étienne Montucla resume la gnomonique en quelques mots:

"Qu’on ait douze plans se coupant tous à angles égaux dans une même ligne, et que ces plans, indéfiniment prolongés, en rencontrent un autre dans une situation quelconque, il s’agit de déterminer les lignes dans lesquelles ils le coupent."

Gnomonique analytique

Changement de coordonnées-Matrices de passage

Les coordonnées cartésiennes du Soleil dans le système de coordonnées horizontales peuvent être déterminées en effectuant des changements de repère successifs.

Expression des matrices de passage

Une matrice de passage d'un repère B à un repère B' permet de calculer les coordonnées, d'un point ou d'un vecteur, dans le repère B' connaissant ses coordonnées dans le repère B.

Exemple:

Soit le changement de repère par rotation d'un angle α autour de l'axe Z. Les coordonnées dans le nouveau repère se calculent à partir des coordonnées dans l'ancien repère :

${\begin{pmatrix}\mathrm {X} '\\\mathrm {Y} '\\\mathrm {Z} '\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha &0\\-\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\mathrm {X} \\\mathrm {Y} \\\mathrm {Z} \\\end{pmatrix}}$

De même pour une rotation d'un angle α autour de l'axe X on aura :

${\begin{pmatrix}\mathrm {X} '\\\mathrm {Y} '\\\mathrm {Z} '\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos \alpha &\sin \alpha \\0&-\sin \alpha &\cos \alpha \\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\mathrm {X} \\\mathrm {Y} \\\mathrm {Z} \\\end{pmatrix}}$

Et pour une rotation d'un angle α autour de l'axe Y on aura :

${\begin{pmatrix}\mathrm {X} '\\\mathrm {Y} '\\\mathrm {Z} '\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \alpha &0&-\sin \alpha \\0&1&0\\\sin \alpha &0&\cos \alpha \\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\mathrm {X} \\\mathrm {Y} \\\mathrm {Z} \\\end{pmatrix}}$

Modélisation du mouvement apparent du Soleil

Les coordonnées cartésiennes du Soleil dans le système de coordonnées horizontales se calculent en utilisant les matrices de passage :

${\begin{pmatrix}\mathrm {X} _{h}\\\mathrm {Y} _{h}\\\mathrm {Z} _{h}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos({\frac {\pi }{2}}-\phi )&0&-\sin({\frac {\pi }{2}}-\phi )\\0&1&0\\\sin({\frac {\pi }{2}}-\phi )&0&\cos({\frac {\pi }{2}}-\phi )\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\cos(LMST)&\sin(LMST)&0\\-\sin(LMST)&\cos(LMST)&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos(-\epsilon )&\sin(-\epsilon )\\0&-\sin(-\epsilon )&\cos(-\epsilon )\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos(l_{\odot })\\\sin(l_{\odot })\\0\\\end{pmatrix}}$

avec:

$\phi$: Latitude du lieu d'observation

$LMST$: Temps sidéral moyen local

$\epsilon$: Inclinaison de l'axe

$l_{\odot }$: Longitude écliptique du Soleil

Projection de l'ombre d'un gnomon vertical

Soient ${\begin{pmatrix}0\\0\\L\\\end{pmatrix}}$ les coordonnées cartésiennes, dans le repère local, de l'extrémité d'un gnomon vertical de longueur $L$.

Les coordonnées de l'ombre de cette extrémité sur le plan horizontal sont obtenues en effectuant sa projection affine parallèlement à la droite passant par ${\begin{pmatrix}\mathrm {X} _{h}\\\mathrm {Y} _{h}\\\mathrm {Z} _{h}\\\end{pmatrix}}$ et ${\begin{pmatrix}0\\0\\L\\\end{pmatrix}}$.

Cadran incliné déclinant

Les coordonnées cartésiennes du Soleil dans le système de coordonnées lié à un cadran incliné déclinant sont :

• ${\begin{pmatrix}\mathrm {X} '_{h}\\\mathrm {Y} '_{h}\\\mathrm {Z} '_{h}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos i&0&-\sin i\\0&1&0\\\sin i&0&\cos i\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\cos(-D)&\sin(-D)&0\\-\sin(-D)&\cos(-D)&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\mathrm {X} _{h}\\\mathrm {Y} _{h}\\\mathrm {Z} _{h}\\\end{pmatrix}}$

avec :

D: Déclinaison de la table du cadran

$i$: Inclinaison du cadran, c'est-à-dire angle de la normale par rapport au zénith

Autre utilisation du terme

La projection gnomonique est une projection cartographique où le point de perspective est au centre du sphéroïde.

Synonymes

• Horolographie
• Horographie
• Horlogiographie ou horlogeographie
• Sciathérique

Bibliographie

• Histoire de la Gnomonique ancienne et moderne (1758) par Jean-Étienne Montucla.
• Bibliothèque complète des livres en français par M. Puissant.
• Les cadrans solaires, Traité de Gnomonique théorique et appliquée, René R. J. Rohr, Gauthier-Villars Éditeur, 1965.
• Les Cadrans solaires, Denis Savoie, éd. Belin, coll. « Pour la Science », 2003.
• La Gnomonique, Denis Savoie, éd. Les Belles Lettres, 2001.
• Traité abrégé de gnomonique, Francis Ziegeltrum, auto-édition, 2010

Voir aussi

• Commission des Cadrans Solaires, de la Société Astronomique de France
• Le Gnomoniste, bulletin de liaison de la Commission des Cadrans solaires du Québec (CCSQ), tous les numéros de 1995 à 2014 disponibles sous forme de fichiers pdf.
• Fin mai 2018, un cours en ligne consacré à la théorie (et à la construction) de cadrans solaires a été lancé par un membre de la Commission cadrans solaires de la Société astronomique de France. Libre et gratuit, ouvert toute l'année, se voulant résolument francophone et accessible à tous, ce MOOC comporte notamment les formules utiles aux tracé des lignes horaires de cadrans solaires de divers types : horizontaux ou verticaux, polaires, équatoriaux, analemmatiques, etc.