Fonction de masse (probabilités)

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En théorie des probabilités, la fonction masse[1] est la fonction qui donne la probabilité d'un résultat élémentaire d'une expérience. Elle se distingue de la densité de probabilité en ceci que les densités de probabilité ne sont définies que pour des variables aléatoires absolument continues, et que c'est leur intégrale sur un domaine qui a valeur de probabilité (et non leurs valeurs elles-mêmes).

Description mathématique[modifier | modifier le code]

La loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète. Le support est composé des singletons {1}, {3} et {7} et les probabilités associées sont respectivement 0,20, 0,50 et 0,30. Un ensemble ne contenant pas ces points se voit attribuer une probabilité nulle.

Soit \scriptstyle (\Omega, \mathcal A, \mathbb P) un espace probabilisé.

On appelle fonction masse de \scriptstyle \mathbb P, et on note \scriptstyle p, la fonction de \scriptstyle \Omega dans \scriptstyle \mathbb R_+ définie par :

\forall \omega \in \Omega, \ p(\omega) = \begin{cases}\mathbb P(\{\omega\}) &\text{si} \ \{\omega\} \in \mathcal A\\
0 &\text{si} \ \{\omega\} \notin \mathcal A.\end{cases}


Lorsque \scriptstyle \mathbb P est discrète, pour tout \scriptstyle A \in \mathcal A :

\mathbb P(A) = \sum_{\omega \in A \cap \Omega_a} p(\omega) = \sum_{\omega \in \Omega_a} p(\omega) \delta_{\omega}(A)

\scriptstyle \Omega_a \subset \Omega est l'ensemble des atomes de \scriptstyle \mathbb P et \scriptstyle \delta_{\omega} la mesure de Dirac au point \scriptstyle \omega.


Soit \scriptstyle (\Omega, \mathcal A, \mathbb P) un espace probabilisé, \scriptstyle (Y, \mathcal B) un espace probabilisable et \scriptstyle X : \Omega \longrightarrow Y une variable aléatoire.

On appelle fonction masse de \scriptstyle \mathbb P_X, et on note \scriptstyle p_X, la fonction de \scriptstyle Y dans \scriptstyle \mathbb R_+ définie par :

\begin{align}
\forall x \in Y, \ p_X(x)
&=\begin{cases}\mathbb P_X(\{x\}) &\text{si} \ \{x\} \in \mathcal B\\0 &\text{si} \ \{x\} \notin \mathcal B\end{cases}\\
&=\begin{cases}\mathbb P_X(\{x\}) &\text{si} \ x \in X(\Omega)\\0 &\text{si} \ x \notin X(\Omega).\end{cases}
\end{align}

Lorsque \scriptstyle X est discrète, pour tout \scriptstyle B \in \mathcal B :

\mathbb P_X(B) = \sum_{x \in B \cap Y_a} p_X(x) = \sum_{x \in Y_a} p_X(x) \delta_x(A)

\scriptstyle Y_a \subset Y est l'ensemble des atomes de \scriptstyle X et \scriptstyle \delta_x la mesure de Dirac au point \scriptstyle x.

Le théorème de transfert donne, pour toute fonction \scriptstyle \varphi : Y \longrightarrow \mathbb R :

\mathbb E\big(\varphi(X)\big) = \sum_{x \in Y_a} \varphi(x) p_X(x).


Pour une loi continue, la fonction de masse est la fonction nulle donc elle n'est pas pertinente. Si une loi continue n'est pas singulière (c'est-à-dire si elle est absolument continue) on utilise sa densité de probabilité.

Exemple[modifier | modifier le code]

Soit \scriptstyle X une variable aléatoire identifiant le résultat d'un pile ou face à 0 pour pile et 1 pour face. On a :

  • \Omega = \{\mathrm{pile}, \mathrm{face}\},
  • Y = \mathbb R (par exemple, l'important est que \scriptstyle Y \supset X(\Omega) = \{0, 1\} puisque \scriptstyle X : \Omega \longrightarrow Y),
  • \mathcal A = \mathcal P(\Omega) (par exemple, l'important est que \scriptstyle \mathcal A soit une tribu sur \scriptstyle \Omega qui contienne au moins les évènements physiquement possibles de l'expérience),
  • \mathcal B = \mathcal P(Y) (par exemple, l'important est que \scriptstyle \mathcal B soit une tribu sur \scriptstyle Y qui contienne au moins l'image directe par \scriptstyle X des évènements physiquement possibles).

Si on suppose que les évènements \scriptstyle \{\mathrm{pile}\} et \scriptstyle \{\mathrm{face}\} ont la même probabilité, alors \scriptstyle \mathbb P(\{\mathrm{pile}\}) = \mathbb P(\{\mathrm{face}\}) = 0,5 (car \scriptstyle \mathbb P(\Omega) = 1) et par conséquent \scriptstyle \mathbb P_X(\{x\}) = 0,5 pour tout \scriptstyle x \in X(\Omega).

Ainsi la fonction de masse de \scriptstyle X vaut :

\forall x \in Y, \ p_X(x) = \begin{cases}0,5 &\text{si} \ x \in X(\Omega),\\
0 &\text{si} \ x \notin X(\Omega).\end{cases}

\scriptstyle X est une variable aléatoire discrète, sa loi de probabilité associée \scriptstyle \mathbb P_X est la loi de Bernoulli de paramètre 0,5.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Johnson, N.L., Kotz, S., Kemp A. (1993), Univariate Discrete Distributions (2nd Edition). Wiley. ISBN 0-471-54897-9 (p. 36)

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Il s'agit d'une traduction littérale du terme anglais mass function

Article connexe[modifier | modifier le code]