Fonction de Langevin

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Fonction de Langevin (en rouge), avec deux approximations pour des petits x : développement en fraction continue tronqué (en vert), et développement limité à l'ordre 3 (en bleu).

La fonction de Langevin est due à Paul Langevin (1872-1946) et se définit par où coth est la fonction cotangente hyperbolique.

Contexte[modifier | modifier le code]

La fonction de Langevin apparaît dans la description du paramagnétisme d'un matériau soumis à un champ magnétique uniforme B, ainsi que celle de systèmes formellement apparentés comme un polymère librement joint soumis à une force de traction constante.

La matériau est décrit comme une assemblée de dipôles magnétiques classiques indépendants, ayant chacun un moment magnétique m dont la direction est libre mais le module, µ, est fixe. L'énergie de chaque dipôle est alors U = −mB.

Calcul de l'aimantation moyenne[modifier | modifier le code]

On se place à température fixée (ensemble canonique). Dans ce cas, l'aimantation du matériau vaut M = nmn est la densité de moments magnétiques et la valeur moyenne m de ces moments est donnée par la loi de Boltzmann :

kB est la constante de Boltzmann, T la température, l'élément d'angle solide et où l'intégration se fait sur toutes les orientations possibles pour m.

Résultat[modifier | modifier le code]

Des manipulations élémentaires mènent alors à

L est la fonction de Langevin.

Comportement asymptotique[modifier | modifier le code]

À champ non nul, lorsque la température tend vers zéro on a M⟩ ≈  : l'aimantation sature (les spins sont gelés dans l'état fondamental). Lorsqu'on se place dans la limite des hautes températures M⟩ ≈ 0, l'énergie thermique est très supérieure à l'énergie magnétique (régime entropique : les spins ne voient plus le champ magnétique).

Pour x ≪ 1, la fonction de Langevin peut se développer en série de Taylor :

ou en fraction continue généralisée :

Dans le régime des hautes températures (kTµB), on peut garder le seul premier terme de ces développements (L(x) ≈ x/3), ce qui conduit à la loi de Curie :

avec la susceptibilité magnétique.

La fonction de Langevin vérifie aussi la relation suivante, qui peut se déduire d'un analogue pour la fonction cotangente :

Voir aussi[modifier | modifier le code]