Distribution tempérée

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

Une distribution tempérée est une forme linéaire continue sur l'espace de Schwartz \mathcal{S} . L'espace \mathcal{S}' des distributions tempérées est donc le dual topologique de \mathcal{S}. Par densité de \mathcal{D} dans \mathcal{S}, il s'identifie à un sous-espace vectoriel de l'espace \mathcal{D}' de toutes les distributions : le sous-espace (propre) des distributions qui s'étendent continûment à \mathcal{S}.

Par exemple, les fonctions continues bornées, comme la fonction constante 1, définissent des distributions tempérées, ainsi que toutes les distributions à support compact, comme la distribution de Dirac.

Les distributions tempérées ont été introduites par Laurent Schwartz, mais initialement sous l'appellation « distributions sphériques »[1], ce qui explique l'emploi de la lettre S par Schwartz lui-même.

Définition[modifier | modifier le code]

Une distribution tempérée sur \R^N est une forme linéaire continue sur \mathcal{S}(\R^N). La continuité d'une forme linéaire T sur \mathcal{S}(\R^N) peut s'exprimer de deux façons équivalentes :

Toute distribution tempérée se restreint donc en une distribution d'ordre fini et par densité de \mathcal{D} dans \mathcal{S}, une distribution T se prolonge en une (unique) distribution tempérée si et seulement si elle vérifie une telle inégalité pour tout \phi \in \mathcal{D}(\R^N).

Caractérisation des distributions tempérées[2],[3] — Les distributions tempérées de \R^N sont exactement les distributions T de la forme :

 T = \partial^{\alpha}_x \left( (1 +\|x\|^2)^n f \right)

\alpha\in\N^N est un multi-indice, n est un entier naturel et f est une fonction continue et bornée sur \R^N, et où la dérivation s'entend au sens des distributions.

« Cette caractérisation [est] très utile en pratique, mais […] sa démonstration [est] un peu délicate[4]. »

Topologie[modifier | modifier le code]

On munit \mathcal{S}' de la topologie faible-* ; \mathcal{S}' est alors un espace localement convexe (et son dual topologique s'identifie à \mathcal{S}). Plus explicitement, la collection de tous les ensembles de la forme

\{\Lambda \in \mathcal{S}'\mid\, | \langle \Lambda , \phi_1 \rangle | <\varepsilon, \dots, | \langle \Lambda , \phi_N \rangle | <\varepsilon\} (où \phi_1,\dots \phi_N \in \mathcal{S} et \varepsilon\in \R^{ \ast +})

est une base de voisinages de 0.

La convergence dans \mathcal{S}' est donc, comme dans \mathcal{D}', la convergence simple : dire que la suite (T_N) de \mathcal{S}' tend vers T signifie que pour toute fonction \phi\in \mathcal{S}, on a \langle T-T_N,\phi\rangle\underset{N\rightarrow\infty}\longrightarrow0.

Exemples de distributions tempérées[modifier | modifier le code]

Distributions à support compact[modifier | modifier le code]

Toute distribution à support compact est tempérée et \mathcal{E}'(\R^N) s'injecte continûment dans \mathcal{S}'(\R^N).

Mesures tempérées[modifier | modifier le code]

Toute mesure de Borel μ (signée, voire complexe (en)) sur ℝN représente une distribution Tμ, définie via l'injection linéaire T :

\langle T_{\mu}, \phi \rangle := \int_{\R^N}\phi\,\mathrm{d}\mu pour toute fonction \phi \in \mathcal{D}(\R^N).

Pour que cette distribution soit tempérée, il suffit que la mesure μ le soit, c'est-à-dire vérifie les conditions équivalentes suivantes, où la mesure positive |μ| est la variation (en) de μ :

  • il existe un entier naturel p tel que la mesure à densité (1 + ║x2)p|μ| soit finie ;
  • il existe un entier naturel p tel que |μ|(B(0, R)) = O(Rp) (quand le rayon R de la boule B(0, R) tend vers l'infini).

Remarque : cette condition suffisante n'est pas nécessaire. Par exemple sur ℝ, la fonction x ↦ sin(ex) est la densité, par rapport à la mesure de Lebesgue λ, d'une mesure tempérée, qui définit donc une distribution tempérée, donc sa dérivée x ↦ excos(ex) définit aussi une distribution tempérée, bien qu'elle soit à croissance exponentielle.

Distributions tempérées régulières[modifier | modifier le code]

Pour toute fonction localement intégrable f, les considérations précédentes s'appliquent à la mesure à densité μ = f λ.

La distribution Tf λ, dite régulière, est donc tempérée par exemple si :

  • f est (localement intégrable et) à croissance polynomiale (i.e. en O(║xc) pour un certain réel c, au voisinage de l'infini) ;
  • f appartient à un espace de Lebesgue Lp(ℝN), avec 1 ≤ p ≤ ∞.

Plus précisément, Lp(ℝN) s'injecte continûment dans \mathcal{S}'(\R^N).

Distributions tempérées à support dans ℤN[modifier | modifier le code]

Les considérations précédentes s'appliquent également à toute mesure μ à support dans ℤN, canoniquement associée à une suite multi-indexée a = (ak)k∈ℤN de complexes par la relation ak = μ({k}). La distribution Tμ associée, qui s'écrit alors  T_\mu=\sum_{k\in\Z^N}a_k \delta_k, est donc tempérée dès que la suite a est à croissance polynomiale.

Distributions périodiques[modifier | modifier le code]

Une distribution T sur \R^N est dite périodique de période a\in\R^N si  T \circ \tau_a = T,\tau_a : x \mapsto x + a désigne la translation de a.

Sur ℝN, toute distribution périodique est tempérée.

Les exemples les plus simples sont le peigne de Dirac Ш1 — qui est à la fois périodique et à support dans ℤ — et les distributions régulières périodiques, c'est-à-dire associées à des fonctions localement intégrables périodiques.

Opérations sur les distributions tempérées[modifier | modifier le code]

On montre ce qui suit[5] :

  • Si T\in\mathcal{S}^{\prime}(\R^N) alors, pour tous multi-indices \alpha,\beta\in\N^N, le produit x^{\alpha}T (avec un abus de langage) et la dérivée \partial^{\beta}T appartiennent à \mathcal{S}'(\R^N). De plus, la multiplication T\mapsto x^{\alpha}T et la dérivation T\mapsto\partial^{\beta}T sont des applications linéaires continues de \mathcal{S}^{\prime}(\R^N) dans \mathcal{S}^{\prime}(\R^N).

Soit une distribution tempérée T de \mathcal{S}'(\R^N). Alors

Transformée de Fourier des distributions tempérées[modifier | modifier le code]

Définition[modifier | modifier le code]

On appelle transformation de Fourier de \mathcal{S}'(\R^N) dans \mathcal{S}'(\R^N) la transposée de la transformation de Fourier de \mathcal{S}(\R^N) dans \mathcal{S}(\R^N). On la note de nouveau \mathcal{F}, autrement dit on pose

\forall T\in \mathcal{S}^{\prime}(\R^N)\quad\forall\phi\in\mathcal{S}(\R^N)\quad\left\langle\mathcal{F}T,\phi\right\rangle=\left\langle T,\mathcal{F}\phi\right\rangle.

Note : on retrouve la transformée de Fourier usuelle si T s'identifie à une fonction de L1 ou L2, ou à une fonction localement intégrable périodique (cf. article détaillé).

Inversion de Fourier[modifier | modifier le code]

On définit de même l'opérateur \mathcal{\bar{F}} sur \mathcal{S}'(\R^N) comme le transposé de celui sur \mathcal{S}(\R^N) :

\forall T\in \mathcal{S}^{\prime}(\R^N)\quad\forall\phi\in\mathcal{S}(\R^N)\quad\left\langle\mathcal{\bar{F}}T,\phi\right\rangle=\left\langle T,\mathcal{\bar{F}}\phi\right\rangle.

On déduit des propriétés des opérateurs sur \mathcal{S}(\R^N) les propriétés analogues pour leurs transposés :

Formule d'inversion de Fourier sur \mathcal{S}'(\R^N) —  La transformée de Fourier est un automorphisme du \C-espace vectoriel \mathcal{S}'(\R^N) des distributions tempérées, dont l'automorphisme réciproque est \mathcal{\bar{F}}=\tilde{}\circ\mathcal{F}=\mathcal{F}\circ\tilde{}, où l'opérateur antipodie \tilde{ } est défini pour toute distribution S sur \R^N par

\tilde{S} = S \circ (- Id_{\R^N}) \quad \Leftrightarrow \quad \forall \phi \in \mathcal{D}(\R^N), \quad \langle \tilde{S}, \phi \rangle = \langle S, \phi \circ (- Id_{\R^N}) \rangle.

Remarque : cette formule dépend de la convention choisie pour la transformation de Fourier dans l'espace des fonctions. Elle est valide pour une transformation de Fourier exprimée dans l'espace des fréquences, dont la définition utilise {\rm e}^{-{\rm i}2 \pi \xi \cdot x}.

Autres propriétés[modifier | modifier le code]

La transformée de Fourier dans \mathcal{S}' hérite de ses propriétés dans \mathcal{S}.

  • \mathcal{F} est un automorphisme de période 4 (i.e. 4 est le plus petit entier positif k tel que \mathcal{F}^4={\rm Id}), bicontinu ( \mathcal{F}^{-1} est aussi continue).
  • En particulier \mathcal{F} hérite de la continuité séquentielle. Pour toute suite (T_n)_{n\in\N} de distributions tempérées, T_n \underset{n\rightarrow \infty}{\longrightarrow} T  \Rightarrow\mathcal{F}T_n \underset{n\rightarrow \infty}{\longrightarrow}\mathcal{F}T.
  • Dans \mathcal{S}'(\R^N), la transformation de Fourier échange l'espace des convoleurs \mathcal{O}_c^{\prime}(\R^N) et l'espace des multiplicateurs \mathcal{O}_M(\R^N), et échange le produit convolutif et le produit multiplicatif. Autrement dit, soit S\in\mathcal{S}^{\prime}(\R^N),T\in \mathcal{O}_c^{\prime}(\R^N) et f\in\mathcal{O}_M(\R^N), alors on a
    \mathcal{F}T\in\mathcal{O}_M(\R^N),\quad\mathcal{F}f\in\mathcal{O}_c^{\prime}(\R^N),
    \mathcal{F}(T\ast S)=(\mathcal{F}T)(\mathcal{F}S)\quad{\rm et}\quad\mathcal{F}(fS)=(\mathcal{F}f)\ast(\mathcal{F}S).

Exemples de transformées de Fourier de distributions[modifier | modifier le code]

Les formules dépendent de la convention choisie pour la transformation de Fourier dans l'espace des fonctions. Elles sont valides pour une transformation de Fourier exprimée dans l'espace des fréquences, dont la définition utilise {\rm e}^{-{\rm i}2 \pi \xi \cdot x}.

Opérations usuelles[modifier | modifier le code]

Soit T une distribution tempérée sur \R^N. Les opérations alors utilisées dans les cas des fonctions sont maintenant valides sans hypothèse supplémentaire.

  • Dérivation : pour tout k = 1, \ldots, N \qquad, \mathcal{F}(\partial_{x_k}T) = 2 \pi{\rm i}\xi_k \mathcal{F}T.
  • Multiplication par un polynôme : pour tout k = 1, \ldots, N \quad, \mathcal{F}(x_k T) = 1/({\rm i}2\pi) \partial_{x_k} \mathcal{F}T.
  • Translation : pour tout a\in\R,~\mathcal{F}(T \circ \tau_a) = e_{2 \pi a} \mathcal{F}T.
  • Modulation : pour tout a\in\R,~\mathcal{F}(e_{-2\pi a} T) = (\mathcal{F}T) \circ \tau_a.

Transformées usuelles[modifier | modifier le code]

  • Transformées des sinusoïdes e_{\omega} : \xi \mapsto{\rm e}^{{\rm i}\omega \cdot \xi}~:

\mathcal{F} e_{\omega}  = \delta_{\omega / 2\pi}.

  • Transformées des masses de Dirac. Pour tout a\in\R^N et tout multi-indice \alpha\in\N^N~:

\begin{align}
\mathcal{F} \delta_0  & = 1	\\
\mathcal{F} (\partial_\alpha \delta_0)  & = \xi \mapsto (-{\rm i}2 \pi \xi)^\alpha	\\
\mathcal{F} \delta_a 	& = \xi \mapsto{\rm e}^{-2 \pi a \cdot \xi}	\\
\mathcal{F} (\partial_\alpha \delta_a)  & = \xi \mapsto (-{\rm i}2 \pi \xi)^\alpha{\rm e}^{-2 \pi a \cdot \xi}.
\end{align}

  • Transformées des polynômes : pour tout multi-indice \alpha = (\alpha_1, \alpha_2, \ldots)\in\N^N,

\mathcal{F} (\xi_1^{\alpha_1} \xi_2^{\alpha_2} \ldots \xi_N^{\alpha_N}) = \frac1{({\rm i}2 \pi)^{|\alpha|}} \partial_1^{\alpha_1} \partial_2^{\alpha_2} \ldots \partial_N^{\alpha_N} \delta_0.

Distributions périodiques[modifier | modifier le code]

La transformée de Fourier d'une distribution U T-périodique sur \R est la distribution en somme de Diracs

\mathcal{F}U = \sum_{k\in\Z}c_k \delta_{k/T}

c'est-à-dire un signal, échantillonné à la fréquence \frac{1}{T}, dont les échantillons (c_k)_{k\in\Z} sont données par

c_k = \mathcal{F}(\phi U)(k/T)

pour toute fonction test \phi \in \mathcal{D}'(\R) vérifiant \sum_{k\in\Z}\phi(\cdot + k) \equiv 1.

Cas des distributions à support compact[modifier | modifier le code]

Dans cette section, T est supposée à support compact.

Transformée de Fourier[modifier | modifier le code]

On démontre que l'application f définie sur ℝN par

f(\xi)=\langle T_x,{\rm e}^{-{\rm i}x\cdot\xi}\rangle

est de classe C, avec \partial^{\alpha}f(\xi)=\langle T_x,(-{\rm i}x)^{\alpha}{\rm e}^{-{\rm i}x\cdot\xi}\rangle donc (en utilisant la continuité de T en termes de semi-normes et la compacité de son support) à croissance polynomiale. Elle définit donc une distribution tempérée régulière Tf, et l'on vérifie que

\mathcal FT=T_f.

Transformée de Fourier-Laplace[modifier | modifier le code]

Donnons maintenant la définition de la transformée de Fourier-Laplace de T, extension à ℂn de sa transformée de Fourier :

\C^n\to\C,\quad z\mapsto\langle T_x,{\rm e}^{-{\rm i}x\cdot z}\rangle.

On montre (théorème de Paley-Wiener) que cette fonction est entière.

Ainsi, la transformée de Fourier d'une distribution à support compact est analytique.

Cette remarque est cohérente avec la propriété d'échange entre décroissance à l'infini et régularité. Comme la compacité du support est la plus grande vitesse de décroissance à l'infini, il est prévisible que cette propriété s'échange avec celle de régularité extrême, c'est-à-dire la propriété d'être une fonction entière.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. L. Schwartz, « Théorie des distributions et transformation de Fourier », Annales de l'université de Grenoble, vol. 23,‎ 1947-1948, p. 7-24 (lire en ligne).
  2. L. Schwartz, Théorie des distributions, Hermann,‎ 1966 (1re éd. 1950-1951), chap. VII, § 4, p. 239-241.
  3. (en) G. Friedlander et M. Joshi, Introduction to the Theory of Distributions, CUP,‎ 1998 (lire en ligne), p. 97-98.
  4. Schwartz 1966, p. 223.
  5. Schwartz 1966.