Espace de Schwartz

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
 Ne pas confondre avec la notion générale d'espace de Schwartz.

L'espace de Schwartz, dans l'acception dont on traite ici[1], est l'espace des fonctions déclinantes (c'est-à-dire des fonctions indéfiniment dérivables à décroissance rapide, elles ainsi que leurs dérivées de tous ordres). Le dual de cet espace est l'espace des distributions tempérées. Les espaces et jouent un rôle essentiel dans la théorie de la transformée de Fourier.

Définition[modifier | modifier le code]

Une fonction f fait partie de l'espace lorsqu'elle est indéfiniment dérivable, et si f et toutes ses dérivées sont à décroissance rapide, c'est-à-dire que leur produit par une fonction polynôme quelconque est borné à l'infini. Les fonctions appartenant à sont dites déclinantes.

Pour deux multi-indices on définit les normes par

Alors l'espace de Schwartz peut être décrit comme

S'il n'y a pas d'ambiguïté, l'espace peut être simplement représenté par la lettre

Propriétés[modifier | modifier le code]

Topologie[modifier | modifier le code]

L'espace de Schwartz peut être muni d'une topologie, la topologie initiale associée à la famille de semi-normes , équivalente à celle associée par la famille filtrante de semi-normes définie par :

L'espace de Schwartz est, muni de cette topologie, un espace de Fréchet. Étant défini par une famille filtrante dénombrable de semi-norme, il est en effet un espace localement convexe, séparé, métrisable, et on montre en outre qu'il est complet.

La convergence d'une suite de se définit donc de la manière suivante. Une suite de fonctions converge dans vers une fonction si et si

Son dual topologique est l'espace des distributions tempérées .

Exemples[modifier | modifier le code]

  • L'espace contient l'espace des fonctions C à support compact. Cet espace, aussi noté , est dense dans au sens de la convergence (forte) définie ci-dessus.
  • Il contient également d'autres éléments comme les fonctions de la forme produit d'un polynôme et d'une gaussienne :
pour un certain multi-indice α et un réel .
  • L'espace est un sous-espace vectoriel des différents espaces Lp pour 1 ≤ p ≤ +∞. Il est d'ailleurs dense dans chacun de ces ensembles, hormis L.

Opérations sur l'espace de Schwartz[modifier | modifier le code]

  • L'espace est stable par addition interne et par dérivation, et ces opérations définissent des opérateurs continus.
  • L'espace est stable par multiplication interne, ou même par multiplication par toute fonction de En particulier, il est stable par multiplication par une fonction polynomiale. Pour toute fonction de , l'opérateur défini par est continu de dans lui-même.
Multiplicateurs de  :

On définit l'espace des multiplicateurs de comme le sous-ensemble des fonctions de dont toutes les dérivées sont à croissance polynomiale, i.e.

On appelle l'espace des fonctions indéfiniment dérivables à croissance lente.

  • La transformation de Fourier induit un automorphisme topologique de . Cet automorphisme est donné par L'automorphisme inverse est donné parLe théorème de Plancherel-Parseval dit que si l'on munit de la structure préhilbertienne induite par la transformation de Fourier est un opérateur unitaire de dans lui-même.
  • La classe de Schwartz est absorbante pour le produit de convolution avec  : pour toute distribution à support compact et fonction de Schwartz on a
  • Plus généralement, on note l'ensemble des convoleurs de c'est-à-dire l'ensemble des distributions telles que envoie continûment dans Cet ensemble est un sous-espace vectoriel de (c'est-à-dire de l'espace des distributions tempérées) qui contient les distributions à support compact et les fonctions localement intégrables à décroissance rapide. C'est pourquoi on appelle l'espace des distributions à décroissance rapide. Muni du produit de convolution, est de plus une algèbre associative, commutative et unifère sur laquelle et sont des modules unitaires.

Note et références[modifier | modifier le code]

Note[modifier | modifier le code]

  1. Cette terminologie a été adoptée par certains mathématiciens, dont Harish-Chandra.

Références[modifier | modifier le code]