Espace de Schwartz

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Page d'aide sur l'homonymie Ne pas confondre avec la notion générale d'espace de Schwartz.

L'espace de Schwartz, dans l'acception dont on traite ici[1], est l'espace \mathcal{S} des fonctions déclinantes (c'est-à-dire des fonctions indéfiniment dérivables à décroissance rapide, elles ainsi que leurs dérivées de tous ordres). Le dual \mathcal{S}^{\prime} de cet espace est l'espace des distributions tempérées. Les espaces \mathcal{S} et \mathcal{S}^{\prime} jouent un rôle essentiel dans la théorie de la transformée de Fourier.

Définition[modifier | modifier le code]

Une fonction f fait partie de l'espace \mathcal{S}(\R^N) lorsqu'elle est indéfiniment dérivable, et si f et toutes ses dérivées sont à décroissance rapide, c'est-à-dire que leur produit par une fonction polynôme quelconque est borné à l'infini. Les fonctions appartenant à \mathcal{S}(\R^N) sont dites déclinantes.

Pour deux multi-indices \alpha, \beta on définit les normes \|.\|_{\alpha, \beta} par

\|f\|_{\alpha,\beta}=\|x^\alpha D^\beta f\|_\infty\,.

Alors l'espace de Schwartz peut être décrit comme

\mathcal{S}(\R^N)= 
\{ f \in \mathcal{C}^\infty(\R^N)\mid\forall (\alpha, \beta),\ \|f\|_{\alpha,\beta} < +\infty \}.

S'il n'y a pas d'ambiguïté, l'espace peut être simplement représenté par la lettre \mathcal{S}.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Topologie[modifier | modifier le code]

L'espace de Schwartz peut être muni d'une topologie, la topologie initiale associée à la famille de semi-normes (\|.\|_{\alpha, \beta})_{\alpha,\beta \in \N^N}, équivalente à celle associée par la famille filtrante de semi-normes (\mathcal{N}_p)_{p \in\N} définie par :

\mathcal{N}_p (.) = \sum_{|\alpha|, |\beta| \leq p}\|.\|_{\alpha, \beta}, \, p \in\N.

L'espace de Schwartz est, muni de cette topologie, un espace de Fréchet. Étant défini par une famille filtrante dénombrable de semi-norme, il est en effet un espace localement convexe, séparé, métrisable, et on montre en outre qu'il est complet.

La convergence d'une suite de \mathcal{S} se définit donc de la manière suivante. Une suite de fonctions (\phi_n)_{n \in \R} converge dans \mathcal{S}(\R^N) vers une fonction \phi si \phi \in \mathcal{S}(\R^N) et si

\forall p \in \N\quad   \lim_{n \to \infty} \mathcal{N}_p (\phi_n - \phi) = 0.

Son dual topologique est l'espace des distributions tempérées \mathcal{S}'.

Exemples[modifier | modifier le code]

  • L'espace \mathcal{S} contient l'espace \mathcal{D} des fonctions C à support compact. Cet espace, aussi noté C^\infty_c(\R^N), est dense dans \mathcal{S}(\R^N) au sens de la convergence (forte) définie ci-dessus.
  • Il contient également d'autres éléments comme les fonctions de la forme produit d'un polynôme et d'une gaussienne :
x\mapsto x^\alpha e^{-a \|x\|^2} \in \mathcal{S} pour un certain multi-indice α et un réel a>0.
  • L'espace \mathcal{S} est un sous-espace vectoriel des différents espaces Lp pour 1 ≤ p ≤ +∞. Il est d'ailleurs dense dans chacun de ces ensembles, hormis L.

Opérations sur l'espace de Schwartz[modifier | modifier le code]

  • L'espace \mathcal{S} est stable par addition interne et par dérivation, et ces opérations définissent des opérateurs continus.
  • L'espace \mathcal{S} est stable par multiplication interne, ou même par multiplication par toute fonction de \mathcal{O}_M(\R^N). En particulier, il est stable par multiplication par une fonction polynomiale. Pour toute fonction f de \mathcal{O}_M(\R^N), l'opérateur défini par \phi \mapsto f \phi est continu de \mathcal{S} (\R^N) dans lui-même.
Multiplicateurs de \mathcal{S}  :

On définit l'espace \mathcal{O}_M(\R^N) des multiplicateurs de \mathcal{S}(\R^N) comme le sous-ensemble des fonctions de \mathcal{C}^\infty(\R^N) dont toutes les dérivées sont à croissance polynomiale, i.e.

\forall \alpha \in(\N^N)\quad \exists C_\alpha > 0, \exists N_\alpha \in\N\quad \forall x \in\R^N\quad |( \partial^\alpha f)(x)| \leq C_\alpha (1 + |x|)^{N_\alpha}.

On appelle \mathcal{O}_M(\R^N) l'espace des fonctions indéfiniment dérivables à croissance lente.

T \ast \phi \in \mathcal{S}(\R^N).
  • Plus généralement, on note \mathcal{O}_c^{\prime}(\R^N) l'ensemble des convoleurs de \mathcal{S}(\R^N), c'est-à-dire l'ensemble des distributions T \in \mathcal{D}'(\R^N) telles que g\mapsto g \ast T envoie continûment \mathcal{S}(\R^N) dans \mathcal{S}(\R^N). Cet ensemble est un sous-espace vectoriel de \mathcal{S}'(\R^N) (c'est-à-dire de l'espace des distributions tempérées) qui contient les distributions à support compact et les fonctions localement intégrables à décroissance rapide. C'est pourquoi on appelle \mathcal{O}_c^{\prime}(\R^N) l'espace des distributions à décroissance rapide. Muni du produit de convolution, \mathcal{O}_{c}^{\prime}(\R^N) est de plus une algèbre associative, commutative et unifère sur laquelle \mathcal{S}(\R^N) et \mathcal{S}'(\R^N) sont des modules unitaires.

Note et références[modifier | modifier le code]

Note[modifier | modifier le code]

  1. Cette terminologie a été adoptée par certains mathématiciens, dont Harish-Chandra.

Références[modifier | modifier le code]