Discussion:Valeur propre, vecteur propre et espace propre

Discussion de 2005

Pour obtenir une solution du problèmes des valeurs propres, on regarde la matrice $\chi :=A-\lambda \cdot Id_{n\times n}$ (avec une matrice quadratique $A\in \mathbb {K} ^{n\times n}$. Puis: $\det(\chi )$ est un polynom du degré $n$ dont points d'abscisse sont équivalents aux valeurs propres.

Il y a du vrai dans votre remarque, mais il fallait cliquer sur le lien polynôme caractéristique pour avoir des détails (encore que l'article actuel ne soit pas sans reproches). CD 29 jan 2005 à 14:43 (CET)

Refonte de l'article

Je suis en train de refondre l'article. La motivation provient de trois objectifs:

• Donner au contenu de l'article un caractère plus encyclopédique, en y adjoignant un historique, une partie de vulgarisation pour permettre la lecture d'au moins une partie de l'article aux non spécialistes, une partie application sur les métiers de l'ingénieur et la physique.
• Transformer l'article en points de rencontre des grands sujets de l'algèbre linéaire, depuis la notion de base, de dimension, d'application linéaire, jusqu'au polynôme d'endomorphisme,aux réduction de Jordan, de Dunford.
• Créer des ponts entre l'algèbre linéaire et d'autres thèmes comme l'algèbre bilinéaire et théorie spectrale. Ouvrir l'algèbre linéaire à des sujets connexes comme la physique et la chimie.

A terme, cela aura pour conséquence de vider de leurs contenus les articles Sous-espace propre et Vecteur propre. Si personne n'y voit d'inconvéniant majeur ces articles seront incorporés dans celui là et deviendront des indirections vers Valeur prope vecteur propre et espace propre. Jean-Luc W 4 avril 2006 à 16:11 (CEST)

Sur l'avenir des trois articles valeurs propres, sous-espace propre et vecteur propre

Je suis avec intérêt , sans y participer, l'avenir de ces trois pages. Un article de fond me semble bien venu mais il me parait dommage de supprimer les deux autres. Certains souhaitent peut-être trouver des renseignements précis sur valeurs propres sans se farcir un long article de fond sur un sujet. D'autre part, il me semble que cet article de fond concerne davantage les vecteurs propres que les valeurs propres. La diagonalisation consiste à recherche une base de vecteurs propres. L'intro parle de vecteur propre (direction invariante). Je serais donc favorable, à terme, à ce que l'article principal s'appelle vecteur propre, que soient conservés les articles valeurs propres et sous-espace propres regroupant les propriétés principales et renvoyant sur l'article de fond. Autrement, je vous souhaite bon courage dans ce projet et vous conseille de contacter Vivarés qui a déjà travaillé sur des sujets voisins. HB 4 avril 2006 à 18:02 (CEST)

Pas de souci, je vais faire comme ça et merci de la réponse. Jean-Luc W 4 avril 2006 à 21:00 (CEST)

J'ai créé un article Valeur propre (synthèse) pour répondre à ta demande, j'ai choisi la dénomination anglosaxone, car les trois notions ne me semblent pas dissociable. Jean-Luc W 22 avril 2006 à 17:19 (CEST)

Difficulté pour les concepts avancés

Je pense que se serait une erreur de ne pas évoquer la dimension spectrale des valeurs propres. En effet, une telle démarche conduirait à négliger tous l'apport de Hilbert sur les valeurs propres et donc imposerait de passer sous silence tous les aspects d'analyse fonctionelle qu'a apporté le XXeme siècle. On ne peut alors plus expliquer par exemple l'aspect essentiel des valeurs propre en mécanique quantique.

Cependant, faire le choix d'intégrer la dimension spectrale, impose de couvrir un domaine qui n'est pour l'instant presque pas traité dans Wikipédia. En dimension finie, l'algèbre bilinéaire est encore très partiellement traité. En analyse fonctionnelle, presque aucun des outils de base sont présents dans Wikipédia.

Pour palier cet état de fait, j'ai couvert quelques démonstrations d'algèbre bilinéaire dans l'article. j'ai conscience qu'à terme, ces notions devront être déplacées dans des articles sur les symétries hermitiennes, les endomorphismes autoadjoints ou les formes bilinéaires. Les définitions prendront alors une forme plus naturelles. Cependant, en l'absence de plan coordonné pour l'intégration de ces notions, j'ai introduit le minimum de définitions et de propositions indispensables, pour la compréhension des concepts.

Pour l'analyse spectrale, une approche équivalente imposerait la présentation de trop de théorèmes topologiques ou d'analyses fonctionnelles. la théorie des opérateurs est en effet encore largement inexistante. J'ai donc fait le choix d'omettre les démonstrations. En conséquence, il est difficile d'établir les bases mathématiques de la mécanique quantique. Jean-Luc W 9 avril 2006 à 14:12 (CEST)

Valeurs propres et statistiques

Il faudrait détailler le rôle des valeurs propres en statistiques et en physique nucléaire. Est-ce nécessaire de le faire sur cet article? Au vu du contenu général de l'article, il faudrait sans doute se contenter d'y mettre des exemples, et de détailler le tour dans d'autres articles... Lehalle 10 avril 2006 à 10:22 (CEST)

Je pense qu'il suffit d'un exemple en quelques lignes et une jolie représentation graphique avec un effet Gutman, pour les statistiques. L'impact en physique nucléaire est détaillé dans la partie analyse spectrale avec pour exemple, la chimie quantique, cela te semble-t-il suffisant? Jean-Luc W 10 avril 2006 à 10:28 (CEST)

si tu peux faire ça, c'est excellent Lehalle 10 avril 2006 à 10:29 (CEST), en ce qui concerne les stats, je peux le faire, mais pas tout de suite... Lehalle 10 avril 2006 à 10:38 (CEST)

Structure de l'algèbre linéaire, application linéaire

Comme le fait remarquer Utilisateur:Lehalle, l'algèbre linéaire souffre d'un manque de structure. Les articles ont été écrits les uns à la suite des autres sans véritable plan d'ensemble. Maintenant que l'essentiel de la matière est là, il est temps d'organiser et de structurer ce chapite. Je propose de structurer la partie traitant des applications linéaires de la manière suivante:

• Les aspects théoriques et démonstrations se trouvent dans Polynôme d'endomorphisme
• L'article Diagonalisation traite du cas général en dimension finie et fait référence aux polynômes d'endomorphismes, du cas normal en référence à des articles sur les formes bilinéaires, du cas de dimension infinie dans le cas des opérateurs autoadjoint compact en référence à des articles sur l'analyse fonctionnelle, et de leurs aspect topologique (densité) en référence à des articles sur la topologie.
• L'article Réduction de Jordan devient l'article le plus encyclopédique et représente une synthèse et contient un historique symphatique.Il fait référence aux polynômes d'endomorphisme pour les démonstrations, illustre l'intérêt du concept dans le cas de système d'équations linéaires et dans le cas d'équation différentielle.
• L'article Polynôme minimal fait référence au polynôme d'endomorphisme et montre des exemples pratiques d'utilisation.
• Polynôme caractéristique expose le concept d'espace caractèristique et de valeur propre généralisée
• Cayley Hamilton présente la preuve élégante.
• Trigonalisation est un article sur les matrices qui présente l'intérêt en tant qu'outil de calcul illustre le propos dans le cas de système d'équation linéaire, il fait référence à la méthode du pivot et expose l'approche Schur.
• Élimination de Gauss-Jordan fait référence à Trigonalisation et présente une approche simple.

Voilà une première série d'idées que je soumets à la communauté. J'ai commencé le travail pour les polynômes d'endomorphisme, qui permettra d'éviter une multitude de redites. Jean-Luc W 12 avril 2006 à 07:25 (CEST)

Lecture de l'article au 17/4/2006

J'avais lu jusque là des morceaux de l'article. J'essaie de faire une lecture à la fois globale et détaillée. Il y a donc des remarques globales et des pinaillages idiots ! et bien sûr il y a à prendre et à laisser dans mes commentaires

• je crois qu'il faut faire attention pour l'« accroche » à bien choisir entre valeur propre, vecteur propre et bien peser les premières phrases qui en donneront le sens.

Voilà une formulation que je tire de l'article déterminant : on recherche « des axes privilégiés, selon lesquels l'application se comporte comme une dilatation, multipliant les longueurs des vecteurs par une même constante. Ce rapport de dilatation est appelé valeur propre, les vecteurs auxquels il s'applique vecteurs propres. » Il me semble que cette formule permet mieux de sentir ce qui se passe que la déf actuelle de « vecteur propre » : on ne cherche pas les vecteurs propres un par un, ils s'organisent par sous-espaces. Notamment sur la photo de Mme Lisa qui est ci-contre, on voit tout l'axe propre.

J'ai essayé de rendre le texte plus pepsant, si tu peux faire mieux, super'

j'ai encore modifié deux-trois trucs, pour alléger certaines expressions. On peut me reprocher d'oublier le vecteur nul dans l'espace propre. Si ça te défrise rajoute le "avec le vecteur nul".

Pour la figure 1 il faudrait ajouter un "0" bien visible là où est le point origine. D'ailleurs si on veut te faire suer on peut dire que l'image est plane...

• partie histoire : les développements modernes sont bien (ils resteront, c'est inévitable, impigeables pour beaucoup de lecteurs, mais il y a de jolis noms). La partie ancienne (jusqu'à la formalisation) est trop schématique. Il faudrait des éléments supplémentaires, notamment
  • signaler dès le début que les notions de base, matrice et application linéaire, n'existent pas jusqu'en 1850 (il faut marteler cela en algèbre linéaire à mon avis).
  • distinguer dans le déroulement l'histoire des outils (système d'équations linéaires et déterminant, à évoquer brièvement) de celle du concept de valeur propre.
  • autres idées ??? parler des transformations géométriques homothétie/affinité (connues de tout temps) ???

Je 20eme siècle est impigeable, je vais le reprendre. Pour la nécessité de la formalisation, j'ai signalé et j'essaye de montrer dans l'article en quoi ça coince.

Pour l'historique j'ai l'impression confuse que tu veux trop en dire. En théorie il y a deux options : soit décider qu'il faut raconter toute l'algèbre linéaire ici, soit s'obliger à rester au strict cadre histoire des valeurs propres. En pratique, j'aurais du mal à dire précisément ce qui n'a pas sa place ici. Mais pour être honnête, j'ai peur que cet historique fasse fuir le profane. Peut être faut-il découper plus, visuellement parlant ?

• premiers exemples : les exemples géométriques sont bien choisis (il faudrait peut être les numéroter, ou les séparer physiquement par un autre procédé ?). La corde vibrante est compliquée à comprendre, mais je ne sais pas si c'est améliorable facilement.

La corde vibrante me gène, l'exemple est beau, mais la solution s'obtient par une base du noyau d'un opérateur, le rapport est donc exact mais nébuleux. Il faut traiter les choses différemment, avec pour seule base théorique tes articles sur Fourier, car de toute manière on ne dispose pas d'autre chose, je reflêchis.

• suite du plan : je me demande si ce ne serait pas mieux (comme tu l'as si bien fait pour les déterminants) de faire passer « Applications mathématiques et physiques de la dimension finie » avant « Valeur propre en dimension finie », c'est-à-dire la pratique avant la théorie. Plus précisément
  • dans les paragraphes 2-3 ajouter la notion d'endomorphisme diagonalisable, sans méthode de caractérisation
  • mettre en paragraphe 4 le contenu de « Applications mathématiques et physiques de la dimension finie », illustrant la richesse de la situation 'diagonalisable'
  • mettre en paragraphe 5 le contenu de « Valeur propre en dimension finie », sous un autre titre, généralisant et classifiant les situations précédentes

J'ai essayé quelque chose, c'est mieux?Jean-Luc W 25 avril 2006 à 16:37 (CEST) La suite de l'analyse plus tard... Peps 18 avril 2006 à 00:33 (CEST)

Il me semble que les exemples issus de l'analyse fonctionnelle n'éclairent pas les valeurs propres, il les utilisent en les supposant bien comprises. Je les basculerais plus bas dans l'article : je veux parler des équa diff (l'espace des solutions est de dim finie, mais l'espace fonctionnel de dim infinie)

il y a 4 situations qui à mon avis méritent d'être décrites dans l'article

• DF : endomorphismes diagonalisables en dimension finie
• DI : endomorphismes diagonalisables en dimension finie
• R : pbe genre rotation (on se contente de la dim finie)
• T : pbe genre transvection (idem)

Il me semble qu'il faut décider un ordre, mais que la partie fonctionnelle est vraiment la plus délicate à piger, je la mettrais en bon dernier.

Je crois que la situation DF mérite dêtre présentée en premier, je la mettrais carrément dans les définitions du 2. : si on cherche des vp, en première analyse, c'est dans l'espoir dêtre dans le cas diagonalisable. Alors la section exemple peut présenter des exemples diagonalisables (notamment Sylvester)

"mes" articles sur Fourier ne contiennent malheureusement que le degré 0. Il manque une partie donnant le feeling... Peps 30 avril 2006 à 16:39 (CEST)

J'appuie fortement la dernière proposition sur la structure du plan : il est dit au début de la partie <<Valeur propre en dimension finie>> que pour des systèmes compliqués, la notion de système n'est justement pas suffisante ; et du coup, on part sur endomorphisme puis diagonalisabilité ; je pense qu'un changement de plan tel que celui proposé rendrait plus convaincant le fait que ce qu'on gagne avec le point de vue endomorphisme, c'est justement cette notion de diagonalisabilité ; et du coup, les recherches de conditions pour la diagonalisabilité apparaîtaient moins comme une pure perversion que comme une recherche motivée et utile.Salle 20 avril 2006 à 21:44 (CEST)

Lecture de l'article au 15/4/2006

Bonjour,
je viens de relire valeur propre (sauf les démonstrations pour lesquelles je te fais confiance !). Au passage j'ai corrigé quelques fôte d'aurtheaugrafe et revu le style par endroit. Cet article me plaît bien et correspond assez à l'idée que j'ai d'un article encyclopédique en maths : de l'histoire, des maths de niveaux variées et des applications. J'ai quand même quelques commentaires :

• périmètre de l'article : peut-être que je me trompe, mais j'ai l'impression que l'article concerne presque autant les vecteurs propres que les valeurs propres. Du coup est-ce qu'il ne faudrait pas que les trois articles valeur propre, vecteur propre et espace propre donnent les infos de base et dirigent vers cet article de fond ? (je pose la question mais je ne sais pas...)

Je pense que ta remarque est pertinente (c'est fait). Jean-Luc W 25 avril 2006 à 16:20 (CEST)

• mise en page : ça vient peut-être de mon navigateur (firefox) mais chez moi il y a des passages où les images écrasent des bouts de texte.

Je demande à Peps, de vérifier que mon astuce fonctionne

• histoire : partie très intéressante. Idéalement, j'aurais aimé qu'elle réponde aussi à la question "pourquoi ?" : quel était le(s) problème(s) que Jordan, Hilbert et consort cherchaient à résoudre pour avoir besoin de développer et formaliser ces concepts (j'ai un peu une vision de l'histoire des mathématiques dans laquelle les progrès et les évolutions se font pour répondre à des questions ou des problèmes, mais je me trompe peut-être).

Tu ne te trompes pas du tout, je crois que c'est Hilbert qui a dit que pour les matheux, il existe deux sources infinies de problèmes la nature et les nombres. Pour les valeurs propres et jusqu'à récemment la nature est la source d'inspiration, voilà une nouvelle rédaction (uniquement jusqu'à 1900) j'espère que c'est mieux

• style : OK, là ça ne fait pas cours de maths. J'ai fait quelques modifs par endroit, mais j'en ai peut-être laissé passer (du type Cependant la topologie cache bien des surprises pour les espaces fonctionnelles. : je ne suis pas sûr que la topologie est suffisamment conscience d'elle-même pour nous cacher volontairement des surprises :-). Une autre relecture et ça devrait être OK.
• hypothèses et conditions. J'ai eu l'impression en lisant que la partie 6 (Théorie Spectrale) ser relâche par moment d'un point de vue rigueur. Notamment, je ne suis pas sûr que soit clairement exprimé ce qui relève de la généralité, de la condition nécessaire ou de la simplification, notamment dans le paragraphe 6.4)
• fin de l'article : là encore je critique sans savoir trop quoi proposer, mais je trouve la fin de l'article un peu abrupte. Notamment je n'ai pas la réponse à une question : est-ce que cet aspect de l'algèbre linéaire fait encore de nos jours l'objet de travaux mathématiques, ou est-ce que le tour en a été totalement fait ?

Voilà un peu ce qui ressort de ma lecture ! N'hésite pas si tu veux en discuter, en bon week-end :-) David Berardan 15 avril 2006 à 11:49 (CEST)

Attention, renommage

Cet article est la recopie de l'ancien valeur propre, devenu une redirection. L'historique est donc resté sur l'ancien article. Jean-Luc W 22 avril 2006 à 16:45 (CEST)

Sauvé par Darkoneko, l'historique n'est pas déplacé. Jean-Luc W 25 avril 2006 à 16:41 (CEST)

relecture HB

Bon, j'attaque une relecture sur mes points de compétences (seulement math), et je mets ici, au fur et à mesure, les remarques sur les points qui me semblent obscurs ou pour lesquels, je ne trouve pas de modification simple.

Voilà une bonne nouvelle, ta relecture a été un vrai bonheur par le passé. Jean-Luc W 24 avril 2006 à 21:54 (CEST)

Intro

• il vaut mieux parler d'endomorphisme que d'application linéaire car dans une application linéaire quelconque, les ensemble de départ et d'arrivée sont différents, et la notion de vecteur propre n'a plus de sens.

Oui mais le terme d'application linéaire est plus populaire, je propose application linéaire d'un espace dans lui-même pour les parties très large public et endomorphisme un peu plus tard, cela te convient-il?

• la valeur propre n'est pas un rapport de longueur, c'est le réel par lequel on multiplie le vecteur propre pour trouver son image mais je n'arrive pas à le dire simplement.

Je propose de dire modifie sa longueur (il y a évidemment un petit abus car je suppose implicitement que l'espace est muni d'une distance) puis de rapport entre les vecteurs ce qui fait sens car, dans le cas étudié, ils sont colinéaires par hypothèse.

• l'illustration sur la Joconde est intéressante mais est attaquable: c'est une transformation affine (donc ponctuelle) alors que les vecteurs propres sont associés à des appl ication linéaires (transformations vectorielles). Je tente une modification.

Indéniable, je change pour une chambre noire, le sens physique est moins arbitraire, et il y a un 0 naturel, c'est donc un espace vectoriel.

• La phrase :"il apparaît dans de multiples cas non linéaires" me parait bizarre puisqu'on travaille justement sur les application linéaires .

Par manque, d'inspiration initial sur l'intro, j'ai pompé la version américaine. Je reconnais bien ta sagacité quand à l'aspect légèrement farfelu de la phrase.

Histoire

• Je ne comprends pas la phrase : "Les problématiques sous-jacentes aux valeurs propres deviennent apparentes."

Et dire que je me comprenais, enfin, j'espère que la nouvelle version est moins obscure.

• La méthode du Pivot est une méthode d'inversion qui, justement, ne fait pas appel aux réductions d'endomorphismes. pourquoi le mettre dans l'article?

En temps qu'outil, il marque le moment ou étudier un cas de dimension supérieure à 3 n'est plus considéré comme une perversion intellectuelle ce qui a longtemps été le cas, mais indéniablement il est mal inséré, et peu compréhensible, j'ai un peu corrigé, mais il reste du travail.

• Je ne comprends pas la phrase : "Après une longue période de flottement, la terminologie anglosaxone généralise la terminologie eigenvalue provenant du terme de l'allemand Hilbert Eigenwert."

Voilà j'espère que je suis moins obscure.

• Le niveau de cet article en histoire des mathématiques et en physique me dépasse trop pour que je puisse lui apporter la moindre validation. Il est d'ailleurs dommage que l'ouverture sur la théorie spectrale (dont je ne connais rien) soit une impasse actuellement sur wikipedia : il me semble que le lien, même rouge, s'impose.

Pour la théorie spectrale, je commence à avoir quelques idées, je suis en train de relire le Lang sur l'analyse fonctionnelle, je t'en parle quand c'est mur. (à suivre....)HB 24 avril 2006 à 10:06 (CEST) Merci encore Jean-Luc W 25 avril 2006 à 16:16 (CEST)

Questions

La phrase suivante "La théorie montre que les espaces propres d'une représentation correspond à la partie commutative du groupe." D'après le contexte, est-ce que le verbe correspond ne devrait pas être au pluriel ?. Al7 15 octobre 2006 à 8h27

La phrase suivante "Ainsi dans l'exemple de la figure, il existe une idenfication naturelle entre le groupe abstrait des 24 rotations du cube avec un groupe de rotations dans un espace de dimension 3." D'après le contexte, est-ce que ce ne serait pas le mot identification ? Al7 15 octobre 2006 à 8h39

NB : Je me suis permis de corriger les quelques fautes d'orthographe de l'article. Cordialement. Al7 8h46

Sans le moindre doute, les deux réponses sont affirmatives, merci pour les corrections et désolé pour mon orthographe déplorable. Jean-Luc W 17 octobre 2006 à 13:12 (CEST)

AdQ ?

Je trouve cet article très bien parti. Si on le proposais en AdQ il risquerait d'être refusé parce qu'il ne cite pas ses sources. Il serait bon de les rajouter, en particulier lorsqu'on s'écarte du court d'algèbre pour donner des éléments historiques.

Sinon, il s'agit de notions pas forcément simple, et je salue le savant mélange de compléxité et de simplicité (les exemples triviaux qui permettent de comprendre les concepts).--Aliesin 4 février 2007 à 12:54 (CET)

Merci du compliment, je vais ajouter les sources Jean-Luc W 4 février 2007 à 20:14 (CET)

Liens morts

• (fr) Chapitre IX: Valeurs propres et vecteurs propres
• (fr) Éléments de théorie spectrale

Il faudrait peut-être chercher à retrouver ces pages. Oxyde 13 février 2007 à 11:11 (CET)

Le 1^er est sans intérêt. Le 2^e était peut-être du même auteur que ceci. Anne (d) 26 mai 2012 à 16:06 (CEST)

Petites remarques

1. je ne comprends pas la phrase "A est l'écriture matricielle de a". a n'est-elle pas déjà une matrice ?
2. il est fait mention d'une figure 5 que je ne retrouve pas dans l'article.

Il y a en effet une légère confusion entre l'endomorphisme et son écriture matricielle, mais rien de grave puisque les 2 sont ici équivalentes et du coup on jongle facilement de l'une à l'autre. En fait lorsqu'on définit a, il faudrait rajouter : a l'endomorphisme dont la matrice associée dans la base canonique est...Mais c'est un peu lourd.

Pour le 2ème point, j'ai trouvé une figure 5 (§ Cas des formes bilinéaires). Par contre, il faudrait peut etre revoir la numérotation des figures.Ro8269 19 février 2007 à 21:04 (CET)

...

définition intuitive

Peut-on avoir quelques précisions pour les raisons de la suppression de cette section ? Proz (d) 1 novembre 2009 à 20:26 (CET)

replacé tel quel, je n'ai rien vu de choquant, ça a été suffisamment apprécié pour qu'un non matheux passe le dessin en svg. Proz (d) 14 novembre 2009 à 15:42 (CET)

Il n'a jamais été question de supprimer l'image. Le paragraphe tire-t-il sa légitimité de sa longévité ? Doit-on comprendre par là la légitimité telle que l'entendaient les Bourbons ? Tu n'as apporté aucune justification à la conservation de ce paragraphe. La question à laquelle tu dois répondre est : le retrait de cette section représentait-il une perte d'informations ? ou encore en quoi l'existence de cette section apporte-t-elle un plus à l'article ?

Je comprends les raisons qui ont poussé les auteurs à rédiger cette section. Mais quelle différence y a-t-il entre la définition intuitive et la définition dite mathématique ? D'ailleurs, existe-t-il une définition de valeurs propres et vecteurs propres qui n'est pas mathématique ? Les deux sections concernées ne disent-elles pas la même chose ? En quoi la "définition intuitive" est-elle plus intuitive que la "définition mathématique" ?

Commencer par une définition approximative ne me parait pas raisonnable ici. Il n'est pas absurde de penser que les lecteurs connaissent déjà la définition d'une application linéaire avant de lire cet article. Aussi peuvent-ils comprendre la définition d'un vecteur propre. Il peut être souhaitable de l'accompagner de commentaires explicatifs. Mais là, tu précèdes la définition d'un discours qui reformule l'égalité u(x)=ax en utilisant des termes ou bien inappropriés, ou bien inusités. Un vecteur a une direction, mais il n'a ni de taille ni de sens en général (par exemple, certainement pas dans un espace vectoriel fini ou dans un espace vectoriel complexe).

J'anticipe ta réponse. On pourrait comprendre que les vecteurs sont pris dans l'espace euclidien Rⁿ : la "taille" est alors la norme et le "sens" est alors l'orientation de la drotie Ru donnée par u. Mais dans ce cas, le "facteur de modification de taille" (pour reprendre le vocabulaire que tu as introduit dans le texte) n'est pas la valeur propre, contrairement à ce qui est affirmé.

La notion de vecteur propre est justifié par la recherche de sous-espaces invariants. Une droite invariante correspond à une droite de vecteurs propres. Cette idée devrait accompagnée la définition, et le lien sous-espace invariant est rouge au moment où j'écris.

(Remarque importante : je trouve l'article globalement bien, et il présente des choses intéressantes. )

Nefbor Udofix  -  Poukram! 14 novembre 2009 à 20:15 (CET)

Il me semble qu'un article ne doit pas être intouchable et je partage l'avis de Nefbor Udofix ici. L'illustration a plus sa place dans l'article sur les applications linéaires et encore, elle entretient une confusion regrettable entre homothétie et application linéaire. A part le dessin, l'approche intuitive est effectivement très redondante avec la définition mathématique. Il manque à mon avis une introduction qui dirait que parmi les applications linéaires, les plus simples sont celles qui se contentent de multiplier tous les vecteurs par un même réel., ce sont les homothéties. Que pour les autres on cherche à savoir si l'application linéaire ne se comporterait de manière sympathique pour certains vecteurs. c'est à dire si l'image de certains vecteurs ne serait pas par hasard obtenu en multipliant ce vecteur par un réel. Si cela se produit pour un vecteur non nul, alors le vecteur est appelé vecteur propre, le réel est appelé valeur propre et l'ensemble des vecteurs sur lequel l'application linéaire agit comme une homothétie est appelé espace propre associé à la valeur propre. En cela je me démarque un peu de toi Nefbor Udofix : pour moi, ce n'est pas la recherche de sous-espace invariant qui motive la recherche de vecteur propre mais la diagonalisation, quand cela est possible, de la matrice. Mais cette approche, comme toute tentative de vulgarisation, devrait être sourcée dès qu'elle ne fait pas consensus. HB (d) 15 novembre 2009 à 17:01 (CET)

1. Malgré ce que ta façon de t'exprimer pourrait faire accroire (tu précèdes etc.), je n'ai rien fait du tout sur cette section, je l'ai remise exactement dans son état initial, très facilement vérifiable par l'historique. D'ailleurs je ne penses pas être intervenu du tout sur l'article.

2. C'est à toi de justifier sa suppression, pas à moi de justifier le rétablissement.

3. Le début pseudohumoristique tente de faire accroire que je serais pour tout conserver par principe. C'est évidemment faux, tu peux difficilement ne pas le savoir vu mes réponses à ces interventions sur discussion:vecteur#A recycler ou Projet:Mathématiques/Le_Thé#Anticommutativité (mais il est vrai que tu lis probablement avec encore moins de soins les réponses qu'on te fait que les passages que tu supprimes cf. discussion:Espace vectoriel#Modifications du 10 novembre).

4. "Il n'a jamais été question de supprimer l'image" : tu l'as fait c'est tout, vérifiable par l'historique. Ce n'est pas ton premier déni de réalité. A quoi ça sert ?

Cela serait plus facile de discuter si tu veillais à ce que tes propos soient un minimum cohérents et honnêtes. Maintenant essayons. Il devrait être entendu que je n'ai pas à justifier le détail de formulations qui ne sont pas les miennes, mais uniquement la présence de cette section. Il me semble que pour ce genre de choses, au tout début de l'article, une première approche dans l'espace (R^3), avec une vision géométrique, est tout à fait juste. Elle manque à mon avis dans Espace vectoriel par exemple. J'ai du mal à croire que cela trouble quiconque travaillera dans C^n ou F_p ^n, et qu'une telle personne s'imaginera qu'un vecteur y a un sens, ou que l'on peut parler de longueur en vectoriel. Pour le reste, tu as découpé le texte dans ton compte-rendu pour le rendre ambigu, mais je viens de regarder l'original, il ne l'est pas, et me semble correct. Le discours vise justement à montrer qu'il s'agit d'un coefficient multiplicateur (un rapport d'homothétie par ex.) ce qui est une notion purement vectorielle. Si tu veux un avis critique, il ne me semble pas que le choix d'une homothétie soit franchement idéal pour illustrer la notion de vecteur propre (pour des raisons que je n'ai pas besoin de te détailler), d'où mon commentaire peu enthousiaste ci-dessus, mais cette section semble déjà rendre service, telle quelle et c'est beaucoup mieux que ce que tu proposes (qui est d'effacer).

Pour ce qui est de la méthode que tu emploies, elle me semble tout à fait inutilement chronophage et source de conflits (je constate d'ailleurs que tu as aussi fait des tiennes sur . Je propose la chose suivante. Sur des articles manifestement "rédigés", appréciés, et pour des passages qui ne sont pas manifestement aberrants, tu laisses d'abord une explication en page de discussion (avant de supprimer). Sinon tu mets un message explicite, et justifiant de façon adéquate la suppression, en boîte de résumé. En cas de moindre doute (pas toujour évident), tu recopies en page de discussion ce que tu supprimes (chercher dans l'historique c'est pénible). J'apprécierais si la seule méthode pour obtenir une justification de ta part (mon premier message date d'il y a 2 semaines) n'était pas de revenir sur tes modifications. Proz (d) 15 novembre 2009 à 17:33 (CET) rédigée avant l'intervention de HB

Si je n'ai pas répondu à ton message du 2 novembre, c'est que je ne l'ai pas lu, tout simplement.

Si je n'ai pas répondu ici, c'est que je n'ai pas estimé nécessaire de le faire.

Il est vrai que je n'ai pas répondu à ton message du 10 novembre laissé sur la page de discussion de Espace vectoriel (d · h · j · ↵), mais je t'ai expliqué pourquoi dans ta page de discussion, et j'ai essayé d'apporter ce qui me semblait être des éléments de réponse.

Je le répète : l'image n'a pas été supprimée, seul un administrateur pourrait le faire, si la demande en était faite. Mais je ne suis pas administrateur, en tout cas pas sur WP, je n'ai fait aucune demande de suppression (pour cette image), et je n'ai jamais eu l'intention de le faire.

Tu reconnaitras qu'il m'est difficile de poursuivre la discussion avec une personne qui remet en cause mon honnêteté. Je me refuse de répondre à une personne qui parle tu fais ci, tu fais ça, tu obéis et tu discutes pas. J'attends que tu présentes tes excuses. Aussi, suite à ces propos injurieux, je demande que cette partie de discussion soit mise sous boîte déroulante, et que mon choix soit respecté. Merci. Nefbor Udofix  -  Poukram! 15 novembre 2009 à 19:39 (CET)

Il s'agit bien sûr de la suppression de l'image dans l'article. Je ne remets pas en cause ton honnêteté mais celle de tes propos, il y a une très forte nuance. Sinon tu réponds à côté comme d'habitude. Que tu ne m'ai pas répondu n'est pas un problème. Combien d'échanges pour que tu lises vraiment ce que tu as supprimé sur espace vectoriel ? Et je ne donne pas d'ordres, je te propose quelque chose (qui est d'ailleurs assez ordinaire). Soit. Ok pour la boîte déroulante, mais pas pour laisser sans réponse ta façon de présenter les choses (que j'ai déjà qualifiée et je n'ai pas envie de recommencer). Donc l'ensemble, en boîte déroulante. Désolé pour HB, mais je ne crois pas que ça la fâche. Proz (d) 15 novembre 2009 à 21:49 (CET)

Comment peux-tu ne pas remettre en cause mon honnêté mais celle de mes propos ? Je ne comprends pas, et je suis toujours en attente d'excuses.

Sur le fond, ton argument semble être le suivant : l'original te semble correct, la section semble déjà rendre service. Es-tu en train de justifier la nécessité de cette section de par son existence même ? J'avoue ne pas comprendre ton argument. Répondre à côté ? Qui répond à côté de qui ? Tu ne sembles pas avoir répondu à mes questions, et il me semble avoir suffisamment détaillé mes arguments plus haut. Le verbe sembler n'aura jamais été autant utilisé, il me semble. Cette discussion ne te semble-t-elle pas quelque peu stérile ? Nefbor Udofix  -  Poukram! 15 novembre 2009 à 22:21 (CET)

La différence est que je ne mets pas en cause tes intentions, ou une quelconque volonté, disons que je n'ai pas trouvé ta présentation correcte, si tu préfères ce mot, ce que j'ai peu apprécié et j'ai expliqué pourquoi. Sur le fond j'ai répondu, contrairement à ce que tu écris : en résumé une section introductive dans R^3 est justifiée ; sur celle-ci peut se construire une certaine intuition ; cette section n'est pas parfaite, mais n'a pas tous les défauts que tu prétends. Comment pourrais-je être sûr de ce que cette section rende service ? j'ai juste donné un indice. Maintenant Je propose que l'on arrête là au moins momentanément ce débat. J'ai la forte impression que tu ne lis que très partiellemnt ce que j'ai écris. Tu as l'air de penser la même chose. Ca ne me semble rien pouvoir donner de positif. Proz (d) 15 novembre 2009 à 22:45 (CET)

 

Chambre Noire

Une petite remarque sans doute superficielle : L'image de la chambre noire comporte une petite erreur, la flèche qui pointe le piédestal à droite et à gauche ne pointent pas le même coin de la sculpture, tu peux vérifier en regardant quelle cheville est pointée. :) --Aquadarius (d) 30 septembre 2010 à 16:50 (CEST)

C'est même pire qu'une histoire de flèches : je crois que les 2 statues ne sont pas du tout homothétiques, même si on les considère comme des images planes et non des statues. Et si ce sont vraiment des statues (en volume), l'une des deux devrait nous montrer ses fesses, non ? Anne Bauval (d) 30 septembre 2010 à 23:57 (CEST)

L'erreur de Jean-Luc W a probablement été de se dire (mais en oubliant ce que je mets en gras et qui révèle l'incohérence) : en dim 3, une homothétie de rapport -1/2 change l'orientation, donc il suffit de changer l'orientation plane de cette photo de statue et de réduire sa taille de moitié. Anne Bauval (d) 1 octobre 2010 à 10:43 (CEST)

En effet, je m'étais borné à penser qu'il voulait parler de la "photo" de la statue, qu'il suffirait alors de retourner horizontalement pour que l'homothétie soit bien décrite, mais si c'est de la sculpture en 3d qu'il est question, alors je veux, moi aussi, voir les fesses de David !--Aquadarius (d) 4 octobre 2010 à 17:10 (CEST)

En tous cas, que ce soit la statue ou son image plane, son homothétique actuel est faux. Ce serait bien de remplacer, si possible par un homothétique en 3D d'un objet 3D. Hélas je ne sais pas faire. Anne Bauval (d) 4 octobre 2010 à 20:40 (CEST)

Signification de la partie "Spectre et ensemble de valeurs propres"

Je m'interroge sur la signification de ce paragraphe, notamment l'existence des théorèmes Baire-Amofrãn et Baire-Brenef, étant donné l'absence totale de référencement sur google scholar (et le côté incompréhensible du paragraphe) — Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 138.231.176.8 (discuter), le 13 juin 2012.

Je trouve moi aussi cet ajout de § très douteux, non seulement parce que je n'arrive à trouver aucune source pour la terminologie qu'il met en avant, dont certains noms propres, mais parce qu'il mélange l'algèbre pure où les K-e.v. sont entièrement classifiés par leur dimension (en donnant l'exemple R[X], en disant « Selon le contexte, il est possible d'ajouter la continuité de l'inverse comme condition », ou en prouvant que « Tout espace de dimension finie sur un corps K algébriquement clos est K-invariant ») et les espaces de Banach et opérateurs bornés. Anne 10/1/15 10h18

Ben vu que c'est un ajout d'une IP en 2007, qui n'a jamais rien fait d'autre (voir ici), si on revenait à l'état antérieur ?--Dfeldmann (discuter) 10 janvier 2015 à 10:28 (CET)

Aspects calculatoires

Bonjour, je n'ose pas toucher l'article qui a une bonne structure et que je n'ai pas lu, mais il serait bon de rajouter (ici ou ailleurs) des informations sur les aspects calculatoires : comment calcule-t-on les valeurs propres en pratique, quels sont les algorithmes, leurs taux de convergence etc. Je viens de créer l'ébauche méthode de la puissance itérée, il y a aussi algorithme de Lanczos, et à terme il serait bon d'avoir un équivalent de en:eigenvalue algorithm. --Roll-Morton (discuter) 5 décembre 2016 à 14:26 (CET)

Il y a aussi Valeur propre (synthèse). Mais je ne sais pas si cet autre article peut convenir à ce que tu veux rajouter. HB (discuter) 5 décembre 2016 à 19:20 (CET)

Sur la pertinence de l'exemple de la figure 2 (symétrie centrale)

Je trouve cet exemple peu approprié car trop particulier.  A fortiori

pour illustrer le concept de vecteur propre, puisque tout vecteur est

vecteur propre.

La phrase "On voit un vecteur propre en noir de valeur propre -1 : on

passe du vecteur initial au vecteur image par multiplication de

rapport -1" ajoute à la confusion, il me semble, puisqu'il y a 2

vecteurs noirs. 90.33.56.84 (discuter) 12 mai 2023 à 17:55 (CEST)

Ce n'est pas faux... L'illustration était iintialement conçue pour donner les propriétés d'une application linéaire et non pas à mettre en évidence les valeurs propres. je peux créer une image avec deux sous-espaces propres de valeurs propres -2 et 1/2 et le comportement de l'application linéaire sur les deux sous-espaces propres et sur un vecteur non propre. HB (discuter) 12 mai 2023 à 21:12 (CEST)

. Fait HB (discuter) 12 mai 2023 à 22:03 (CEST)

Oui, c'est bien comme ça.  il reste un petit problème: étant donné que l'image du vecteur noir est confondu avec le vecteur lui-même, on ne voit pas les pointillés.  Remarquant que la "tête" de l'image est plus petite, il m'est venue une idée: que toutes les têtes des images soient de la même taille.

La phrase

En pointillé, les images de ces 4 vecteurs.

deviendrait alors.

En pointillé et avec une petite flèche, les images de ces 4 vecteurs.

(Mais il y a peut-être un meilleur moyen.)

Sinon:

le vecteur bleue -> le vecteur bleu

Exemple d'application linéaire :les

->

Exemple d'application linéaire: les 90.33.210.84 (discuter) 16 mai 2023 à 07:41 (CEST)

Fait. HB (discuter) 19 mai 2023 à 10:33 (CEST)