Discussion:Trivial (mathématiques)

Très simple, immédiat

Deux conceptts

Un peu différent, les objets triviaux - là c'est un cas simple mais qu'on peut pas exclure e.g. ça compliquerait la théorie des groupes, essayer d'exclure le groupe trivial de la définition. Par contre ça compliquerait aussi d'admettre l'ensemble vide comme groupe, me semble que ça n'a pas grand chose à voir avec les énoncés triviaux. --Unzerlegbarkeit (d) 11 juillet 2008 à 22:54 (CEST)

titre ?

Les exemples ne sont pas des énoncés ! Si cet article doit survivre, il faudrait le renommer en quelque chose comme trivial (mathématiques), tiens comme l'interwiki en:. Proz (d) 11 novembre 2009 à 17:36 (CET)

Renommage malvenu de Trivial (mathématiques) en Énoncé trivial

C'est plutôt le prétendu résumé introductif qu'il faudrait rectifier. Le développement parle de plein de choses triviales autres que des énoncés. Il n'est pas trop tard pour inverser le redirect. Anne Bauval (d) 18 janvier 2012 à 23:19 (CET)

J'intervenais indépendamment, ayant par hasard aperçu ça sur le sommet de l'historique de "pages à renommer" dans ma liste de suivi. Voilà un renommage qui a fait bondir du monde en quatre minutes ! J'espère que la nouvelle formulation (sans parenthèse d'homonymie, conformément à la demande de renommage) ne pose pas de problème, elle (mais je n'en suis pas si sûr). Si problème il y a encore, il vaut mieux discuter avant de re-re-re-nommer. Touriste (d) 18 janvier 2012 à 23:22 (CET)

Discutez-en entre spécialistes de la chose, mais personnellement un titre sous forme de simple adjectif est loin, très loin, de remplir les recommandations de WP:TITRE et d'être descriptif. Surtout avec Trivial ! Une option : Trivialité (mathématiques) avec les différentes acceptations du terme (énoncé, objet...) -- LPLT ^[discu] 18 janvier 2012 à 23:26 (CET)

Le problème du titre-adjectif ne me gêne pas, mais il est possible qu'il ne soit pas conforme aux recommandations. Pas d'objection de principe à utiliser plutôt "trivialité", même si ça évoque plutôt les énoncés que les objets (mais ça se dit certes aussi pour les objets). Tant qu'on est à affiner, pourquoi une parenthèse d'homonymie directement alors qu'il n'y a pas d'article sur le sens plus trivial de trivialité, et qu'il n'est pas clair que ce soit un sujet admissible ? Pourquoi pas simplement Trivialité ? Touriste (d) 18 janvier 2012 à 23:37 (CET)

Trivialité a effectivement un usage plus restreint. Sujet limite admissible, mais ama le titre doit mentionner les mathématiques (ou alors il faudrait mentionner les autres usages, risque de s'égarer). L'ancien titre me semble encore le moins mauvais. Proz (d) 19 janvier 2012 à 09:30 (CET)

Je ne vois nulle part dans WP:Titre de recommandation proscrivant les adjectifs, et il me semble (à vue de nez) que « trivial » est beaucoup plus souvent utilisé en maths que « trivialité ». Je suis pour le statu quo, ou alors le retour à l'ancien titre pour que si quelqu'un veut rajouter des sens non mathématiques il crée plutôt un autre article. Faudrait aussi reformuler l'intro. Anne Bauval (d) 28 janvier 2012 à 14:06 (CET)

J'interviens suite à la relance de Touriste sur la page du Thé. C'est la notion qui fait l'article et le titre, pas le contraire. Il y a une place pour la notion de trivialité en mathématiques, au sens d'évidence, et un autre place pour la notion de cas trivial (comme le groupe trivial par exemple, ou une solution triviale à une équation différentielle). On peut éventuellement imaginer une page d'homonymie qui renvoie le lecteur à ces deux notions et aux éventuels articles hors mathématiques. Ambigraphe, le 28 janvier 2012 à 14:53 (CET)

D'accord avec le préambule d'Ambigraphe mais comme les deux notions sont liées, un article (en math.) parait suffisant. Maintenant si on trouve de quoi développer (mais j'ai encore plus de doutes sur "trivialité" que sur "trivial"). Proz (d) 29 janvier 2012 à 02:51 (CET)

J'ajoute le lien sur la demande de renommage indiquée ailleurs par Touriste Wikipedia:Demande_de_renommage/Archives7#Trivial_(mathématiques).C2.A0(d.C2.A0·.C2.A0h.C2.A0·.C2.A0j.C2.A0·.C2.A0↵)_vers_↳_Trivial_(j_·_↵), il est intéressant de constater qu'une telle demande peut être soumise sans aucune mention préalable en pdd de l'article (et manifestement sans lire celle-ci). La situation actuelle me parait convenable tant qu'il ne parle que de math. (accord avec Anne Bauval). Le lien trivial (mathématiques) n'a pas d'utilité en tant que lien, on pourrait donc le supprimer, d'autant qu'il a un historique, et que si ça s'avère nécessaire de renommer ultérieurement (cas où quelqu'un ajoute des "des sens non mathématiques"), autant éviter de passer par les demandes de renommage. Proz (d) 29 janvier 2012 à 12:40 (CET) PS. Il n'y a plus de liens pointant vers trivial (mathématiques) dans l'espace encyclopédique.

Excellente idée que de supprimer cette redirection pour l'instant inutile, comme ça tout le monde pourra renommer en rond sans déranger un administrateur. J'exécute. Touriste (d) 29 janvier 2012 à 13:25 (CET)

Je ne suis pas tout à fait d'accord avec Proz sur l'idée qu'un article suffise pour regrouper la notion de trivialité au sens d'évidence et la notion de cas trivial. Certes, les démonstrations liées au cas trivial sont souvent triviales (mais pas toujours : j'ai le souvenir d'un problème avec des foncteurs où le calcul du foncteur dérivé du foncteur identité était assez ardu), cependant beaucoup de démonstrations considérées comme triviales ne relèvent absolument pas d'un cas trivial.

Cela dit, le jour où j'aurai du temps pour développer ces deux notions, je le ferai ; en attendant, je ne m'oppose pas à un traitement commun. Ambigraphe, le 29 janvier 2012 à 15:37 (CET)

Etymologie

Bonjour, je propose d'introduire un court chapitre sur l'étymologie du mot "trivial" dans le sens "évident, connu de tous, ..) (et non dans celui, péjoratif, de "vulgaire,etc.."). Ce paragraphe ferait référence au latin trivium (sources à l'appui) , et aux évolutions qui ont ensuite , selon 2 interprétations différentes mais non contradictoires, amené le sens utilisé en mathématiques. Ma première tentative ayant été sèchement récusée, je souhaite au moins un "nihil obstat" pour la seconde.--Olinone (discuter) 30 juillet 2021 à 10:19 (CEST)

Ce paragraphe me paraît en partie hors sujet : d'une part wikipedia n'est pas un dictionnaire, d'autre part là c'est le sens mathématique qui nous intéresse. Il ne suit pas vraiment les sources : trivium comme carrefour place publique est à l'origine d'après le tlfi, l'articulation "par extension sans grand intérêt" n'est pas sourcée et me semble suspecte. Cette section devrait être au minimum resserrée sur son sujet et reprise d'après la seule source (pour le sens mathématique) disponible sur la page, qui est le tlfi (les références indiquées "cntrl", renvoient en fait au tlfi). Proz (discuter) 7 septembre 2021 à 18:53 (CEST)

Exemple "Toute proposition commençant par « pour tout élément de l'ensemble vide » est trivialement vraie"

Je ne trouve pas cet exemple facile à comprendre. En effet, en l'appliquant à l'ensemble vide dans l'ensemble des réels, on aurait simultanément: "tout élément de l'ensemble vide est strictement positif" trivialement vrai, et "tout élément de l'ensemble vide est strictement négatif" également trivialement vrai. Or ces deux affirmations sont contradictoires. Ai je mal compris? Y a t il une explication (compréhensible) à ce qui parait être impossible? ou une référence l'expliquant? La difficulté ne viendrait-elle pas de l'énoncé de l'exemple qui relèverait du paralogisme, voire du sophisme? Ou peut être est ce une convention purement formelle qui amène cette "trivialité", mais alors laquelle?

Je propose donc d'ajouter la remarque "pas clair" à cet exemple, et serais reconnaissant aux contributeurs suivants de ne la supprimer que s'ils éclaircissent dans l'article les points mentionnés ci-dessus.--Olinone (discuter) 30 juillet 2021 à 10:31 (CEST)

Bonjour Olinone  ; il me semble vous avoir déjà répondu (et, contrairement à ce que vous affirmez, votre formation mathématique me semble incomplète : ce résultat fait partie des nombreuses banalités concernant l’ensemble vide qu’on enseigne aux étudiants (à leur grande surprise) dès leurs premiers cours de logique mathématique). Quoi qu’il en soit, vous trouverez toutes les explications nécessaires à l’article ensemble vide ; en deux mots, cela vient de ce que l’implication Faux => P est toujours vraie en logique classique (c’est le principe d’explosion), et de ce que $x\in \emptyset$ est (par définition) toujours faux. Voilà, mais comme je le disais ailleurs (et comme c’est expliqué dans l'article) la notion de "trivialité" est hautement subjective et dépend de la formation du lecteur ; comme pour les bonnes blagues, si on est obligé de lui montrer en quoi c'est trivial, c'est que ce ne l'est pas (du moins pour ce lecteur-là). --Dfeldmann (discuter) 30 juillet 2021 à 11:06 (CEST)

Re bonjour Dfeldmann. Merci de votre réponse, qui donne maintenant les pistes de démonstration de l'affirmation qui me troublait. Je crois pouvoir résumer le raisonnement comme suit : en appliquant la table de vérité de l'implication mathématique à l'affirmation "il existe x tel que P" dans l'ensemble vide, l'affirmation "il existe" étant fausse, l'implication est vraie ...quelle que soit P. Et donc en particulier pour P et son contraire. La démonstration de l'autre affirmation "toute proposition commençant par quel que soit ..." se démontre alors par l'absurde: si elle était fausse, il existerait au moins un x tel P soit fausse...et ceci est impossible. Ce raisonnement vous parait-il correct? Dans ce cas, je propose de mettre l'exemple " il existe..." avant celui "pour tout ...", et de donner une piste de démonstration, car je persiste à croire que tout ceci n'est pas "trivial" au sens "évident": en faisant des recherches , j'ai en effet trouvé une littérature assez abondante discutant ces cas...et attirant l'attention des lecteurs/élèves sur les subtilités des raisonnements y conduisant, et des interprétations à en faire. Les anglo saxons utilisent même un terme, dont je n'ai pas trouvé l'équivalent en français, celui de "vacuous truth" pour ces propositions appliquées à l'ensemble vide, ou (parfois) pour des affirmations résultant de prémices faux. Cordialement.--Olinone (discuter) 30 août 2021 à 11:20 (CEST)

Bonjour Olinone Bon, j'ai précisé et mis une source, mais il faut absolument, dans ce genre de discussion , être rigoureux (vois au moins la référence donnée). Concrètement, "il existe x élément de l'ensemble vide tel que P(x)" se note (en logique du premier ordre) $(\exists x)(x\in \emptyset \ \&\ P(x))$, trivialement faux puisque $(\exists x)(A\ \&\ B))$ implique $(\exists x)(A)$, et sa négation est donc trivialement vraie, or formellement, la négation de $(\exists x)(A\ \&\ B))$ est $(\forall x)({\rm {non}}A\ {\rm {ou}}\ {\rm {non}}B))$, lui-même équivalent à $(\forall x)(A\Rightarrow {\rm {non}}B))$, donc la négation de "il existe x élément de l'ensemble vide tel que P(x)" est bien "tout x élément de l'ensemble vide possède la propriété (non) P(x)". Mais ce qui est trivial pour tout étudiant familier de logique mathématique (et d'un minimum de théorie des ensembles...) ne l'est sûrement pas pour n'importe qui d'autre. Cordialement,--Dfeldmann (discuter) 30 août 2021 à 14:54 (CEST)

Bonjour, et merci de la réponse: j'ai vu et compris les changements apportés dans l'article sur ce sujet, et considère qu'ils répondent à mes interrogations. Cordialement.--Olinone (discuter) 31 août 2021 à 15:27 (CEST)

Evaluation de l'article

Après les différentes améliorations apportées, je propose de requalifier l'article au moins en "bon début" , et "importance moyenne"". Sauf opposition des lecteurs et contributeurs, je ferai cette modification dans les jours qui viennent.--Olinone (discuter) 6 septembre 2021 à 11:30 (CEST)

Je ne sais pas quelles sont les améliorations mais la section "Subjectivité du caractère "trivial" en mathématiques" ne va pas du tout. Elle donne l'impression de réflexions personnelles écrites au fil de la plume et, désolé, mais pas très bien informées (on n'axiomatise pas l'arithmétique pour rendre "trivial" 1+1=2). La référence à Feynman est très bien (ça me paraît la seule chose à conserver du paragraphe) mais était interprétée au pied de la lettre, en contresens de ce que signifie le texte. Il n'y a aucune source, on ne va pas discuter phrase par phrase (tout est contestable, je doute qu'on utilise "trivial" en primaire par exemple), une confusion manifeste entre "évident" et "trivial", bref c'est à effacer (en conservant Feynman). Proz (discuter) 7 septembre 2021 à 18:14 (CEST)

Bonjour Proz. Je me reconnecte et découvre vos remarques, ainsi que les évolutions que Dfeldmann et vous avez apportées à l'article depuis mes dernières contributions, évolutions que je comprends. Dans votre réponse très critique ci dessus, il y a cependant deux arguments auxquels j'aimerais répondre: a) celui relatif à la "confusion" que je créerais entre "trivial" et "évident": en vérifiant les différents définitions de "trivial" dans les dictionnaires , généralistes ou non, qui en proposent, vous constaterez que "trivial" est très souvent défini comme un quasi synonyme de "simple" ou "évident". La "confusion" que vous soulignez n'est donc pas de mon fait... b) celui relatif à l'exemple d'arithmétique "1+1=2" et la comparaison entre une trivialité en primaire et une en Maths Sup (ou Spé): je vous suggère d'abord de vous demander comment prouver mathématiquement que "1+1=2" et autres exemples de ce type en vous imposant de définir TOUS les éléments contenus dans cette affirmation apparemment si triviale en arithmétique. Je pense que vous arriverez assez vite ...à la formulation axiomatique que j'ai utilisée, la reprenant d'ailleurs dans l'article "axiome" de Wikipedia. Si vous arrivez à cette conclusion, vous serez alors conduit à reconnaitre que certes on n'axiomatise pas POUR rendre l'affirmation triviale (ce que je n'ai d'ailleurs pas prétendu), mais que celle ci devient triviale PARCE QUE on a axiomatisé l'arithmétique, l'ensemble N, etc.. Revenons au cas de l'école primaire: je ne crois pas avoir écrit ni même suggéré qu'on utilise le mot "trivial" dans son sens mathématique dans ces classes! On n'utilisera pas non plus le concept d'"ensemble des entiers naturels" pour désigner "l'ensemble de tous les entiers positifs ou nuls", ni le vocable "élément neutre de l'addition " pour désigner le nombre 0, etc... Mais ce n'est pas parce qu'on ne les utilise pas qu'ils ne sont pas existants ou exacts (on peut même espérer que les professeurs en connaissent certains...). L'enseignant(e) donnera des "recettes" à ses élèves en leur disant d'admettre et apprendre par coeur les propriétés enseignées, et veillera à ce que les élèves sachent simplement, facilement, de façon répétitive et sans erreur ni hésitation les reconnaitre et les appliquer. Ce qui correspond bien à un savoir "su et répété dans les écoles"...qui se trouve l'une des définitions de "trivial"!!!!CQFD!!! Cordialement. --Olinone (discuter) 21 septembre 2021 à 19:01 (CEST)

Bonjour Olinone  ; je t'en supplie, arrête de donner des conseils de ce genre à Proz ou à moi : « Comment prouver mathématiquement que 1+1=2 ? » est une très mauvaise question, vu que cela dépend énormément de l'axiomatique utilisée (comparer le cas banal où c'est une définition de 2 avec l'horreur des Principia Mathematica, et voir aussi les remarques que j'ai rédigé (c'est pourquoi il est un peu inutile de m'expliquer tout ça) pour l'article Longueur d'une démonstration). Et le fait qu'on soit obligé de repasser deerrière toi pour te demander (te supplier ? exiger de toi?) de sourcer tes affirmations (ou bêtement de les supprimer) devrait te convaincre qu'il subsiste quelques problèmes dans ta vision de ce qu'est Wikipédia. Cordialement, --Dfeldmann (discuter) 21 septembre 2021 à 19:38 (CEST)

D'accord avec DFeldmann. Je précise sinon :

a/ Oui bien-sûr il y a des superpositions entre "trivial" et "évident", mais les termes ne sont pas pour autant interchangeables, et il est faux de dire que c'est le cas dans les dictionnaires. Pour le tlfi (on parle de trivial en mathématiques, le sujet de l'article) : "Dont la connaissance n'apporte rien, dont la démonstration est très facile", le premier sens n'est pas superposable avec évident.

b/ (au risque de doublonner un peu DFeldman qui a déjà répondu). La première chose est de ne pas à inventer des usages du mot "trivial", mais de s'appuyer sur l'existant. Ce n'est pas forcément très bon non plus de s'appuyer sur un article comme axiome qui affiche qu'il ne cite pas ses sources. Plus sur le fond, et sans chercher à être exhaustif, vos réflexions ne me paraissent pas spécialement pertinentes, et certainement pas sourçables (pour ce qui était dans l'article) : 1/ déjà j'espère bien qu'un enseignant de primaire peut expliquer ce que signifie 1+1 = 2, ou 1+2=2+1, et je ne pense pas que ce soit une question d'apprentissage par cœur. 2/ Mon avis est qu'en démontrant axiomatiquement des choses comme 1+1 = 2, ou d'autres "trivialités" (on dirait plutôt évidences), vous vous assurez éventuellement que votre axiomatisation est susceptible d'être pertinente, aucunement que ces assertions sont triviales. Pourquoi établir 1+1=2 à partir de x+0=x ; x+sy=s(x+y) (assertions quand même un peu plus complexes, inaccessibles à un élève de primaire par exemple), de définitions (pour 1 et 2), de propriétés de l'égalité (la substitution indispensable mais oubliée d'ailleurs) aurait un rapport avec la "trivialité" de cet énoncé ? 3/ Pourquoi pensez vous utile de parler de "l'ensemble N" ou de "l'ensemble de tous les entiers positifs ou nuls", c'est-à-dire l'infini achevé, qui n'est en fait pas nécessaire pour l'arithmétique élémentaire ? C'est de toute façon tout à fait inutile de s'engager là-dessus au regard du sujet de l'article. Le mieux est de trouver des sources (bravo pour celle dénichée de Feynman) de faire l'effort de les lire correctement, dans leur contexte (cf. Feynman), et tout ce que vous risquez c'est d'apprendre quelque chose au passage. Proz (discuter) 21 septembre 2021 à 21:04 (CEST)