Discussion:Théorème de Goodstein

Création de l'article : traduction et adaptation de l'article anglais Theon 8 janvier 2006 à 11:46 (CET)

Erreur grave dans la démonstration

La construction de la suite parallèle est extrêmement mal faite (avec l'argumentaire donnée, on ne voit pas pourquoi le changement de bas respecterait l'ordre, puisque l'on impose seulement a-1<b'  : prendre b'=ω pour s'en convaincre). Tout ce passage est à reprendre, et, tant qu'à faire, à sourcer--Dfeldmann (d) 23 octobre 2010 à 15:17 (CEST) Et, u point où on en est, la base finale de la suite G(3) n'est pas un nombre de Woodall ; faudrait vraiment que les rédacteurs contrôlent ce qu'ils traduisent...--Dfeldmann (d) 23 octobre 2010 à 15:21 (CEST)

D'accord avec ta première remarque (et ta rectification dans l'article), mais Théon n'y était pour rien dans l'ajout de cette erreur. Je ne comprends pas ta 2ème remarque (ni pourquoi tu as ajouté "généralisé" dans l'article). Anne Bauval (d) 23 octobre 2010 à 16:06 (CEST)

Oui, sur ce second point, c'est un souvnir erroné ed ma part (je pnsais que c'était seulement généralisé) Bon, je corrige--Dfeldmann (d) 23 octobre 2010 à 17:43 (CEST)

La dernière version que j'ai modifiée de cet article ne disait rien d'autre en substance que la version actuelle sur la décroissance de la suite associée. Je ne suis évidemment en rien responsable des modifications ultérieures. Faudrait vraiment que les rédacteurs contrôlent ce qu'ils avancent. Theon (d) 24 octobre 2010 à 11:42 (CEST)

Désolé de t'avoir froissé (Anne avait déjà rectifié) ; bon, en fait, le plus important est que l'erreur de démo s'était glissée là sans contrôle, et ça, c'est un peu inquiétant. Peut-être, en effet, qu'une source pourrait limiter ce genre de dérive --Dfeldmann (d) 24 octobre 2010 à 21:22 (CEST)

Vocabulaire

J'ai fait quelques corrections de vocabulaire : l'indécidabilité vaut pour l'arithmétique de Peano, on ne peut pas remplacer par "axiomes de Peano" qui est ambigu, il s'agit de l'arithmétique du premier ordre, cf. la version anglaise qui est claire. Par ailleurs l'expression "théorie des ordinaux", n'allait pas, ce n'est pas une théorie autonome, il y a des théories qui permettent de montrer que certaines relations sont des bons ordres (ZFC étant d'ailleurs démesurée les ordinaux en jeu ici étant dénombrables et même récursifs), ces bons ordres ayant un certain type ordinal. J'ai repris de en: la mention de l'arithmétique du second ordre (pour qu'il soit clair que ce ne sont pas seulement "axiomes de Peano" qui sont en jeu). Proz (d) 31 mars 2011 à 21:43 (CEST)

Intro

fanchement écrire "La démonstration repose sur l'existence d'un certain nombre ordinal infini" ne me semble pas bien clair (même s'il y a pire dans l'historique), et pouvoir être mal interprété. Donner le lien de cause à effet, qui n'a rien d'immédiat, avec la non démontrabilité dans Peano, peut aussi être mal interprété. On pourrait croire que c'est la notion d'ordinal qui est en cause, le fait de pouvoir les définir, ça n'est pas le cas. Je propose quelque chose sans grande conviction, faut-il rentrer dans les détails, et parler d'epsilon0 dès l'intro ? Proz (d) 22 mai 2011 à 23:12 (CEST)

Oui, j'ai laissé ça pour faire plaisir à Tkhuvo... Bon, la rédaction actuelle me semble acceptable, et en tout cas sans grand risque. Mais voilà ce qui arrive quand on fait du TI --Dfeldmann (d) 22 mai 2011 à 23:35 (CEST)

I certainly would be happy with any consensus that emerges in this space, including deleting any reference to epsilon_0. On the other hand, the current version of the introduction seems to suggest that you can either use epsilon_0, or avoid using it by passing via "second order arithmetic", which is not exactly accurate. Tkuvho (d) 23 mai 2011 à 14:52 (CEST)

Really ? I thought using second-order arithmetic made only an implicit use of ordinals. But I am not an expert...--Dfeldmann (d) 23 mai 2011 à 14:54 (CEST)

On peut démontrer qu'un certain ordre de type epsilon_0 est un bon ordre en arithmétique du second ordre, ce qui suffit (je suppose que c'est l'argument le plus simple). Par contre définir des ordinaux (un représentant par classe de bons ordre isomorphes), poserait d'autres problèmes, mais effectivement ça n'a aucune importance ici. On peut simplement supprimer cette phrase. D'autant que l'article donne peu de détails sur la preuve d'indépendance. Proz (d) 23 mai 2011 à 20:19 (CEST)

Une interprétation intuitive du résultat de Paris

Un lecteur m'a manifesté (par email privé, mais je ne pense pas que le citer pose de problème ) sa surprise de ce que la suite u_n finisse par ne plus dépasser, mettons, n^2. La rédaction de la démonstration de ce que si elle ne dépasse pas n^3 à l'étape n, elle ne dépasse pas N^2 à l'étape N=2^2^... (n fois?) n'est pas trop difficile, mais la pénibilité de sa rédaction donne une assez bonne idée de la raison profonde pour laquelle les axiomes de Peano sont impuissants à traiter le cas général. Quelqu'un aurait-il rédigé ça plus rigoureusement, permettant de ne pas faire de TI sur la question?--Dfeldmann (d) 17 janvier 2012 à 04:26 (CET)

Preuve erronée

Cher Dfeldmann,

c'est moi qui avais corrigé la preuve, correction que vous avez annulé et que j'ai ressucitée. Vous vous trompez, l'argument que vous avez remis en avant n'est pas suffisant.

je ne remets pas en cause le fait que la suite parallèle atteigne 0, mais si elle atteint 0 ça n'est pas uniquement parce qu'elle est décroissante mais parce que de temps en temps on remplace un ordinal infini par un entier fini. Or la preuve ne fait appel qu'à sa décroissance (c'est d'ailleurs ce qui fait sa simplicité). Sa stricte décroissance ne permet que de conclure qu'elle est finie mais pas qu'elle atteint 0, là est la nuance. Quelle valeur atteint-elle ? Celle d'un ordinal limite qui par définition n'a pas de prédécesseur et donc ne peut décroître.

Sauf votre respect, permettez moi d'éclairer mon propos par un exemple, celui de la suite u_n = u_(n-1) - 1, afin de vous convaincre qu'une suite strictement décroissante d'ordinaux ne stoppe pas nécessairement à 0.

1) elle est strictement décroissante vous en conviendrez

2) combien de "pas" faut-il pour atteindre 0 en partant de u_0 = 10 ? une dizaine n'est-ce pas ? car elle est fini dans N. Le nombre de pas P(n) qu'il faut pour atteindre 0 en partant de u_0=n est précisément n, vous en conviendrez aussi.

3) combien de "pas" faut-il pour atteindre 0 en partant de u_0 = omega ? ou que vaut P(omega) ? d'après vous, on l'atteint (l'argument de décroissance stricte est le même), et puisqu'il y a bon ordre on l'atteint en un nombre fini de "pas" ? donc d'après vous, P(omega) est fini, pourtant "pour tout n de N : P(omega)>P(n)" non ? ... ça sent l'infini non ? car oui, il "faudrait" une infinité de "pas" pour "descendre" de omega à 0, mais justement on ne peut pas car omega est une borne inférieure au même titre que 0 (et que omega*2 ou que omega^2 etc)

et c'est justement pour cela qu'il n'y a pas de suite infiniment décroissante : parce qu'on finit (le mot est juste) par tomber sur un mur : un ordinal limite.

Mais, c'est là la beauté et l'étrangeté de cette preuve, cela suffit d'atteindre un ordinal limite. La suite parallèle p_n est une fonction de la suite initiale u_n, i.e. p_n=f(u_n), et si la suite p est finie (en atteignant un ordinal limite), c'est que la suite u l'est aussi, or le seul ordinal limite que peut atteindre u est 0 car u est une suite d'entiers finis.

Si je me trompe, je veux bien que vous me l'expliquiez. Mais méfiez vous, les ordinaux ne sont pas des nombres... l'addition n'y est pas commutative par exemple.

C'est ma première contribution à wikipedia, je n'ai pas pris le soin de lire les diverses recommandations, j'espère que mon ton n'aura pas été discourtois.

Cordialement,

Gasole

Pour u_0 = omega, que vaut u_1 ?

Dire que la suite d'ordinal stationne en un ordinal limite n'a en fait pas grand sens. Lorsqu'elle atteint un ordinal limite, elle doit "faire un saut" en raison de la stricte décroissance. Ce qui compte, ce que l'on ne puisse pas construire une suite infinie d'ordinal associée, et donc la suite d'entier considérée doit s'arrêter (en 0). Zandr4^[Kupopo ?] 16 mai 2014 à 04:45 (CEST)

Plus précisément, la construction de P montre bien ce qui se passe dès le cas de G(4): on a la suite G=(4,26,41,60, 83,...) et la suite P correspondante (notée en notation "naturelle" pour plus de lisibilité) :$(\omega ^{\omega },2\omega ^{2}+2\omega +2,2\omega ^{2}+2\omega +1,2\omega ^{2}+2\omega ,2\omega ^{2}+\omega +5,2\omega ^{2}+\omega +4,\dots )$. J'espère que les choses sont plus claires ainsi : chaque passage par un ordinal limite amène un saut.--Dfeldmann (discuter) 16 mai 2014 à 06:51 (CEST)

Permettez moi d'insister, et de grâce prenez le temps de réfléchir à ce que je dis, vous m'avez fait douter, prenez la peine d'en faire autant. Je retire l'image de la stationnarité, soit. J'en m'en tiens à la propriété des ensembles munis d'un bon ordre : il n'y a pas de suite infini str. décroissante, donc soit une suite quelconque est soit finie, soit non str. décroissante. Dans le cas qui nous intéresse, elle est finie. Là dessus nous sommes d'accord.

A la question "pour $u_{0}=\omega$ que vaut $u_{1}$, la réponse est la même que pour $u_{0}=0$ : la suite stoppe immédiatement. D'ailleurs c'est à vous que je posai la question... Si vous préférez prendre $u_{0}=\omega +100$, je n'y vois pas d'inconvénient : on aura $u_{1}=\omega +99,u_{2}=\omega +98,...,$, je vous repose la question : que vaut $u_{1}01$ ? C'est là qu'elle fait le "saut" dont vous parlez ?? L'article original de Goodstein prouve directement que la suite P atteint 0, mais pour cela Goodstein prouve au passage qu'effectivement la suite P fait des sauts, ce que sa seule stricte décroissance ne permet pas d'affirmer.

Accordez moi encore une minute de patience : Soit pour tout $N$, soit la suite $u$ définie par $u_{0}=N$ et $u_{i+1}=u_{i}-1$, et définissons sa suite parallèle par $v_{i}=\omega +u_{i}$. Les éléments sont réunis : $v$ est str. décroissante et majore $u$, si je vous suis elle atteint donc 0 ! Non, tout ce qu'on peut dire c'est qu'elle est fini, dans cet exemple elle atteint $\omega$ au moment où $u$ atteint 0.

Encore une fois, ce que je veux dire n'est pas que la suite P n'atteint pas 0, ni que la suite P ne fait pas de saut, je dis juste que le simple argument qu'elle décroît ne suffit pas à les établir.

Et s'il faut un dernier argument, je vous invite à jeter un oeil à la p.289 de Kirby-Paris [1], où il est seulement dit (comme je le défends) que la décroissance infinie de la suite parallèle est impossible (cela suffit pour établir le résultat), il n'est pas dit qu'elle atteint 0 (si c'était le cas, ils ne s'en priveraient pas je pense).

Cela dit, l'erreur que vous soutenez est fréquente, la page anglaise de wikipedia contient la même.

Quant à la remarque de Zandr4, dont je me demande s'il a envisagé de douter... "on peut sauter un mur", encore une fois je ne dis pas le contraire, je dis juste que la simple décroissance n'implique pas de saut, vous faites exprès de ne pas comprendre ou quoi ? Prouver qu'il y a saut est plus difficile ! Avez-vous lu l'article de Goodstein ? Et celui de Kirby-Paris ? Je trouve votre réponse (vu le mal que je me donne) à la limite du respect.

Je suis professeur d'université, j'enseigne la logique sans être un spécialiste de la théorie des modèles, mais j'ai une certaine expérience pour détecter les arguments insuffisants. Et celui de l'article initial l'est. Je trouve dommage d'en faire appel à un argument d'autorité alors que j'ai donné les billes pour ne pas avoir à le faire.

Je reconnaîtrais humblement et volontiers m'être trompé face à des arguments mathématiques, mais certainement pas face à une simple boutade quelque peu méprisante qui n'a aucune valeur scientifique et ne vient pas en appui de vrais arguments. J'appelle cela condescendance.

--Gasole (discuter) 16 mai 2014 à 12:01 (CEST)

Je ne vous demande aucune humilité, mais juste de reconnaître votre erreur. Voici le squelette de la démonstration : Si G(n) (n-ème terme de la suite de Goodstein considérée)) est non nul, on définit P(n) comme expliqué dans le texte. On démontre que P(n+1)<P(n) (strictement). Si G(n) n'était jamais nul, la suite (P(n)) constituerait donc une suite d'ordinaux infinie et strictement décroissante, ce qui est absurde. C'est donc qu'il existe un n tel que G(n)=0, ce qu'on veut démontrer. Une analyse plus précise (mais inutile pour démontrer le théorème) montre que (en partant d'un nombre supérieur à 2), pour une certaine base B, on a P(B)=$\omega$, et que la suite devient alors confondue avec la suite G, les deux prenant les valeurs B,B-1,B-2, etc. jusqu'à 0. Pour finir, la simple décroissance (stricte) implique des sauts, évidemment : un ordinal quelconque (infini) est forcément de la forme L+n, où L est un ordinal limite; au bout de n étapes au plus, on atteint cet ordinal limite, et comment voulez-vous que la suite continue à décroitre sans le sauter ?--Dfeldmann (discuter) 16 mai 2014 à 13:56 (CEST)

Je ne vais pas jouer les arguments d'autorité (et pourtant...), parlons seulement de maths. Dans le cas de G(4) (lisez, je vous prie, attentivement l'article où ce calcul est détaillé), la suite P commence comme je vous l'ai dit par $(\omega ^{\omega },2\omega ^{2}+2\omega +2,2\omega ^{2}+2\omega +1,2\omega ^{2}+2\omega ,2\omega ^{2}+\omega +5,2\omega ^{2}+\omega +4,\dots )$, puis à l'étape $b=3\times 2^{27}-1=402653183$, $P(b)=\omega ^{2}$ et donc, à l'étape (b+1), $P(b)=b\omega +b$ ; de même, à l'étape B, $P(B)=\omega$, et $P(B+1)=B$  ; c'est seulement à partir de ce point que la suite G se met à décroitre (et alors G=P). Vous voyez bien que P, loin d'être stationnaire, saute de $\omega$ à une valeur finie.

Cela dit, je comprends enfin votre problème : une suite décroissante stricte d'ordinaux fait nécessairement des sauts...--Dfeldmann (discuter) 16 mai 2014 à 12:08 (CEST)

On ne se comprend vraiment pas. Je vous ai lu attentivement, je ne suis pas sûr que vous en fassiez de même au vu de vos réponses.

Soyez sympa pour que le débat avance, lisez moi bien et pas trop vite, et surtout restez calme ça perturbe l'entendement.

J'ai posé la question à deux collègues spécialistes à midi, ça nous a permis d'avoir un sujet de conversation intéressant sur Goodstein, les nombres transfinis, wikipédia et ses collaborateurs, etc.
Ce qui m'épate c'est que vous ne voyiez pas la différence logique entre ce qu'il y a dans l'article et ce que vous dites plus haut : "On démontre que P(n+1)<P(n) (strictement). Si G(n) n'était jamais nul, la suite (P(n)) constituerait donc une suite d'ordinaux infinie et strictement décroissante, ce qui est absurde."
et qui me laisse à penser que vous commencez à être d'accord avec moi car ce n'est pas comme cela que vous présentiez les choses, ça c'est comme JE les présentais depuis le début du débat. J'y reviendrai.

Dans votre dernière formulation :
"une suite parallèle P d'ordinaux telle que P majore G et décroisse strictement, ce qui implique qu'elle s'annule à partir d'un certain rang. Il en sera alors de même de la suite de Goodstein G.".
Si je ne m'abuse, le "ce qui" désigne "P majore G et décroisse strictement" et rien d'autre, donc pour résumer vous semblez dire :

1. P majore G (par construction)
2. P est décroissante str (par construction)
3. or P décroissante str => P s'annule (c'est votre argument)
4. donc P s'annule (d'après (2) et (3))
5. donc G s'annule (d'après (1) et (4))

On est en désaccord sur le point (3) que vous tenez pour un axiome on dirait... Première question importante : Appliqueriez vous ce raisonnement à la lettre à toute suite Q quelconque majorant G et str. décroissante ?

* Si oui alors vous faites une erreur de mathématiques

Considérez nos suites G(n) et P(n), et fabriquons une nouvelle suite parallèle à G(n), j'ai nommé Q(n), définie par $Q(n)=P(n)+\omega$ : on a donc

1. Q majore G (par construction)
2. Q est décroissante str (par construction)
3. or Q décroissante str => Q s'annule (c'est votre argument)
4. donc Q s'annule (d'après (2) et (3))

et expliquez-moi comment vous allez faire pour que Q s'annule...

C'est tout bête: Q n'est strictement décroissante, car $1+\omega =\omega$. Comme vous voyez, je reste calme, mais un peu perplexe également devant votre effort de réfutation d'un résultat vraiment basique sur les ordinaux (je vous suggère la lecture de l'article axiome de fondation)--Dfeldmann (discuter) 16 mai 2014 à 17:33 (CEST)

Ok trouver un exemple frappant n'est pas si simple, bravo pour l'avoir vu, mais je ne vous félicite pas de ne pas voir l'idée derrière. Un exemple reste un exemple, à but uniquement d'éclairage, tout ce que je dis par ailleurs aurait dû suffire à vous convaincre, et ma suite Q est réparable (j'écris w pour omeg. Bien sûr w2 est w+w pas w^2) en prenant Q'(n)=w+P(n) et votre sauvetage miracle ne fonctionne plus. Je vous fais même le calcul pour n=3 (peut être que ça ne marche pas pour d'autres valeurs, je ne veux pas le savoir, une suffit) :

G(3)	2^1+2^0	3^1	3.4^0	2.5^0	6^0	0
=	3	3	3	2	1	0
P(3)	w^1+2^0	w^1	3.w^0	2.w^0	w^0	0
=	w+1	w	3	2	1	0
Q'(3)	w2+1	w2	w+3	w+2	w+1	w

Alors ? Q'(3) n'est pas décroissante cette fois ? Ne majore-t-elle pas G(3) ? Atteint-elle 0 pour autant ? Et pourtant, la non décroissance infinie de Q' suffit pour prouver que G(3) termine, et donc termine à 0. Par contre, on ne pourra pas en conclure que Q'(3) termine à 0 aussi...

Quel résultat basique je réfute ? Que les ensembles non vides d'ordinaux (bien fondés donc) contiennent tous 0 ? C'est un résultat basique ? Vous êtes sûr ? On parie ?

Honnêtement, avez-vous lu l'article de Kirby-Paris avant de parler ? Avez-vous lu celui-ci : http://alixcomsi.com/10_Goodstein_case_against_1000.pdf qui explique que tel qu'il est décrit dans cette page, le théorème de Goodstein lui-même est sujet à caution ou au moins à précaution ? Moi oui, j'ai pris cette peine, car contre des critiques, j'essaie d'abord de douter, et aucun ne dit ce que vous dites, ils disent juste que la suite parallèle termine et c'est tout. Je pense qu'on peut leur accorder une certaine autorité. Lisez-les donc.

Je ne vous réponds plus, vous êtes trop enfermé dans vos certitudes et je n'ai pas que ça à faire que d'écrire des lignes et des lignes pour au final recevoir un commentaire laconique et inattentif. Après tout, je n'ai pas à vous convaincre, je me suis laissé prendre au piège, vous pouvez penser ce que vous voulez des ordinaux. Le doute, rien de tel. Et tenez-vous en aux axiomes, à mon tour de vous remémorer l'axiome de fondation : "il existe un élément minimal" ne désigne pas l'élement en question. Reste à corriger la version anglophone qui contient la même erreur de raisonnement dont cette page a hérité.

--Gasole (discuter) 16 mai 2014 à 23:33 (CEST)

* Si non alors c'est juste un manque de rigueur, une erreur logique de mon point de vue

car une fois les hypothèses toutes posées, un raisonnement doit être universel, si ce raisonnement n'est pas universel c'est qu'il fait intervenir des hypothèses non explicitées.

En fait, vous utilisez régulièrement l'hypothèse que P est une suite parallèle, mais cela vous amène à écrire des choses fausses quand vous omettez de le dire. Non, en général, toute seule, une suite décroissante stricte d'ordinaux ne fait pas nécessairement des sauts, vous n'avez pas du tout considéré mes exemples visiblement. En revanche une suite parallèle (au sens donné dans l'article) str. décroissante d'ordinaux fait nécessairement des sauts et même descend en dessous d'omega (devient finie) à condition toutefois que la suite initiale (G) n'atteigne pas 0 avant comme cela arrive avec la suite Q... En aucun cas vous ne pouvez affirmer d'abord que P atteint 0 et d'en conclure que G aussi.

Je comprends votre problème : manque de rigueur et d'explicitation des hypothèses utilisées. Défaut de mathématicien. Moi je suis logicien, je me contente de respecter les axiomes, ce qui dans ce type d'univers contre-intuitif est un avantage (et un inconvénient dans d'autres).

Afin de recadrer (encore une fois le débat), je dis que votre argument est qu' "une suite strictement décroissante d'ordinaux atteint nécessairement 0", et je prétends que cet argument pris en toute généralité est erroné. Rien de plus. Si vous utilisez d'autres considérations pour obtenir cette conclusion, alors explicitez-les.

1) Vous auriez globalement raison si à un moment du raisonnement vous prouviez que la suite P(n) prend une valeur entière finie (la suite Q(n) ne le fait pas, donc ça va être difficile sauf a posteriori comme je le suggère), alors là oui, sa simple décroissance suffirait à affirmer qu'elle atteint 0 (et encore, si vous prenez R(n)=P(n)+1 comme suite parallèle, ce qui convient très bien, vous aurez 1 comme limite, pas 0). Dans l'état actuel du texte, ça n'est pas le cas.

2) Je vous ai dit que je retire le passage par "stationnaire", ça embrouille le débat.

3) Vous dites aussi "Une analyse plus précise (mais inutile pour démontrer le théorème) montre que (en partant d'un nombre supérieur à 2)...la suite devient alors confondue avec la suite G" encore une fois je suis tout à fait d'accord, MAIS cette analyse n'étant pas faite, il faut s'en tenir aux arguments disponibles : décroissance stricte et c'est tout.

3) Reprenez votre exemple de G(4) mais avec ma suite Q(n) au lieu de P(n).

5) J'ai posé la question à deux spécialistes à table ce midi. Verdict : non, une suite strictement décroissante d'ordinaux n'atteint pas forcément 0, elle est juste finie en LONGUEUR, i.e. il existe un rang à partir duquel elle n'est plus définie (ou si l'on veut la rendre artificiellement infinie, elle devient stationnaire et donc plus du tout str. décroissante).

6) OUI je sais que la suite G fait des sauts mais ça n'est pas une simple conséquence de sa décroissance (ça ne suffit pas) ! C'est une conséquence de sa définition, tout comme l'est sa décroissance ! Je reprends précisément votre exemple : vous écrivez "$P(B)=\omega$, et $P(B+1)=B$", oui et alors ? Je n'ai jamais dit le contraire, oui la suite P fait des sauts, cessez d'essayer de m'en convaincre, j'en suis convaincu, là n'est pas la question, mais pour le montrer vous utilisez l'hypothèse que c'est une suite bien particulière, et la généralité de vos énoncés comme "une suite décroissante stricte d'ordinaux fait nécessairement des sauts" s'en ressent, prise isolément, elle est fausse.

7) Dernière chose, pour l'argument d'autorité, soit vous faites état de ce qui vous y autorise (il n'y a pas de honte à être spécialiste de la théorie des modèles ou quelque chose de proche), soit vous passez ça sous silence, mais je trouve votre ambivalence malvenue.

Gasole, ne voyez ni boutade ni condescendance, il n'y en a pas.

Pas de souci, mais pour une première intervention sur les pages de wikipedia, j'ai trouvé que mon apport, que je trouvais être une amélioration recevait un accueil plutôt désinvolte disons...

Je pense, à la lecture de vos dernières modifications, que l'on est tous d'accord sur la conclusion.

Sur la conclusion oui, mais je rechigne à accepter une preuve disons imprécise alors qu'il est si facile d'en donner une parfaitement rigoureuse. Déformation professionnelle. Il est inexact de dire "la suite P(n) atteint 0 (uniquement) parce qu'elle est décroissante stricte".

Ce sont seulement vos arguments (dans cette discussion) qui font tiquer.

Mes arguments, comme je l'explique à l'autre intervenant, sont que je m'en tiens aux propriétés des bons ordres, le fait que la suite P(n) atteigne 0 n'est pas nécessaire à la conclusion que G(n) atteint 0. Il suffit de savoir que P contient un nombre fini d'élements (et donc G aussi) après quoi elle n'est plus définie (et de même pour G). Que P s'arrête en 0, en omega, ou en omega^omega n'a aucune importance.

je vous invite à lire l'article de Kirby et Paris, mes arguments sont calqués dessus.

Il est trop tard chez moi pour réfléchir clairement, mais il me semble que tout serait plus clair dans la preuve, si l'on considérait effectivement les suites comme stationnaires, plutôt que de parler de "s'arrêter", ce qui j'ai l'impression est responsable de la confusion dans cette discussion.

Non, ça n'est pas nécessaire, il faut juste considérer qu'une suite puisse être finie (i.e. ne comporter qu'un nombre fini d'éléments, ça c'est peut être un élément de discorde, une suite finie n'est pas une suite d'entiers finis mais une suite "contenant" un nombre fini d'éléments) mais cela revient au même. Kirby et Paris parlent de suite finie.

J'ai une question sur votre premier raisonnement, qui m'a effectivement fait douter, et que je n'arrive maintenant plus à suivre. Vous écrivez :

"Mais, c'est là la beauté et l'étrangeté de cette preuve, cela suffit d'atteindre un ordinal limite."

Je ne vois plus pourquoi vous parlez d'un ordinal limite. La suite pourrait tout autant (si elle ne stationnait pas en 0, évidemment) s'arrêter sur un ordinal successeur, n'est-ce pas ?

Vous avez raison. D'ailleurs je n'y fais plus référence.

Zandr4^[Kupopo ?] 16 mai 2014 à 20:02 (CEST)

En tout cas, il y a clairement un point mal compris (et je crains qu'il ne s'agisse pas d'un malentendu) : une suite strictement décroissante d'ordinaux (par définition) n'existe pas.--Dfeldmann (discuter) 16 mai 2014 à 20:48 (CEST)

Je commence à me demander si vous n'avez pas tendance à penser qu'une suite est nécessairement infinie (je vous invite à jeter un oeil au premier paragraphe de la page Suite (mathématiques)... bien sûr qu'une suite décroissante d'ordinaux existe MAIS en ce cas, elle ne peut contenir qu'un nombre fini d'éléments... En revanche (propriété des bons ordres) il n'existe pas de suite infinie strictement décroissante, donc par contraposition, une suite quelconque d'ordinaux est soit non décroissante strictement, soit finie, or la nôtre EST strictement décroissante donc elle ne peut être que finie (vraiment, si vous supportez l'anglais, je vous conseille l'article de Kirby et Paris qui dit la même chose p. 289). On pourrait obtenir la même conclusion, en remplaçant "finie" par "stationnaire à partir d'un certain rang" mais ça ne changerait rien.

En revanche, si vous voyez comment percer la carapace d'aveuglement de l'autre commentateur, bienvenu... :-)

--Gasole (discuter) 16 mai 2014 à 23:33 (CEST)

Appelons ça une erreur de communication, je suis intervenu de la même manière si vous m'aviez présenté vos arguments au tableau.

L'importance que vous donniez aux ordinaux limites dans votre premier message laissait entendre qu'ils avaient une importance particulière dans la preuve, ce qui je pense a lancé tout le monde dans la mauvaise direction. Mais oublions ça.

Oui, oublions ça.

Je continue de penser que la confusion vient seulement du cette façon assez sale "d'arrêter les suites". Par une convention que je croyais universelle, une suite est indexée par N.

Et non, ça n'est le cas que pour les suites infinies :-) Je n'y vois rien de sale, êtes vous gêné par le fait que les espaces vectoriels aient un nombre fini de dimensions et qu'on ne considère pas que des espaces de Hilbert ? En tout cas, la terminaison des programmes est une problématique importante en informatique et repose sur exactement le même principe : la mise en correspondance entre la suite des états d'un programme et une suite strictement décroissante sur un ensemble muni d'un bon ordre qui donc se termine.

Non non, je n'ai rien contre la finitude, je dis juste que c'est dans la présentation de la preuve ce qui a provoqué la confusion, en témoignent les discussions plus ou moins hors-sujets qui ont suivi . Zandr4^[Kupopo ?] 17 mai 2014 à 14:28 (CEST)

Ca ne me pose pas de problème particulier, mais sauf erreur de ma part, vous n'utilisez pas que P majore G (ce que vous précisez néanmoins dans l'article). Vous dites seulement "P ne peut pas être infinie, donc G non plus." Me trompé-je ? Zandr4^[Kupopo ?] 17 mai 2014 à 05:23 (CEST)

Exact. En fait, le fait que P majore G ne joue aucun rôle, ce qui joue un rôle c'est le parallélisme entre P et G, et la monotonie de P. Mais je vois qu'il reste à droite à gauche quelques imprécisions, p.ex "la suite P", or P n'est pas une suite, c'est P(n) pour chaque n qui en est une. Je vais les corriger.

version anglaise

J'ai fait les memes corrections à la version anglaise de l'article. J'espère que ça se passera plus sereinement...

Goodstein et Woodall

Bonjour et bonne année. Effectivement, il n'y a pas de sources (ou plutôt, elles recopient Wikipédia)  ; en revanche, ça semble assez trivial, non? (utiliser les formules données pour b et B).--Dfeldmann (discuter) 8 janvier 2016 à 11:57

Bonne année. Tu as raison. Vire mon tag. Mais du coup, le « curieusement » est de trop, et peut-être même la remarque toute entière : quelle est sa pertinence, puisqu'elle n'est pas sourcée ? Anne, 13h35

Ok, on le garde juste pour G(4) (où il n'y a sans doute pas besoin de sources)...--Dfeldmann (discuter) 8 janvier 2016 à 14:42 (CET)

Problème dans la preuve : f n'est pas bien définie en tant que fonction

En effet, f dépend de n (la base), qui varie lorsqu'on avance dans la suite de Goodstein. Il faudrait noter cette famille de fonctions f_n puis introduire la suite v_n=f_n(G(m,n)) qui est bien strictement décroissante. Plus généralement, la preuve est assez mal rédigée. Il est insensé d'écrire que f(3*4^(4^4)+3)=3*w^(w^w)+3 et que f((3*5^(5^5)+3)-1)=3*w^(w^w)+2, par exemple, car ce n'est pas le même f (un coup f_4, un coup f_5). Ce problème sera cependant facile à corriger par quelqu'un qui sait écrire des maths sur Wikipédia (ce que je ne sais pas faire) 109.217.235.197 (discuter) 15 février 2016 à 15:32 (CET)

Très juste. J'ai apporté les modifications nécessaires.Theon (discuter) 15 février 2016 à 16:49 (CET)