Discussion:Groupe cyclique

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Cardinal[modifier le code]

Post du 22/05 2008

Remarque : le lien cardinal apparaît dans la première phrase de l'article, mais si l'on va y voir, le cardinal d'un groupe n'est pas défini... — Le message qui précède, non signé, a été déposé par l'IP 82.224.187.104 (discuter), le 22 mai 2008 à 01:56.

ce n'est pas grave, le cardinal y est quand même défini comme le nombre d'éléments de n'importe quel ensemble, le fait que cet ensemble soit un groupe dans le cas présent n'a aucune importance.
ce que je trouve plus remarquable: je viens de découvrir qu'en Anglais et en allemand (au moins; probablement d'autres langues), un grpe cyclique (i.e. en:cyclic group ou de:Zyklische Gruppe) n'est pas forcément fini ! Est-ce que cela ne mériterait pas une petite remarque ? — MFH 3 avril 2009 à 05:31 (CEST)

A mon avis, oui et c'est maintenant fait. Jean-Luc W (d) 3 avril 2009 à 09:53 (CEST)

Merci ! (Liens originaux... j'aurais simplement mis des liens sur le en.WP et de.WP...) A cette occasion, je me pose une autre question : A tout hasard, j'ai aussi cliqué sur "Esperanto", et sans grande surprise j'ai vu que c'est la déf. anglo-germanique. Je me demande si sur eo.WP les définitions sont "bien fondées" ou si chacun traduit en Eo ce qu'il connait de sa propre langue (et qu'il doit supposer, a priori, de validité universelle). Je suppose que le phénomène est similaire sur les WP d'autres langues "jeunes" (ou vielles mais sans tradition écrite) — MFH 4 avril 2009 à 06:37 (CEST)
Si un groupe cyclique n'est pas nécessairement fini, quelqu'un sait-il d'où vient le terme cyclique ? Dans le cadre d'un groupe monogène fini (qui est d'ailleurs la définition en prépa, cela se voit bien) mais... Zandr4[Kupopo ?] 18 avril 2010 à 19:10 (CEST)

caractères[modifier le code]

J'ai fait quelques corrections, mais il y a encore bcp de nettoyage à faire dans cette section. (L'utilisation excessive de "est donc bien...", "est clairement", "conséquence directe" etc. est d'ailleurs toujours un mauvais signe...) A peu près tout est à l'envers, notamment dans les démonstrations. (Le fait que l'image d'un morphisme est un groupe n'est pas conséquence mais c'est le point de départ, de même pour le fait que psi(x^n)=psi(x)^n.) — MFH 4 avril 2009 à 07:38 (CEST)

La définition d'un groupe cyclique[modifier le code]

Cher contributeur : 82.245.151.184

Je suis le premier contributeur à avoir créé cet article. J'ai alors inséré la définition du groupe cyclique que vous préconisez. Un autre contributeur a remarqué que Roger Godement, un mathématicien bien plus illustre que la personne que je suis dans la vraie vie, a opté pour une autre définition.

Je ne doute absolument pas de votre autorité mathématique, mais le numéro d'utilisateur 82.245.151.184 n'est pas, sur WP une référence plus respectable de Roger Godement. Même si, comme moi, vous avez appris quand vous étiez petit qu'un groupe cyclique est toujours fini, il semble que des autorités supérieures à nos professeurs d'alors, aient choisi une convention différente.

Si un autre mathématicien de la renommée de Godement a opté pour la convention que nous connaissions, il vous faut nous l'indiquer. Je suis persuadé que nous trouverons alors une formulation qui satisfera tout le monde. Mais reverter indéfiniment une autorité comme Godement ne fait pas avancer WP. Vous comprenez surement que trouver les bonnes références représente un véritable travail. Ce n'est pas idéal de le détruire, laissant à nos lecteur comme unique raison de croire à la pertinence de l'information, le savoir d'un personnage surement illustre dans la vraie vie, mais uniquement connu sous son numéro d'IP, sous Wikipédia.

Bonne continuation sur WP et merci de votre aide. Jean-Luc W (d) 18 avril 2010 à 19:28

N. Bourbaki, Algèbre, vol. I, Paris, 1970, p. I.47, définit un groupe cyclique comme un groupe monogène fini. De même, dans l'éd. française de l'Algèbre de S. Lang, 2004 (où le traducteur, p. XVI, dit s'être efforcé d'adopter la terminologie consacrée par la tradition française), un groupe cyclique est défini comme un groupe monogène fini (p. 9). Marvoir (d) 1 décembre 2010 à 15:39
C'est d'autant plus intéressant que mon exemplaire de Algebra (eighth printing 1978) définit (p. 13) un groupe cyclique comme un groupe monogène, et dit (p. 14, preuve de la prop. qui dit que tout ss-gpe ou quotient d'un cyclique est cyclique - théorème qui àmha légitime le fait d'inclure Z dans les cycliques, mais il y a sans doute des arguments plus sérieux) : "If G is infinite cyclic, it is isomorphic to Z". C'est donc, comme tu dis, le traducteur qui s'est aligné sur Bourbaki. Mais Godement a fait partie de Bourbaki. Quand ? Dans la note mentionnant son Cours d'algèbre j'avais mis 1966, mais plus précisément, sur mon exemplaire est marqué : "3e édition mise à jour", et aussi : "nouveau tirage 2e trimestre 1978". Dans cette recherche sur GoogleLivres sur la question : pages en français contenant groupe+cyclique+infini, on peut remarquer Mutafian, Colmez, mais surtout Cartan et ... (en 11e) Bourbaki (2006) himself ! Il faut de toutes façons mentionner les 2 défs, et en choisir une, mais selon quels critères ? L'idéal (improbable) serait de trouver dans un bouquin une discussion mathématiquement argumentée sur l'1 des 2 choix, sinon on va encore tomber dans le TI en la faisant nous-mêmes, non ? Anne, 19:45
Anne, tu cites ton "Algebra", or on est bien d'accord que dans l'usage anglo-germanique cyclique = monogène. Ce qui a été très clairement dit par Marvoir, c'est que le traducteur de Algebra s'est efforcé de s'aligner à l'usage consacré par la tradition française. S'il a fait cet effort, c'est pas pour rien, cela signifie bien que dans la tradition française (et dans la plupart des manuels dans notre langue), cyclique => fini ! — MFH 16 novembre 2018 à 03:15 (CET)

Unicité des sous-groupes[modifier le code]

On pourrait ajouter à la fin du § Sous-groupe la remarque que les groupes qui ont au plus un sous-groupe cyclique de chaque ordre (y compris l'infini a priori mais facile à exclure) sont abéliens de torsion et chacune de leurs p-composantes est cyclique ou quasicyclique, autrement dit ce sont les sous-groupes de ℚ/ℤ (cf. math.stackexchange 276957 + math.stackexchange 2193 + Exercises in Abelian Group Theory exo M 2.5 p. 27). Anne 3/7/16

Petit problème : fini ! (ou pas?)[modifier le code]

Il semble que les discussions ci-dessus aboutissent toutes à la conclusion qu'un groupe cyclique désigne en français (du moins majoritairement) un group monogène fini. On apprend que même le livre de Lang a été adapté en conséquence. Or, dans l'article principal, c'est très autoritairement défini comme "non nécessairement fini". Cela me semble nécessiter au bas mot l'ajout d'un "bémol", sinon d'être dit très clairement: En français, groupe cyclique désigne dans pratiquement tous les textbook (sauf peut-être celui de Godement) un groupe monogène fini. — MFH 16 novembre 2018 à 02:40 (CET)

Contenu de cet article versus contenu de l'article Groupe monogène[modifier le code]

Suites aux modifications d'Anne Bauval qui ont remplacé le terme groupe cyclique par groupe monogène à plein d'endroits, il faut que l'on décide plus clairement de ce qui doit être dans cet article et ce qui doit être dans l'article Groupe monogène (en suivant la terminologie française où un groupe cyclique est un groupe monogène fini). Personnellement, je suis pour déplacer dans Groupe monogène tous les résultats généraux pour ne garder dans l'article Groupe cyclique que les résultats spécifiques aux groupes finis. Valvino (discuter) 6 décembre 2018 à 18:45 (CET)

Ta proposition est la suite logique de la modif du RI le 16/11 par MFH aussitôt complétée par toi, modifications qui m'ont obligée à tous ces remplacements pour rétablir la cohérence. Je ne suis pas sure que ce fork était une bonne idée, parce que ce nouvel article est sans interwiki et que le terme "monogène" est beaucoup plus confidentiel que "cyclique". La plupart des propriétés qui se verraient ainsi transférées dans "groupe monogène" perdraient en visibilité. Ce serait bien dommage surtout pour les lecteurs de "groupe cyclique". Une autre solution serait de faire machine arrière. Anne 20 h 45
Effectivement il y a un gros problème de visibilité. On peut peut-être faire une redirection de Groupe monogène vers groupe cyclique en expliquant clairement la situation dans l'intro, qu'en penses-tu ? Valvino (discuter) 6 décembre 2018 à 22:45 (CET)
Je suis d'accord et je ne m'en occuperai pas. Qu'en pensent MFH et Marvoir ? Anne, 23 h 56
Pour ma part, je préfère réserver l'appellation "groupe cyclique" aux groupes monogènes finis, parce qu'il n'y a pas de cyclicité dans les groupes monogènes infinis. C'est en accord avec l'édition française de l'Algèbre de Lang (et avec le cours de théorie des groupes de Wikiversité...). Il est évidemment regrettable que Bourbaki soit incohérent. Quant à l'inconvénient que l'actuel article "Groupe monogène " n'a pas d'interwiki, une solution serait (au cas où on partagerait ma préférence) de faire passer le contenu de l'actuel article "Groupe cyclique" dans l'article "Groupe monogène" (où on laisserait évidemment la définition des groupes monogènes) et de faire de "Groupe cyclique" une redirection vers "Groupe monogène". Il faudrait alors supprimer la liaison interwiki entre "Groupe cyclique" et "Cyclic group", et créer une liaison interwiki entre "Groupe monogène" et "Cyclic group". Marvoir (discuter) 7 décembre 2018 à 11:45 (CET) P.S. Je ne sais pas trop comment il faudrait procéder techniquement pour préserver l'historique des deux articles. Fusionner les deux articles sous le titre "Groupe monogène", avec fusion des historiques ? Marvoir (discuter) 7 décembre 2018 à 11:59 (CET)
Le souci est que la notion de groupe cyclique est quand même bien plus répandue et utilisée que celle de groupe monogène, donc c'est quand même embêtant que si l'on fait un seul article, ce soit groupe monogène qui reste... --Valvino (discuter) 7 décembre 2018 à 12:14 (CET)
Josette Calais, Jean Fresnel, Jean Delcourt, Daniel Perrin (Algèbre) et Patrice Tauvel (Algèbre) font tous cinq la distinction entre "monogène" et "cyclique". Avec l'édition française de Lang, cela fait six sources livresques dans ce sens (sept avec Bourbaki, Algèbre, ch. 1). Marvoir (discuter) 7 décembre 2018 à 12:45 (CET)
Ha désolé je n'ai pas été assez clair dans mes propos. Bien sûr qu'il faut faire la distinction, je suis d'accord avec toi ! Je m'interrogeais juste par rapport au cas où on ne garderait qu'un seul article, s'il vaut mieux privilégier groupe cyclique ou groupe monogène. Il me semble que si c'est le cas qui est retenu, qu'il est préférable de garder cyclique plutôt que monogène. --Valvino (discuter) 7 décembre 2018 à 14:17 (CET)
Bon, si je comprends bien, personne ici ne conteste la distinction entre groupes monogènes et groupes cycliques. (Si j'en crois l'état actuel de l'article "Groupes cycliques", il y a des auteurs francophones qui identifient les deux : Godement , Bourbaki dans Groupes et algèbres de Lie, David Madore... On peut ajouter Felix Ulmer dans son livre Théori des Groupes.) Les groupes monogènes généraux tiennent une place importante dans l'étude des groupes infinis (structure des groupes abéliens de type fini), donc je ne vois pas beaucoup de mal à mettre les groupes cycliques sous Groupe monogène. Je rappelle que, dans l'état actuel des choses, l'interwiki entre "Groupes cyclique" et "Cyclic group" n'est pas tout à fait correct, donc si on tient à ce qu'il y ait un interwiki et que cet interwiki soit correct, il faut un article "Groupe monogène". S'il y a un article Groupe monogène, le mieux me semble, pour ne pas obliger le lecteur à des va-et-vient, d'y mettre aussi ce qui concerne les groupes cycliques et, comme je l'ai proposé, de faire de "Groupe cyclique" une redirection vers "Groupe monogène". En somme, ce que je propose, c'est d'imiter la Wikipédia anglaise, où (si je ne me trompe) il n'y a qu'un article pour les deux types de groupe monogène. Là, on n'a pas estimé que, parce que les "cyclic groups" finis apparaissent plus fréquemment que les "cyclic groups" en général, il fallait un article "Finite cyclic group". Marvoir (discuter) 7 décembre 2018 à 15:00 (CET)