Groupe monogène

En mathématiques et plus précisément en théorie des groupes, un groupe monogène est un groupe tel qu'il existe un élément a du groupe tel que tout élément du groupe puisse s'exprimer sous forme d'un multiple de a ou de son opposé (en notation additive) ou comme puissance de a ou de son inverse (en notation multiplicative) ; cet élément a est appelé générateur du groupe. Autrement dit, un groupe monogène est un groupe qui admet un singleton comme partie génératrice.

Ainsi, un groupe $G$ est monogène s'il existe un élément $a$ de $G$ tel que

$G=\{n\,a:n\in \mathbb {Z} \}=\{\ldots ,-2a,-a,0,a,2a,\ldots \}$

en notation additive, ou bien

$G=\{a^{n}:n\in \mathbb {Z} \}=\{\ldots ,a^{-2},a^{-1},1,a,a^{2},\ldots \}$

en notation multiplicative.

Lorsque le groupe est fini, on parle plutôt de groupe cyclique.

Il n'existe, à isomorphisme près, qu'un seul groupe infini monogène : le groupe additif dénombrable ℤ des entiers relatifs et, pour tout entier n > 0, qu'un seul groupe cyclique d'ordre n : le groupe quotient ℤ/nℤ — également noté ℤ_n ou C_n — de ℤ par le sous-groupe des multiples de n.

En particulier, tout groupe monogène est commutatif.