Discussion:Formule des traces de Selberg

Bonjour.

Je voulais regarder ce qu'était la formule de Selberg.Je voudrais faire remarquer les interrogations que pose la formule qui est écrite,et demander des précisions de contexte.

1. Quelle est la définition de la suite $r_{n}$ ?
2. Qu'est-ce que $F$ et le terme $\mu (F)$ ?
3. Qu'est-ce que le terme $N(T)$,$N(T_{0})$ ?
4. La variable r,dans la formule,est-elle réelle ou complexe ? Si elle est réelle,comme semble le suggérer l'intégrale $\int _{-\infty }^{+\infty }...dr$,alors parler de $Im(r)$ et $Re(r)$ est incohérent (et vice-versa).
5. La fonction h est dite analytique.Mais alors,elle devrait être de variable complexe.Ce qui est en contradiction avec r réel.

C'est probablement la traduction de la version "English".Mais celle-ci est tout aussi mal renseignée.

--90.0.189.165 (d) 22 avril 2013 à 19:24 (CEST)

Bonjour,

1. fait (c'était une erreur de notation dans le changement de variable)
2. F est probablement un domaine fondamental et μ(F) sa mesure (son aire)
3. pour N(T) ça me dépasse, mais le lien externe (page personnelle de Matthew R. Watkins) parle de "norms of primitive conjugacy classes of hyperbolic isometries". T0 est la classe de l'identité
4. l'intégrale et la série de gauche ne font intervenir que la restriction de h aux réels, mais h est une fonction d'une variable r complexe
5. idem

Anne (d) 23 avril 2013 à 03:13 (CEST)

Merci.On trouve plus de renseignements sur la formule en creusant un dans les liens.

Cependant,il y a des interrogations plus naïves;par exemple

Toute surface X compacte à courbure négative constante peut se représenter comme l'espace quotient du demi-plan de Poincaré $\mathbb {H}$ par un sous-groupe discret $\Gamma$ du groupe PSL(2,R) des isométries .Autrement dit,comment fait-on pour quotienter le d-plan de Poincaré avec PSL(2,R) ou un de ses sous-groupes,ou quelle est la relation d'équivalence ? Sauf erreur,la relation d'équivalence est : x' est dans l'orbite de x sous $\Gamma$? Je ne dis pas qu'il s'agit de se lancer dans un exposé,au sein d'un article de présentation.Mais un peu plus explicite,oui.

Par exemple,"Toute surface....peut se représenter comme l'espace quotient....".On comprend qu'il y a un isomorphisme entre X et $\Gamma$\$\mathbb {H}$,mais est-ce un isomorphisme par homéomorphie ou par holomorphie ?

--90.0.177.43 (d) 10 mai 2013 à 15:57 (CEST)

"Critique" positive de l'article

Je poursuis ma "critique" de cet article,pour expliquer un peu mieux la formule,et signaler ce qui,à mon avis,sont de petites coquilles : le domaine de définition de h et g,et la notation $N(T_{0})$ qui devrait mieux être notée $N_{0}(T)$,car se rapportant à la classe T (voir 1. et 4.).

1. Dans la formule,les fonctions h et g ont simplement besoin d'être prises dans $\mathbb {R}$ : on le voit pour g,ainsi que pour h à cause de l'intégrale $\int _{-\infty }^{+\infty }..dr$ et parce que les valeurs propres qui sont dans le 1er membre sont réelles.Or,parler de h analytique avec une condition telle que $|h(r)|\leq M(1+|\Re (r)|^{-2-\delta })$ crée une incohérence (cette incohérence se trouve déjà dans la version anglaise,dont ceci est je crois plus ou moins une traduction).D'après moi,il y a un peu de confusions (sur les hypothèses) : ces confusions seraient entre la formule de Selberg,et des formules telles que la formule explicite de Weil (voir explicit formula sur le wiki anglais).Cette dernière prend bien des fonctions définies sur $\mathbb {C}$,mais parce qu'elle utilise les zéros de la fonction $\zeta$ de Riemann : si on écrit ces zéros sous la forme $1/2+it$,certains $t$ sont a priori complexes (l'hypothèse de Riemann étant ouverte).
2. Sauf erreur,après une étude succinte,X est une surface de Riemann.Or,quand on lit simplement "surface compacte à courbure ....",on a tendance à visualiser une surface,variété de dimension 2 de $\mathbb {R} ^{3}$,alors qu'en visualisation,une surface de Riemann se compose de 2 surfaces (la partie réelle et la partie imaginaire) de $\mathbb {R} ^{3}$.Dimensionnellement,ce n'est pas le même objet.Donc,je pense qu'il est,peut-être,préférable de dire explicitement "X une surface de Riemann ...".
3. "est l'espace quotient .... par un sous-groupe discret...":là,on aimerait bien qu'on donne un exemple de sous-groupe discret (non fini?) de PSL(2,R).(*)
4. Je fais une réponse incomplète à la question sur N(T),pouvant servir à préciser le contexte de la formule.Il y a une somme sur les classes de conjugaison hyperboliques.Le sous-groupe $\Gamma$ doit donc être hyperbolique,c'est-à-dire tous ses éléments sont hyperboliques,ou encore ils ont des valeurs propres réelles.Définition de N(T): on définit N(T) de sorte que les valeurs propres d'un élément de la classe T sont $N(T)^{1/2}$ et $N(T)^{-1/2}$.$N_{0}(T)$ (il faudrait le noter ainsi au lieu de $N(T_{0})$ ) correspond à la valeur propre la plus grande d'un générateur du centralisateur $C_{\Gamma }(T)$,dans $\Gamma$, de la classe T (soit de tout élément de la classe T).Cela sous-entend que le centralisateur est monogène (sans doute du fait que $\Gamma$ est discret,ce qui doit impliquer qu'il est dénombrable).La classe de l'identité correspond au terme intégral $\int _{-\infty }^{+\infty }...dr$ (en effet puisque dans ce cas N(T)=1,elle ne peut pas se trouver dans la somme $\sum$  !).

Je suis moins sûr de ceci : il y a une relation bi-univoque entre les classes de conjugaison et les classes de géodésiques fermées de X.N(T) est "lié" à la longueur des géodésiques d'une classe.En particulier,je ne saisis pas très bien comment se fait le lien entre les orbites,les classes de conjugaison de $\Gamma$,et les géodésiques de X.

--90.0.204.243 (d) 12 mai 2013 à 12:38 (CEST)

(*) 1)Je pense,comme exemple de sous-groupe discret infini $\Gamma$ de PSL(2,R),à l'exemple suivant (peut-être un peu naïf): on prend un réel non nul r,et on définit le sous-groupe comme l'ensemble des matrices de la forme :

$\{A={\begin{pmatrix}r^{a}&0\\0&r^{-a}\\\end{pmatrix}},a\in \mathbb {Z} \}$

C'est bien un exemple de sous-groupe discret.(Sauf erreur la structure obtenue dans cet exemple est celle d'une surface relativement compacte X.Mais elle est réduite comme une peau de chagrin).Donc,il me semble qu'on obtient une structure plus consistante avec un sous-groupe $\Gamma$ fini.En ayant exploré un peu les liens,le point de vue utilisé est de partir du sous-groupe qui soit tel que le quotient X=$\Gamma$\$\mathbb {H}$ ait une structure compacte (par définition d'un sous-groupe "co-compact").

2)Pour trouver un exemple de sous-groupe fini,je pense aux racines n-èmes

$\{A={\begin{pmatrix}{cosx}&{-sinx}\\{sinx}&{cosx}\\\end{pmatrix}},x=2\pi k/n,0\leq k\leq n-1\}$

Mais la question : Dans cet exemple,la sructure de X est-elle compacte ?

3)Le prototype est peut-être,le groupe modulaire dans $PSL(2,\mathbb {R} )$,c'est-à-dire $\Gamma =SL(2,\mathbb {Z} )$.Mais,c'est toujours la question : X a-t-elle une structure compacte ?

Le critère d'hyperbolicité du sous-groupe $\Gamma$: permet le groupe (1);interdit le groupe (2);le groupe (3)contient à la fois des éléments hyperboliques et elliptiques,donc il faut en prendre des sous-groupes hyperboliques (s'il en existe).En résumé,le groupe (1) a tous les critères requis: discret,co-compact,hyperbolique.Pour le groupe (3),sauf erreur,la partie constituée des éléments hyperboliques est un sous-groupe $\Gamma _{3}$ (car stable par composition et inversion),mais je ne sais pas dire si $\Gamma _{3}$ est co-compact.

--90.0.195.192 (d) 27 mai 2013 à 09:02 (CEST)