Discussion:Décomposition en éléments simples

Félicitations

- excellent article. J'ai compris en 5 minutes ce que je n'ai pas compris en 4h d'amphi...

- Je confirme : très bien expliqué, c'est très simple dit comme ça, si seulement tous les enseignants pouvaient etre aussi clair.

C'est un bon début d'article disons, mais pas vraiment complet. Oxyde

Mise en place de la fusion fraction partielle et decomposition en element simple et décomposition en éléments simples

Le premier article a l'antériorité. Le second a été créé aujourd'hui (avec des accents et des s oubliés) et parle du même sujet, le troisième était un redirect que j'avais créé pour éviter les doublons et qui vient d'être rempli par le même contenu que le second. La présence de trois articles ne se justifie pas. Je suis trop impliquée dans le premier article pour faire une fusion équitable. Quelqu'un peut-il s'en charger. Merci. HB (d) 20 janvier 2008 à 16:54 (CET)

chacun des deux autres articles est récent, possède un contributeur unique et actuellement présent ; ils ont tous les deux cassé le redirect, peut être à cause du titre "fraction partielle" qui ne leur plaisait pas. Moi-même je préfère le titre décomposition en éléments simples. Tu devrais peut-être les contacter et leur proposer de s'insérer dans Fraction partielle, quitte à renommer ensuite Peps (d) 20 janvier 2008 à 17:47 (CET)

J'ai agi rapidement pour éviter une dérive trop grande en espérant que les différents contributeurs viendraient en discuter ici. Mais tu as raison, je vais aussi les contacter sur leur page de discussion. HB (d) 20 janvier 2008 à 18:40 (CET)

bonjour, voila en réalité je suis "l'auteur" de Decomposition en element simple ainsi que de Décomposition en éléments simples. Je suis nouveau est j ai du faire une "boulette" car je ne sais pas pourquoi deux pages se sont créees. La seconde serait donc a supprimer.

Ceci nous ramene donc à la fusion de deux articles Decomposition en element simple et Fraction partielle. Personnellement, j'ai trouvé les exemples de fraction partielle pertinent et ils abordent un bon nombre de cas cependant je trouve que l'article manque de structure, d'organisation. C'est pourquoi je propose a l'auteur s'il est d'accord de garder la structure de mon article avec le côté théorique avec les théorèmes et de mettre ces exemples en illustration complément des definitions. J'ai d'ailleurs utilisé un exemple de l'article fraction partielle pour illustrer mes propos à la fin. De plus, l'article Factorisation des polynômes a le titre qui certainement correspond le plus au sujet de nos deux articles. Je pense qu'il pourrait aussi être souhaitable de le fusionner puisqu'il reprend la notion de polynômes irréductibles qui explique la factorisation dans R ou C.

euh... il me semble que factorisation des polynômes parle de tout autre chose (quand il parlera vraiment de quelquechose). Je suis pour garder le titre de décomposition en éléments simples. Pour l'instant ce serait mieux que tu travailles plutôt sur fraction partielle qui a un historique plus long. N'hésite pas à y inclure ta structure, cela s'appelle une refonte et c'est tout à fait possible. L'article decomposition en element simple sera voué à disparaitre car il manque les accents. Tu n'as fait aucune boulette (sauf l'oubli des accents), c'est Balougador qui a fait un copié collé pour mettre ton article dans décomposition en éléments simples. Je propose que le reste de la discussion se passe sur discuter:fraction partielle pour ne pas encombrer cette page. HB (d) 20 janvier 2008 à 20:32 (CET)

J'ai rajouter vos exemples a mon article. En revanche, je ne sais pas comment faire pour la fin de votre article pour la fusion (cas général et la toute fin). cette remaque non signée est de Yeaah (d · c · b).( HB (d) 21 janvier 2008 à 11:39 (CET))

Bien, donc tu as préféré continuer à travailler sur l'article decomposition en element simple. Ca va compliquer un peu le travail de fusion des historiques mais ça n'est pas si grave. Je vais donc continuer le travail sur ton article. Quelques remarques avant de commencer.

• Il me semble qu'il faudrait éviter la confusion entre fonction rationnelle (quotient de deux fonctions polynômes) qui est la notions utilisée ici et fraction rationnelle terme que l'on réserve, dans wikipedia, au quotient de deux polynômes formels)
• Je vais tenter de faire disparaitre, dans ton article, l'aspect "cours sur la décomposition en élément simples" car on m'a répété 100 fois que l'encyclopédie n'était pas là pour recueillir des cours et qu'il valait mieux aller sur wiki université si tel était notre objectif. Je te propose donc le plan suivant

1. Mise en place (où on donne la définition d'une fonction rationnelle, où l'on précise que celle-ci a été simplifiée au maximum, avec utilisation de la division euclidienne pour avoir deg P < deg Q (ce qui correspondrait à ton 1. et 2.

2. Décomposition en éléments simples dans les complexes

2.1. Principes généraux où on rappellerait ce qu'on nomme un pôle ainsi que les deux propriétés que tu cites (mais sans les mettre dans des sections spéciales)

2.2.Exemples de décompositions. Une remarque sur le fait que la difficulté est de trouver les divers coefficients, que les méthodes sont les mêmes ,que les pôles soient réels ou complexes, donc que l'on se limite pour des questions de lisibilité au cas où les coefficients sont réels et on glisse les exemples où les facteurs sont du premier degré On peut aller jusqu'à la formule utilisant l'interpolation de lagrange quand tous les pôles sont d'ordre 1

3. Décomposition en élément simple dans les réels

3.1. Principe généraux où on rappellerait que les polynômes irréductibles dans R sont du premier et second degré et où on remettrait ta proposition II

3.4. Exemples de décompositions où on rappellerait que le cas où tous les polynômes de degré 1 est déjà traité dans le cas complexe et où on traiterait les cas de décomposition avec polynôme du second degré

4. Cas général , qui correspondrait à "principe de base" de fraction partielle où on explique comment une telle méthode existe aussi dans d'autres corps

5. Considération historique où on rappellerait que ces techniques apparaissent au XVIII^e pour rechercher des primitives et ont poussé les mathématiciens de l'époque à prouver le théorème fondamental de l'algèbre.

tes avis avant que je ne me lance ? (pense à signer en page de discussion) HB (d) 21 janvier 2008 à 11:39 (CET)

bonjour, en réalité comme mon article va être supprimé et que tous les liens vont sur le votre je pensais que se serait mieux de modifier le mien pour le temps de la rédaction mais je n'y vois aucun pb à travailler sur votre article. Ce plan me parait très bien et qu'il fera bien le tour de la question. Un véritable travail de collaboration wikipedienne ! yeaah

Je ne t'oublie pas mais le travail a repris ses droits. Je compte faire la mise en forme dès que j'aurai un peu de temps. Pour l'instant j'ai quelques problème de mise en boite des formules. Concernant l'article de travail, tant que l'article "decomposition en élément simple" n'avait que quelques lignes d'historique, on aurait pu supprimer l'article et son historique à condition que tu sois crédité de ton travail dans l'historique de l'article fraction partielle., c'est pourquoi je t'avais demandé de reprendre le travail sur cet article. Maintenant l'historique de "decomposition en élément simple" est trop long pour être ignoré. Un administrateur devra donc faire une fusion d'historique, opération complexe qui consiste à faire apparaitre dans une même page les historiques des deux articles. quand on commence à contribuer, on ne se préoccupe pas toujours de l'onglet "historique" qui est en fait important car il donne la liste des auteurs et leurs contributions. Bref tout ça est très technique et très complexe. Promis, dès que mes copies seront un peu avancées je finis la refonte (attendre quelques douzaines d'heures). HB (d) 22 janvier 2008 à 20:59 (CET) (au fait pour signer avec la date, écris 4 tildes comme ceci ~~~~. A plus.

j'ai opéré les modifications annoncées dans decomposition en element simple, si tu valides celles-ci, on devrait pourvoir demander une fusion des historiques et ne plus travailler que sur un seul article. Je ne suis cependant pas très satisfaite de mon travail et l'article doit encore être travaillé (voir remarque plus bas). HB (d) 23 janvier 2008 à 17:34 (CET)

Fusion sur le contenu réalisé. Jerome peux-tu faire une fusion d'historique entre fraction partielle et decomposition en element simple et mettre le contenu dans décomposition en éléments simples avec redirect de fraction partielle vers décomposition en éléments simples et suppression de l'article decomposition en element simple .? En espérant que mes explications sont compréhensibles, merci. HB (d) 28 janvier 2008 à 13:19 (CET)

Si je n'ai pas commis d'erreur, c'est qu'elles étaient claires Jerome66|me parler 28 janvier 2008 à 17:19 (CET)

Merci. HB (d) 28 janvier 2008 à 19:45 (CET)

Quelques réticences

• L'article inital annoncait un travail sur des fonctions rationnelles, ce qui est logique si l'objectif est de calculer des primitives. Mes souvenirs sont un peu lointains mais leJ'intègre de Deschamps et Warusfel semble se placer dans le corps des fractions rationnelles c'est-à-dire avec des polynômes formels. J'aurais besoin que des personnes enseignant dans le supérieur donnent leur avis sur le domaine d'étude : fonction rationnelle  ? ou fraction rationnelle ?

• D'autre part, la recette consistant à multiplier une fonction rationnelle par (x - z) où z est un pôle et à remplacer ensuite x par z me pose un petit problème de rigueur, puisque la fonction rationnelle ne serait pas définie en z. La recette est efficace, elle n'est pas fausse car il suffit d'opérer des prolongements pas continuité mais faut-il évoquer le problème ?

• Sous sa forme actuelle decomposition en element simple, l'article me semble très lourd et je n'arrive pas à rendre plus esthétique la présentation.

• Il serait bon de compléter par les utilisations de la décomposition. Je peux expliquer en quelques mots son utilité pour le calcul de primitive mais pas pour l'inverse des transformées de Laplace

Bref, pour tout ceci, j'aimerais biend de l'aide . merci. HB (d) 23 janvier 2008 à 17:34 (CET)

Je ne connais pas J'intègre mais à mon avis la décomposition en éléments simples est une procédure s'appliquant aux fractions rationnelles et utilisée pour les fonctions rationnelles. Le formalisme algébrique est dans ce cas préférable pour la définition, même si l'approche analytique est utile en pratique pour déterminer les coefficients avec un prolongement par continuité. Oui, l'article est pour l'instant un peu lourd car très technique. Je peux réfléchir à un plan si tu veux. Ambigraphe, le 26 février 2008 à 11:30 (CET)

(Conflit de modification, mais pas conflit de réponse ! Voici la mienne qui va dans le même sens) : Désolée, je ne suis pas bien les articles de maths en ce moment (je m'occupe de Kit Carson et de la conquête de l'Ouest, chut !). Juste un mot : fraction rationnelle vit dans le quotient de l'anneau des polynômes sur un corps, fonction rationnelle vit dans un corps de fonctions par exemple sur une variété algébrique (du coup, il peut y avoir des identifications, par exemple si la variété est définie comme l'ensemble des zéros d'un polynôme). Ici, on peut voir cela comme formel, cela t'éviterait le problème de continuité etc. que tu évoques. A suivre ! , --Cgolds (d) 26 février 2008 à 11:42 (CET)

merci pour vos réponses si rapides (sans ironie - ref rem sur le thé). Cela veut dire une correction de l'article. Si, Ambigraphe, tu as l'idée d'un plan plus astucieux j ne serais pas contre. De tout façon, l'article est pour l'instant laissé en murissement, je sais que les exemples sont à relire (au moins une erreur décelée). HB (d) 26 février 2008 à 14:26 (CET)

Je vote pour le point de vue formel. Les calculs que l'on fait lors d'une décomposition en éléments simples dépendent uniquement de la connaissance de la factorisation du dénominateur et de la possibilité de faire des divisions euclidiennes. Ce sont des procédés purement algébriques. On les applique aux fonctions rationnelles pour trouver explicitement leurs primitives, et là seulement, il faut se poser des questions de domaine de définition. --Sylvie Martin (d) 26 février 2008 à 20:09 (CET)

Proposition de plan

En intro, je verrais bien simplement :

La décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle est une réécriture de son expression sous forme d'une somme algébrique d'un polynôme et de certaines fractions. Ces éléments simples ou fractions partielles ont pour dénominateur une puissance d'un polynôme irréductible (unitaire) et pour numérateur un polynôme de degré strictement inférieur.

De même que l'irréductibilité d'un polynôme, la décomposition en éléments simples dépend du corps de scalaires dans lequel se fait la décomposition.

Cette décomposition est utile entre autres pour étudier les fonctions rationnelles, pour en exprimer des primitives en calcul intégral ou pour calculer leur transformée de Laplace.

Ensuite, je mettrais bien une partie Expression qui donnerait un exemple simple de réécriture de fonction rationnelle (genre celle de $x\mapsto {\frac {3x^{2}-2x+1}{x-2}}$), question de donner une idée du problème à qui ne connaît pas le formalisme algébrique. Il est possible immédiatement de faire le parallèle avec la décomposition en partie entière et partie fractionnaire. On peut ensuite préciser que pour regrouper le tout en une seule fraction, c'est facile, mais que décomposer nécessite a priori de deviner la forme finale, puis de résoudre un système linéaire ou de faire une division euclidienne. Dans la même partie, il faudra alors énoncer le théorème d'existence explicite avec toutes les précautions utiles. Le reste à suivre. Ambigraphe, le 26 février 2008 à 16:58 (CET)

Oui, j'approuve sans réserve : une intro plus légère, un exemple simple avant le développement que je trouvais très style cours. Une seule objection : je ne mettrais pas le th d'existence dans la partie expression ou alors sous une forme légère , parlée et réserverait la forme « avec toutes les précautions utiles. » dans la partie théorique mais j'ai hâte de voir la suite des propositions (je pense par exemple que l'on peut alléger le nombre d'exemples) . HB (d) 26 février 2008 à 17:59 (CET)

OK. Pour le théorème d'existence, on peut l'alléger en donnant une définition plus explicite d'un élément simple d'abord, puis simplement dire qu'il existe une décomposition unique à ordre près des termes. Après le théorème, on peut rapidement détailler ce que ça donne sur les complexes et sur les réels, puis en deux phrases expliquer que sur les rationnels c'est un peu plus compliqué, bref, délayer un petit peu l'actuel deuxième alinéa de l'intro. En profite-t-on pour démontrer le théorème en explicitant le lemme utile ?

En deuxième partie, il faut présenter les algorithmes de calcul en soulignant que la factorisation du dénominateur est supposée connue ! Cas complexe d'abord, puis cas réel et rationnel. Je ne sais pas s'il y a des points délicats sur les corps finis, en dehors du fait qu'on peut très bien décomposer une fonction rationnelle nulle associée à une fraction rationnelle non nulle.

En troisième partie, on doit trouver des applications. J'aurais tendance à mettre les exemples de calcul techniques en boîte déroulante, mais c'est discutable. Il est possible que l'historique s'insère bien dans cette partie, mais je laisse les pros de l'histoire des maths donner leur avis là-dessus. Ambigraphe, le 26 février 2008 à 18:28 (CET)

Juste un point : est-ce que cela ne vous semble pas utile de dire à un moment que cela revient plus ou moins à chercher la décomposition dans une base de K(X) comme K ev (celle avec les puissances de X et les puissances de X divisées par les puissances des polynômes irréductibles) ? Quant à l'historique, hum, pas d'idée spontanée (cela risque plutôt de compliquer les choses), mais je peux fouiner un peu. --Cgolds (d) 26 février 2008 à 21:03 (CET)

Si. Ambigraphe, le 26 février 2008 à 22:02 (CET)

le T des decompositions en elements simples.

Bonjour,

Je voudrais juste savoir ce que représente le T (le 1er terme)dans les décompositons en elements simples proposées pour les fractions rationnelles complexes et reelles. Une constante ou pas forcement?

Merci.

RadarX. (3/2/09, IP 86.68.249.152)

Bonjour, ce T (pas forcément constant) est expliqué au début. J'ai modifié le premier exemple pour qu'il y soit non nul. Anne (discuter) 24 août 2013 à 19:03 (CEST)

compréhension

dans le cours de décomposition dans le cas des fractions rationnelles (partie entière,pole simple) 1/X2-1= 1/2/X-1 -1/2/X+1 — Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 154.68.5.150 (discuter), le 13/9/2017 à 23:42‎.

Bonjour, voir aussi v:Fractions rationnelles/Décomposition en éléments simples dans C#Pôles de degré un. Anne, 14/9/2017 à 7 h 50