Discussion:Corps de rupture

Remise en cause de la définition

Remise en cause

Bon la je gueule, c'est n'importe quoi. Corps de rupture c'est un truc qui rompt le polynôme, et donc c'est n'importe quoi qui contient au moins une racine. Arretez avec LE corps de rupture (c'est aussi *** que LE supplémentaire d'un espace vectoriel). Et même en admettant que ce soit les plus petits (définition que j'ai toujours vu employer dans la tête des auteurs, mais jamais écrites), ils ne sont rarement unique (exmple x^3=2 danq Q, ya trois corps de rupture minimaux) et il ne faut jamais écrire LE. Sérieux c'est important.

Et j'ai enlevé le coup d'extension algébrique, je ne l'ai jamais lu dans la littérature (mais peut-être que...).

Bonjour, c'est pourtant la terminologie standard: un corps de rupture est une extension qui contient une racine et qui est minimale pour cette propriété. De même un corps de décomposition est une extension qui scinde le polynôme et qui est minimale pour cette propriété. Comme vous le faites remarquer à juste titre, il n'y a pas unicité (pour un polynôme irréductible de degré au moins 2, il y a toujours une infinité de corps de rupture). On a seulement l'unicité à K-isomorphisme près pour le corps de rupture lorsque le polynôme est irréductible et unicité à K-isomorphisme près du corps de décomposition. Je vois cette définition partout, sauf sur mathematiques.net. Je propose qu'on garde cette définition (avec minimalité). Liu (d) 14 avril 2008 à 23:07 (CEST)

Réponse

La remarque est en soit bonne. Je partage l'opinion qu'une extension contenant une racine est un corps de rupture.

En revanche, d'autres conventions sont utilisées, l'expression : LE corps de rupture est fréquente. Expliquer au lecteur qu'un contributeur anonyme est plus compétent que les professeurs de l' Université Denis Diderot pourrait paraître inutilement polémique. S'il existe plusieurs définitions, l'objectif n'est pas d'expliquer que la sienne est la bonne, mais de les donner toutes et d'expliquer les forces et faiblesses de chacune.

Le style aussi prête à polémique. Dire qu'un tel se trompe sans une référence solide est toujours un peu douteux. Expliquer que l'erreur procède d'un mécanisme inconscient paraît gratuit si une source solide n'est pas là pour décrire l' inconscient des mathématiciens. Enfin, les phrases du genre vous verrez sont à bannir.

Dans les règles de WP on lit ceci : Wikipédia se doit de proposer des articles aussi impartiaux que possible. Le but n'est pas d'écrire des articles proposant le point de vue le plus couramment répandu (« moyen »), mais plutôt de présenter tous les points de vue sur un thème donné, sans parti pris, sans positionnement et avec honnêteté : c'est ce que nous appelons la neutralité de point de vue. Les recommandations sur le style indiquent : Vous avez le droit d’avoir une opinion sur tout, mais aussi le devoir de la laisser hors des articles. ou encore Un jugement peut toujours être exposé, mais à condition d’être attribué et pertinent. et enfin Soyez factuel et évitez les considérations gratuites. Jean-Luc W (d) 20 février 2008 à 13:28 (CET)

Précisions

Bonjour,

À mon avis, on ne peut guère faire plus que donner les définitions possibles, assorties de références précises. Le reste est subjectif... Voici donc une tentative de récapitulatif des diverses définitions possibles de la notion de corps de rupture.

Il semble que la plus répandue soit celle-ci : si P est un polynôme irréductible non constant à coefficients dans K, un corps de rupture de P sur K est un corps L contenant K et engendré par une racine de P. Autrement dit, un corps de rupture est une extension minimale de K contenant une racine de P. Noter que cette définition ne s'applique qu'aux polynômes irréductibles. C'est la définition donnée dans le "Cours d'algèbre" de Perrin, dans le cours "Algèbre" de Tauvel ainsi que le cours de mathématiques spéciales de Ramis, Deschamps et Odoux.

Une autre définition possible est d'enlever la condition de minimalité, donc : un corps de rupture de P sur K est une extension de K contenant une racine de P. Cette définition s'applique à tout polynôme, mais il n'y a pas unicité. A ma connaissance, le seul endroit où cette définition apparaît est le site mathematiques.net (ce n'est pas la définition du cours de D. Harari, contrairement à ce qui est indiqué dans la note en bas de la page).

Dans le dictionnaire de mathématiques de François Le Lionnais, corps de rupture est synonyme de corps de décomposition, c'est donc une définition encore différente.

Enfin, Bourbaki ou le livre "Algebra" de Lang ne définissent pas la notion de corps de rupture, mais seulement celle de corps de décomposition.

D'autres éléments de comparaison sont les bienvenus (pour l'instant, la plupart des références données sont électroniques). Ainsi le débat restera objectif!

Refonte

Au vu des ces discussion et de celle figurant dans Discussion:extension algébrique, il me parait nécessaire de préciser les différentes acceptions de ce terme en les sourçant (c'est ce que je viens de faire) mais il me semble aussi qu'il faille en choisir une : la plus fréquente semble être la définition avec degré minimal. Il serait donc opportun de prendre dans le corps de l'article cette définition. On pourrait aussi décider de travailler avec les différentes définitions en précisant dans chaque rubrique quel sens il faut donner au terme "Corps de rupture", mais cela me semble conduire à un article trop confus.

Si l'on doit choisir (comme je le suggère en intro) la définition extension de degré minimal, il faudra opérer de grandes transformations sur l'article. J'attends une éventuelle objection avant de m'y mettre. HB (d) 21 octobre 2009 à 20:19 (CEST)

Je suis pour (pas d'objection même éventuelle désolé ...). Je suppose que ça signifie aussi faire disparaître le sens "extension contenant une racine du polynôme" (sourcée seulement par un site web). L'alternative est ou extension simple définie par une racine du polynôme quand celui-ci est irréductible uniquement, ou extension du corps de décomposition du polynôme, (qui peut être quelconque si j'ai bien compris). Je serais pour privilégier la définition la plus courante dès le début de l'intro, voire mettre la seconde dans une section "autre définition" (plus clair). On peut aussi signaler que plusieurs manuels ne prennent pas la peine de nommer la notion (la première mais aussi la seconde il me semble), Lang (cf. ci-dessus), on peut ajouter Jacobson ..., vu qu'il y a des périphrases assez courtes. Bonne idée de reprendre en tout cas, parce qu'actuellement c'est franchement confus. Proz (d) 22 octobre 2009 à 00:45 (CEST)

Refonte effectuée. J'ai essayé de tenir compte de tes remarques et de ne pas tout détruire de l'édifice créé par Jean-Luc. Les démonstrations sur l'isomorphisme sont de Liu. Il reste que je ne vois pas l'utilité d'écrire dans motivation qu'un polynôme à coefficients dans K peut être vu comme un polynôme à coefficients dans L où L est une extension de K. A moins que quelque chose ne m'échappe, cela me semble évident et la section gagnerait à être débarrassée de cette considération. Cette refonte est à relire et à corriger (style, fond) éventuellement....HB (d) 23 octobre 2009 à 18:06 (CEST)

Je trouve les modifications très bien. Je me suis permis de changer un peu la preuve de l'unicité du corps de rupture ainsi que le laïus sur les polynômes séparables. Liu (d)

merci, c'est effectivement plus clair ainsi. HB (d) 25 octobre 2009 à 15:16 (CET)

Même avis, c'est bien plus clair. Pour répondre à la question (HB) je crois que tu as raison, et que même toute cette partie (qui commence à "Soit (L, j) une extension de corps ...") est à éliminer : derrière c'est le fait que K extension de k est défini "comme il existe un morphisme injectif de k dans K" et pas simplement comme K surcorps de k, mais on fait comme si. C'est le genre de chose qui se fait un peu implicitement, et l'explicitation formelle n'apporte pas grand chose. Et puis extension ça me semble assez souvent pris au sens de surcorps.

Plus généralement, comme c'est un article technique, je suppose que le lecteur qui arrive ici est déjà motivé, et cherche une définition rapidement accessible, avec quelques exemples pour comprendre éventuellement. Je proposerais volontiers de supprimer la section motivation, et d'incorporer les exemples après la définition (en précisant du coup, 3 corps de rupture dstincts isomorphes, ce ne sont pas des corps de décomposition, ...). La remarque sur l'idéal maximal, peut être ajouté "en situation" dans la démonstration que tout élément est inversible.

Un détail : pour la définition, pourquoi ne pas dire d'abord que c'est une extension minimale dans laquelle P a une racine, c'est-à-dire une extension simple définie par une racine de P (ça revient au même bien-sûr, mais c'est plus direct, il n'est pas nécessaire de parler prélablement de degré, j'ai vérifié que c'est en gros ce qui est fait dans Harari par ex.) ? Ensuite on remarque que c'est aussi un extension de degré minimum ... Proz (d) 24 octobre 2009 à 19:04 (CEST)

N'hésite pas à faire les modifications que tu suggères, tu seras plus à même de les réaliser. HB (d) 25 octobre 2009 à 15:16 (CET)

ok, pour l'équivalence ça m'a obligé (je n'y avais pas pensé au départ) à dire que tous les corps de rupture avaient même degré. N'hésite pas à relire (j'ai aussi déplacé "autres définitions" pour la continuité de lecture), élagué une remarque sur les fonctions polynômiales qui ne me semble plus nécessaire dans ce genre d'article etc. ... Proz (d) 26 octobre 2009 à 03:22 (CET)

argh, quand deux contributeurs travaillent sur un même article avec une partition différente cela donne une cacophonie : tu as voulu faire coïncider la définition extension minimale et celle que j'avais donnée extension de degré minimal, ce qui t'a obligé à mettre en place dès le départ les grandes lignes de ce qui est démontré plus complètement dans existence et unicité. bref l'article a perdu toute cohérence. A mon avis cela ne peut pas rester en l'état. On peut bien évidemment partir de l'extension minimale. Il semble que pour arriver à dire que cela correspond à toute extension simple à partir d'une racine de P il fait mettre en place des démonstrations analogues à celle mise en place dans existence et unicité. Je propose donc le plan suivant : Première section : définition, seulement celle d'extension minimale. ensuite les exemples avec la définition du degré. Seconde section : propriété existence et unicité avec la conséquence : les extensions minimales sont donc les extensions simples K[alpha] où alpha est une racine de P . Enfin l'autre propriété. Qu'en penses-tu ? HB (d) 26 octobre 2009 à 13:15 (CET)

ok, je me suis rendu compte au milieu du gué que ça ne collait pas trop, mais difficile de laisser tomber sans tout annuler, peut-être aurais-je dû m'abstenir, désolé. Bon c'est toi l'initiatrice, ta version était claire et la question de quelle définition prendre en premier est un détail, donc je te laisse décider. Je ne suis pas sûr de comprendre ton plan : pour moi l'extension minimale de K contenant une racine a de P est par définition K(a) extension simple de K définie par a (et algébrique puisque a racine de P). Les exemples pourraient se présenter directement avec cette définition (qui ne suppose pas l'existence démontrée), et on peut juste remarquer que les degrés des corps de rupture d'un même polynôme sont identiques. Ou bien veux-tu revenir à la définition par le degré (qui me semble moins naturelle, et c'est quand même l'autre que je trouve après un panorama très rapide) ? Ou bien parles-tu, dans la dernière partie, de la preuve que K(a)=K[a] (nécessaire pour calculer le degré, que j'ai un peu doublée, alors que tu l'as quasiment dans ta boîte déroulante) ? Cette preuve semble effectivement nécessaire si on veut savoir que "de degré minimum" équivaut à "extension minimale". Il peut y avoir une proposition sur les définitions équivalentes après l'existence et l'unicité. Bon, je te laisse décider (et je ne toucherai plus au plan, promis). Je te signale polynôme minimal d'un nombre algébrique sur lequel j'ai mis un lien, car ça tourne autour des mêmes pots (avec une démonstration de K(a)=K[a] si a algébrique, mais on ne peut éviter parfois que certaines démonstrations simples soient répétées, sinon ça finit en jeu de piste). Proz (d) 26 octobre 2009 à 18:18 (CET)

oui, tout dépend de ce que l'on entend par minimale : un corps de rupture est une extension de K contenant une racine de P et minimale pour cette propriété. C'est vague. Je l'interprète comme c'est une extension L de K contenant un racine de P et telle qu'il n'existe pas une autre extension de K incluse dans L contenant une racine de P. Or K(a) peut très bien contenir K(b) où a et b sont deux racines de P. Ce n'est pas le cas ici car P est un polynome irréductible. Mais faire dépendre la définition d'une démonstration préalable, cela me parait dommage. D'où mon idée d'être le plus généraliste possible et je prends volontiers ta définition "extension de K minimale contenant une racine de P". Le fait que ce soit K(a) arrivant au moment de l'existence et l'unicité mais j'aimerais l'avis de Liu qui me semble avoir une vision plus claire que la mienne. HB (d) 26 octobre 2009 à 19:50 (CET)

je n'ai pas fait attention à ça, tu as raison, il faut donc prendre la définition la plus simple, le plus petit corps contenant K et une racine donnée de P (et probablement est-ce bien celle là que l'on trouve), celle que j'ai donnée n'est pas immédiatement opératoire, et a peu d'intérêt du coup. Proz (d) 26 octobre 2009 à 20:37 (CET)

La version rétablie pose le problème signalé ci-dessus par HB. Ca me gêne quand même d'être responsable d'une incohérence. Je propose une mouture un peu différente, ça me semble plus facile de partir des extensions simples, puisque c'est en gros une propriété de celles-ci qu'il faut pour avoir la définition comme extension minimale. Proz (d) 29 octobre 2009 à 02:19 (CET)

minimal, minimum

Je trouve un peu dommage de dire seulement « minimal », et pas « minimum à iso près » (i.e. qui se plonge dans les autres), qui entraîne automatiquement l'unicité à iso près. Anne Bauval (d) 2 janvier 2012 à 20:29 (CET)

Ca peut s'ajouter par exemple dans la propriété en reformulant l'unicité, même démo ? Proz (d) 2 janvier 2012 à 20:45 (CET)

Démonstrations

L'article a été sans aucun doute amélioré, mais je regrette juste l'ancienne démonstration de K[X]/(P) est un corps pour P irréductible. Elle ne me semblait pas très longue et immédiatement accessible (c'est le baba de la théorie des corps, ça peut intéresser des débutants qui n'ont pas de grandes connaissances en algèbre, et qui n'iront pas forcément plus loin, cf. corps finis et applications à l'info). On peut la garder et doubler par la preuve plus abstraite (idéal maximal). En tout état de cause le lien sur anneau de Bézout me semble vraiment inutile, primalité dans un anneau je ne sais pas, il y a aussi Idéal premier#Anneau principal.

Je suggère par ailleurs de ne pas mettre ces démonstrations en boîte déroulante (elles sont informatives, et l'article ne sera jamais long). Proz (d) 3 janvier 2012 à 20:32 (CET)

Peut-être un malentendu (cf. messages en boîte de résumé) : c'est de mentionner la structure "anneau de Bezout" qui me semble superflu pas la propriété elle-même. Proz (d) 11 janvier 2012 à 01:02 (CET)

Pas de malentendu, mais un changement de cap en découvrant la démonstration doublon dans l'article plus élémentaire Arithmétique des polynômes#Arithmétique modulaire. Comme tu disais : c'est le baba, donc ça a plus sa place là-bas (article certes à relire, mais plus progressif, où on prend par la main « les débutants qui n'ont pas de grandes connaissances en algèbre ») et éviter de le répéter ici simplifie la maintenance. Ton bout de preuve supprimé ici était identique à celui de là-bas, mais mieux rédigé et mis en forme : il pourrait avantageusement remplacer la preuve de là-bas. Anne Bauval (d) 11 janvier 2012 à 02:32 (CET)

(pas vérifié, mais je ne crois pas que ce soit "mon" bout de preuve), il y a plusieurs problèmes avec l'article Arithmétique des polynômes, qui est peu relu (très peu d'éditions), modèle "article détaillé" mal utilisé, "arithmétique modulaire" n'est pas utilisé pour des congruences sur les polynômes (sauf sur wikipedia fr, problème qu'il faudra régler un de ces jours) ... Je vois à peu près comment reprendre cet article (cf. ci dessous), avec lecture à plusieurs niveaux, pas trop "arithmétique des polynômes". On peut estimer que les connaissances minimales (celles à ne pas traiter ici) sont : algèbre linéaire de base (ev de dimension finie, ...), les structures d'anneau commutatif, de corps (essentiellement les définitions), l'anneau des polynômes sur un corps avec division euclidienne et Bezout, la notion d'idéal (même si, à la rigueur, pas indispensable). Ca me semble correspondre aux connaissances d'un public qui peut être intéressé par cet article, c'est ce que j'entendais par "débutants qui n'ont pas de grandes connaissances en algèbre". Ce n'est pas tant "prendre par la main" que ne pas introduire (ou proposer des voix d'accès où on n'introduit pas) des notions abstraites qui ne seront pas forcément réinvesties (je réagissais à "Anneau de Bezout", je crois qu'on est d'accord là dessus). Il ne s'agit pas non plus de faire de l'algèbre comme au XIXè siècle. J'explicite ces raisons, mais ne propose rien d'original. Proz (d) 11 janvier 2012 à 03:30 (CET)

OK pour moi, trop épuisée et à la bourre ces temps-ci pour y réfléchir plus, et te fais confiance. Dans ce cas (pour éviter doublons nuisant à la maintenance et atténuer les défauts que tu soulignes dans Arithmétique des polynômes), je trouverais bien remplacer l'essentiel du paragraphe de là-bas par lien(s) vers ici/ailleurs (peut-être 2 : 1 pour la dim du quotient sans hyp d'irréd, et 1 pour corps si irréd) Anne Bauval (d) 11 janvier 2012 à 11:23 (CET)

Un brouillon de ce que projette ici, je n'ai pas suivi ta parenthèse, mais merci pour le lien Espace vectoriel quotient que je n'avais pas repéré. Pas mal à la bourre aussi par ailleurs (bien que n'ayant pas ton activité étonnante ici), donc ça n'ira pas forcément vite, mais d'accord je crois pour Arithmétique des polynômes. Proz (d) 11 janvier 2012 à 20:43 (CET)

Organisation

Il me semble que cet article présente une notion basique en théorie des corps, et que les démonstrations devraient y être présentes, d'autant qu'elles fournissent des procédés de construction (pour (K[X]/(P))). Je proposerai une réécriture, en partant de la définition et de la propriété ajoutée par Anne Bauval (sous-extension de ...) que l'on peut expliciter, et en commençant dnas un surcorps. La seule objection que je vois, c'est que la notion est souvent traitée sans que la terminologie "corps de rupture" soit utilisée (c'est déjà dit dans l'article, mais je propose de le préciser dès l'intro). L'article arithmétique des polynômes peut-il jouer ce rôle d'article de "base" (celui où on présente K(X)/(P)) ? Actuellement il semble rédigé rapidement, pas trop dans cette optique, peu relu, ... et et ce n'est pas évidemment le sujet. Proz (d) 11 janvier 2012 à 01:02 (CET)

Erreur de détail ?

"où j et j² sont les deux racines cubiques de l'unité distinctes de 1 (j = -1/2+i3√2)"

C'est pas plutôt j = -1/2 + √3/2 ? cos(120) = -1/2, sin(120) = √3/2. Cordialement, --MathsPoetry (d) 7 mai 2013 à 16:52 (CEST)

Vu ta correction. Dommage d'avoir enlevé la formule (pour les lecteurs les plus faibles). --MathsPoetry (d) 7 mai 2013 à 22:37 (CEST)

Pas vraiment enlevé : remplacée par le lien qui va bien, pour pas alourdir le texte (les lecteurs « les plus faibles » sont renvoyés là-bas et les autres ne sont pas disturbés). Anne (d) 7 mai 2013 à 23:53 (CEST)

Faute de frappe

Dans le chapitre construction, il faut remplacer sans supposer l'existence d'une extension de P, par sans supposer l'existence d'une extension de K, — Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 109.25.125.23 (discuter), le 18 juillet 2013 à 00:14‎.

Merci. À nouveau : la prochaine fois, WP:NHP. Anne (d) 18 juillet 2013 à 00:51 (CEST)

Dans un sur-corps : quand "a" est racine de P irréductible

Dans le paragraphe "dans un sur-corps", on peut lire "QUAND "a" est racine de P irréductible". Personnellement, je trouve ça un peu bizarre de faire des mystères : K(a) étant une extension algébrique, pourquoi ne pas dire d'emblée que "a" annule le polynôme annulateur minimal qui est le seul polynôme irréductible (dans K) unitaire annulé par "a" ? et donc que toute extension simple peut être vue comme un corps de rupture... (ce qui me paraît important comme remarque -> à ajouter?)

--Fabrej0 (discuter) 13 novembre 2017 à 23:46 (CET)