Théorème de Riesz-Fischer

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En mathématiques, plus précisément en théorie de l'intégration, le théorème de Riesz-Fischer dit :

Ces deux énoncés (avec p = 2 dans le second) ont été démontrés en 1907 par le Hongrois Frigyes Riesz[1] et l'Autrichien Ernst Sigismund Fischer[2],[3] : Riesz a démontré le premier énoncé et Fischer le second, à partir duquel il a redémontré le premier.

Convergence de la série de Fourier[modifier | modifier le code]

Le premier énoncé signifie que si la somme partielle de la série de Fourier correspondant à la fonction f est donnée par

S_N f(x) = \sum_{n=-N}^NF_n \,e^{\mathrm inx},

Fn est le n-ième coefficient de Fourier, donné par

F_n =\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\,e^{-\mathrm inx}~\mathrm dx,

alors

\lim_{n \to \infty} \left \Vert S_n f - f \right \| = 0,

\left \Vert \cdot \right \| est la norme L2 qui peut s'écrire pour une fonction g

\left \Vert g \right \| =\sqrt {\int_{ -\pi}^\pi| g |^2 }.

Inversement, si (an) est une suite de nombres complexes indexée par l'ensemble des entiers relatifs telle que

\sum_{n=-\infty}^\infty \left | a_n \right \vert^2 < \infty,

alors il existe une fonction f de carré intégrable telle que les an sont les coefficients de Fourier de f.

Ce théorème généralise l'inégalité de Bessel et peut être utilisé pour démontrer le théorème de Parseval pour les séries de Fourier.

Complétude de l'espace Lp[modifier | modifier le code]

Pour tout p > 0, l'espace métrique Lp est complet. Dans le cas usuel 1 ≤ p ≤ ∞, c'est par ailleurs un espace vectoriel normé, donc un espace de Banach ; en particulier si p = 2, c'est un espace de Hilbert.

On démontre au passage que pour p ≥ 1, toute suite de Cauchy dans Lp — autrement dit, a posteriori : toute suite convergente dans Lp — possède une sous-suite qui converge presque partout.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. F. Riesz, « Sur les systèmes orthogonaux de fonctions », CRAS, vol. 144,‎ 1907, p. 615–619
  2. E. Fischer, « Sur la convergence en moyenne », CRAS, vol. 144,‎ 1907, p. 1022–1024
  3. E. Fischer, « Applications d'un théorème sur la convergence en moyenne », CRAS, vol. 144,‎ 1907, p. 1148-1151