Fonction élémentaire

En mathématiques, une fonction élémentaire est une fonction d'une variable construite à partir d'un nombre fini d'exponentielles, logarithmes, constantes, et racines n-ièmes par composition et combinaisons utilisant les quatre opérations élémentaires (+ – × ÷). En permettant à ces fonctions (et les constantes) d'être complexes, les fonctions trigonométriques et leur inverses sont élémentaires.

Les fonctions élémentaires ont été d'abord introduites par Joseph Liouville dans une série de publications de 1833 à 1841. Un traitement algébrique de ces fonctions a été démarré par Joseph Ritt dans les années 1930.

Exemples

Certains exemples de fonctions élémentaires sont :

• addition, ex. : x + 3 ;
• multiplication, ex. : 8x ;
• $\left(x+\sin ^{2}x\right)^{2}\left({\dfrac {\sin(x^{2})+x}{\sin(x^{3})}}\right)~;$
• $-{\rm {i}}\ln(x+{\rm {i}}{\sqrt {1-x^{2}}}).$

Deux exemples de fonctions non élémentaires sont la fonction d'erreur de Gauss

$\operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t$

et la fonction sinus intégral

$\operatorname {Si} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}\mathrm {d} t.$

Ce fait résulte du théorème de Liouville ; l'algorithme de Risch permet en général de déterminer si une fonction élémentaire donnée possède ou non une primitive élémentaire.

Références

• Joseph Liouville, « Premier mémoire sur la détermination des intégrales dont la valeur est algébrique », Journal de l'École Polytechnique, vol. tome XIV,‎ 1833a, p. 124-148 (lire en ligne).
• Joseph Liouville, « Second mémoire sur la détermination des intégrales dont la valeur est algébrique », Journal de l'École Polytechnique, vol. tome XIV,‎ 1833b, p. 149-193 (lire en ligne).
• Joseph Liouville, « Note sur la détermination des intégrales dont la valeur est algébrique », Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 10,‎ 1833c, p. 347-359 (lire en ligne).
• Joseph Ritt, Differential Algebra, AMS, 1950 (lire en ligne).
• Maxwell Rosenlicht, « Integration in finite terms », American Mathematical Monthly, vol. 79, n^o 9,‎ 1972, p. 963–972 (DOI 10.2307/2318066, JSTOR 2318066).

Crédits

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Elementary function » (voir la liste des auteurs).