Glossaire de la géométrie riemannienne
La géométrie riemannienne est un domaine des mathématiques étudiant les propriétés des variétés riemanniennes. Cette page rappelle brièvement les définitions des termes récurrents rencontrés.
A
- Application conforme : Entre deux variétés riemanniennes, application qui préserve les angles ; de manière équivalente application qui transporte une métrique en une métrique conforme ;
- Application exponentielle : Application différentiable définie naturellement pour toute variété riemannienne complète. Si est un vecteur tangent à la variété en m, la géodésique d'origine m et de vitesse initiale est donnée par .
C
- Centre de masse
- Cercle osculateur
- Champ de Jacobi
- Champ de Killing
- Classe de Chern
- Convexité
- Courbure bisectionnelle
- Courbure de Gauss
- Courbure négative
- Courbure de Ricci
- Courbure sectionnelle
- Croissance d'un groupe
- Cut-locus d'un point m d'une variété riemannienne : Ensemble (négligeable) de points n pour lesquels il n'y a pas unicité de la géodésique minimisante ;
E
- Espace homogène : Variété sur laquelle agit transitivement un groupe de Lie.
- Espace symétrique : Variété riemannienne pour laquelle la symétrie géodésique par rapport à n'importe quel point
est une isométrie globale.
F
- Feuilletage riemannien : Feuilletage muni d'une métrique riemannienne transverse;
- Fibré normal : pour une sous-variété N d'une variété riemannienne M, fibré vectoriel sur N dont la fibre en x est l'orthogonal à TxN ;
- Fibré riemannien : Fibré vectoriel muni d'une métrique riemannienne ;
- Flot géodésique : Flot différentiable sur l'espace tangent ou cotangent d'une variété riemannienne, ou sur le fibré en sphères correspondant, défini par la dynamique des géodésiques ;
- Fonction de Busemann : Fonction continue définie sur un espace (variété riemannienne ou espace métrique) à courbure négative bornée intervenant dans la compactification ; les fonctions de Buseman forment la sphère à l'infini ;
- Forme harmonique : Forme différentielle dont le laplacien est nul ;
- Forme de Kähler :
- Formule des traces de Selberg :
G
- Géodésique : Courbe minimisant localement la distance sur une variété riemannienne ;
- Géodésique fermée : Géodésique périodique ;
- Géométrie euclidienne : géométrie d'un espace euclidien ;
- Géométrie riemannienne : Géométrie d'une variété riemannienne ;
- Groupe hyperbolique
H
I
- Identités de Bianchi : Identité remarquable portant sur la courbure de la connexion de Levi-Civita ;
- Inégalité de Bishop-Gromov : Estimation sur le volume des boules d'une variété riemannienne suivant des estimations sur la courbure de Ricci ;
- Inégalité isopérimétrique : Toute inégalité donnant une majoration du volume riemannien enfermé par une hypsersurface en fonction du volume de cette dernière ;
- Involution : Isométrie sur une variété riemannienne fixant un point et dont la différentielle en ce point est -Id ;[réf. nécessaire]
- Isométrie : Entre deux variétés riemanniennes, application différentiable et bijective envoyant métrique riemannienne sur métrique riemannienne ; ou de manière équivalente, application bijective préservant les distances associées;
L
- Laplacien : Opérateur différentiel défini sur toute variété riemannienne ;
M
- Métrique de Carnot-Carathéodory
- métrique riemannienne : Collection de formes bilinéaires symétriques définies positives définies sur les espaces tangents d'une variété, avec une certaine régularité dépendant du contexte ;
- Mouvement brownien ou processus de Wiener, est une description mathématique du mouvement aléatoire d'une « grosse » particule ;
- Métrique d'Einstein : métrique riemannienne pour laquelle la courbure de Ricci est proportionnelle à la métrique.
N
- Nombre de Betti : Dimensions des espaces de cohomologie de De Rham ;
P
- Plongement riemannien : Plongement préservant la métrique riemannienne.
- Problème de Dirichlet
Q
- Quasi-isométrie : Applications (pas nécessairement continue) entre variétés riemanniennes ou entre espaces métriques qui ne dilatent pas excessivement les distances.
R
- Rayon de convexité
- Rayon d'injectivité : plus grand rayon tel que l'application exponentielle restreinte aux boules tangentes correspondantes
soit un difféomorphisme sur son image ;
- Revêtement riemannien : Revêtement d'une variété riemannienne muni de la métrique tirée en arrière ;
- Rigidité de Mostow : sous sa version la plus simple, le théorème de rigidité de Mostow assure qu'à partir de la dimension
3, deux variétés riemanniennes compactes à courbure constante négative qui sont difféomorphes sont aussi isométrique.
S
- Spectre du laplacien
- Spineur
- Symbole de Christoffel : Symboles permettant d'exprimer dans des cartes locales la connexion de Levi-Civita ;
- Systole (mathématiques)
T
- Théorème d'Abresch-Meyer
- Théorème de Bishop
- Théorème de Bonnet-Schoenberg-Myers
- Théorème de Brunn-Minkowski
- Théorème de Cartan-Hadamard : théorème affirmant que le revêtement universel d'une variété riemannienne complète de courbure non positive est difféomorphe à une boule
- Théorème de comparaison de Toponogov
- Théorème de Gauss-Bonnet
- Théorème de Hopf-Rinow
- Théorème KAM
- Théorème de Myers : estimation sur le diamètre d'une variété riemannienne complète en courbure de Ricci strictement positive
- Totalement géodésique : se dit d'une sous-variété N d'une variété riemannienne qui contient toute géodésique issue d'un des points de N et dirigée par un vecteur tangent à N
- Transport parallèle
V
- Variété de Hadamard : Variété riemannienne complète simplement connexe de courbure strictement négative.
- Variété hyperbolique
- Variété kählérienne
- Variété lorentzienne
- Variété pseudo-riemannienne
- Variété riemannienne
- Volume riemannien : forme volume définie sur toute variété riemannannienne orientée valant 1 sur toute base tangente orthonormée orientée ; ou mesure positive associée ;
