Champ de Jacobi

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En géométrie riemannienne, un champ de vecteurs de Jacobi ou champ de Jacobi, du nom du mathématicien allemand Charles Jacobi, est un champ de vecteurs le long d'une géodésique dans une variété riemannienne, décrivant la différence entre et une famille de géodésiques infiniment proches. L'ensemble des champs de Jacobi le long d'une géodésique forme l'espace vectoriel tangent à la géodésique dans l'espace de toutes les géodésiques.

Définition formelle[modifier | modifier le code]

Soit une variété riemannienne, un intervalle de et  : une courbe différentiable, un champ de vecteurs le long de est une application : telle que, pour tout point ,  ; où désigne le fibré tangent à et M, l’espace vectoriel tangent au point . Un champ de vecteurs le long d'une géodésique est appelé champ de Jacobi s'il satisfait l'équation de Jacobi :

J + R(J,) = 0

Où, dans cette équation, désigne la connexion de Levi-Civita de et R son tenseur de courbure.

Points conjugués[modifier | modifier le code]

En gros, deux points d’une variété riemannienne sont dits conjugués s’ils peuvent presque être joints par une famille (à 1 paramètre) de géodésiques. L’exemple le plus frappant est donné par le pôle nord et le pôle sud sur la sphère, qui peuvent être joints par tout méridien. On montre qu'une variété riemannienne de courbure sectionnelle constante possède des points conjugués si et seulement si .

Définition[modifier | modifier le code]

Soient et deux points d’une variété riemannienne joints par une géodésique . On dit qu’ils sont conjugués s’il existe un champ de Jacobi non nul le long de qui s’annule en et .

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Sur la sphère , de courbure sectionnelle , les points antipodaux sont conjugués.
  • Sur , il n’existe pas de points conjugués.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]