Triangle de Pascal (2,1)

Lignes zéro à cinq du triangle (2,1) de Pascal

En mathématiques, le triangle de Pascal (2,1) (ou triangle de Lucas) est un ensemble triangulaire.

Les rangées du triangle de Pascal (2,1)—suite A029653 de l'OEIS— sont classés classiquement en commençant par la ligne n = 0 en haut (la ^e rangée). Les entrées dans chaque ligne sont numérotées à partir de la gauche en commençant par k = 0 et sont généralement décalées par rapport aux nombres dans les rangées adjacentes, de sorte à former un triangle.

Le triangle est basé sur le Triangle de Pascal avec la deuxième ligne étant (2,1) et la première cellule de chaque rangée valant 2.

Cette construction est liée aux coefficients binomiaux, l'un des termes étant $2x+y$.

$(2x+y)(x+y)^{n-1}$

Propriétés

Le triangle de Pascal (2,1) possède de nombreuses propriétés et contient de nombreux motifs de nombres. On peut le considérer comme une sœur du triangle de Pascal, de la même manière qu'une suite de Lucas est une séquence sœur de la suite de Fibonacci.^{[réf. nécessaire]}

Rangée

• À l’exception de la première rangée n = 0, 1, la somme des éléments d'une seule rangée est deux fois la somme de la ligne qui l'a précédée. Par exemple, la rangée 1 a une valeur de 3, la rangée 2 a une valeur de 6, la rangée 3 a une valeur de 12 et ainsi de suite. C'est parce que chaque élément d'une ligne produit deux éléments dans la ligne suivante: un à gauche et un à droite. La somme des éléments de la rangée n est égale à $3\times 2^{n-1}$. (suite A003945 de l'OEIS suite A007283 de l'OEIS)
• La valeur d'une rangée, si chaque entrée est considérée comme une décimale est une puissance de 11 multipliée par 21 ($21\times 11^{n-1}$, pour la rangée n). Ainsi, à la deuxième rangée, ⟨2, 3, 1⟩ devient $21\times 11$, et ⟨2, 9, 16, 14, 6, 1⟩ dans la rangée cinq devient (après réarrangement) 307461, qui est $21\times 11^{4}$. Cette propriété s'explique par x = 10 dans l'expansion binomiale de (2x + 1)(x + 1)ⁿ⁻¹. Mais x peut être choisi pour permettre aux rangées de représenter des valeurs dans n'importe quelle base.
  • En base 3: $231_{3}=7\times 4(28)$
  • $(2,5,4,1)\rightarrow 11011_{3}=7\times 4^{2}(112)$
  • En base 9: $231_{9}=19\times 10(190)$
  •           ,       $2541_{9}=19\times 10^{2}(1900)$
  • $(2,9,16,14,6,1)\rightarrow 318561_{9}=19\times 10^{4}(190000)$
• Polarité: Lorsque des rangées de triangle de Pascal sont ajoutées et soustraites ensemble à la suite, chaque rangée avec un nombre moyen, c'est-à-dire ayant un nombre impair d'entiers, seront toujours égales à 0. Par exemple, la rangée 4 est 2 7 9 5 1, donc la formule serait 9 - (7 + 5) + (2 + 1) = 0, la rangée 6 est 2 11 25 30 20 7 1, donc la formule serait 30 - (25 + 20) + (11 + 7) - (2 + 1) = 0. Donc, chaque rangée du triangle Pascal est égal à 0 lorsque vous prenez le nombre du milieu, puis soustrayiez les entiers directement à côté du centre, puis ajoutez les entiers suivants, puis soustrayez, et ainsi de suite jusqu'à ce que vous atteigniez la fin de la rangée.
  • Ou on peut dire que lorsque nous prenons le premier terme d'une ligne, soustrayez le deuxième terme, puis ajoutez le troisième terme, puis soustrayez, ainsi de suite, jusqu'à ce que vous atteigniez la fin de la ligne, le résultat est toujours égal à 0.
  • rangée 3: 2 − 3 + 1 = 0
  • rangée 4: 2 − 5 + 4 − 1 = 0
  • rangée 5: 2 − 7 + 9 − 5 + 1 = 0
  • rangée 6: 2 − 9 + 16 − 14 + 6 − 1 = 0
  • rangée 7: 2 − 11 + 25 − 30 + 20 − 7 + 1 = 0
  • rangée 8: 2 − 13 + 36 − 55 + 50 − 27 + 8 − 1 = 0

Diagonales

Les diagonales du triangle de Pascal (2,1) contiennent des nombres figurés:

• Les diagonales qui parcourent les bords droits ne contiennent que 1, tandis que les diagonales qui traversent les bords droits ne contiennent que 2 secondes, à l'exception de la première cellule.
• Les diagonales à côté de la diagonale du bord gauche contiennent les nombres impairs dans l'ordre. 
• Les diagonales à côté de la diagonale du bord droit contiennent les entiers naturels dans l'ordre.
• En se déplaçant vers l'intérieur, la prochaine paire de diagonales contient les nombres carrés et triangulaires moins 1, dans l'ordre.
• La prochaine paire de diagonales contient les nombres carrés pyramidaux dans l'ordre, et la prochaine paire donne des nombres pyramidaux en 4 dimensions (suite A002415 de l'OEIS).

Paternes globaux

Triangle de Sierpinski

Le triangle de Pascal (2,1) recouvert sur une grille donne le nombre de chemins distincts sur chaque place, en supposant que seuls les mouvements vers la droite et vers le bas sont considérés.

• Le motif obtenu en colorant uniquement les nombres impairs dans le triangle de Pascal ressemble étroitement à la fractale appelée le triangle de Sierpinski. Cette ressemblance devient de plus en plus précise à mesure que de nouvelles rangées sont considérées; Dans la limite, au fur et à mesure que le nombre de rangées approche l'infini, le motif résultant est le triangle de Sierpinski, en supposant un périmètre fixe. Plus généralement, les nombres peuvent être colorés différemment selon qu'ils sont multiples de 3, 4, etc. Il en résulte d'autres modèles similaires.
• En imaginant que chaque nombre dans le triangle est un nœud dans une grille qui est reliée aux nombres adjacents au-dessus et en dessous. Maintenant, pour tout nœud dans la grille, en comptant le nombre de chemins dans la grille (sans retour) qui relient ce nœud au nœud supérieur du triangle. La réponse est le numéro Pascal (2,1) associé à ce nœud.
• Une propriété du triangle est révélée si les rangées sont justifiées à la gauche. Dans le triangle ci-dessous, les bandes diagonales colorées résument les nombres de Fibonacci et les nombres de Lucas.

1
2	1
2	3	1
2	5	4	1
2	7	9	5	1
2	9	16	14	6	1
2	11	25	30	20	7	1
2	13	36	55	50	27	8	1
2	15	49	91	105	77	35	9	1

1
2	1
2	3	1
2	5	4	1
2	7	9	5	1
2	9	16	14	6	1
2	11	25	30	20	7	1
2	13	36	55	50	27	8	1
2	15	49	91	105	77	35	9	1

• Cette construction est également liée à l'expansion de $x^{n}+{\frac {1}{x^{n}}}$ , en posant $y=x+{\frac {1}{x}}$.
• alors

${\begin{aligned}x^{0}+{\frac {1}{x^{0}}}&=2\\[5pt]x^{1}+{\frac {1}{x^{1}}}&=y\\[5pt]x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}&=y^{2}-2\\[5pt]x^{3}+{\frac {1}{x^{3}}}&=y^{3}-3y\\[5pt]x^{4}+{\frac {1}{x^{4}}}&=y^{4}-4y^{2}+2\\[5pt]x^{5}+{\frac {1}{x^{5}}}&=y^{5}-5y^{3}+5y\end{aligned}}$