Suite de Lucas

En mathématiques, une suite de Lucas est une généralisation de la suite de Fibonacci et des nombres de Lucas. Les suites de Lucas furent étudiées en premier par le mathématicien français Édouard Lucas.

Relations de récurrence

Soient deux entiers donnés P et Q qui satisfont

$\Delta=P^2 - 4Q > 0\,$

les suites de Lucas $U(P,Q)\,$ et $V(P,Q)\,$ sont définies par les relations de récurrence linéaire

$U_0(P,Q) = 0\,$

$U_1(P,Q) = 1\,$

$U_n(P,Q)=PU_{n-1}(P,Q)-QU_{n-2}(P,Q) \mbox{ pour }n>1\,$

et

$V_0(P,Q)=2\,$

$V_1(P,Q)=P\,$

$V_n(P,Q)=PV_{n-1}(P,Q)-QV_{n-2}(P,Q) \mbox{ pour }n>1\,$

Terme général

Selon la méthode de calcul sur des suites à récurrence linéaire, il suffit de chercher les racines du polynôme caractéristique

$x^2 - Px + Q = 0\,$

Puisque $P^2 - 4Q > 0$, ce polynôme possède deux racines qui sont a et b. Alors $U(P,Q)\,$ et $V(P,Q)\,$ peuvent aussi être définies en fonction de a et b par

$U_n(P,Q)= \frac{a^n-b^n}{a-b} = \frac{a^n-b^n}{\sqrt\Delta}\,$

$V_n(P,Q)=a^n+b^n\,$

à partir desquelles nous pouvons extraire les relations

$a^n = \frac{V_n + U_n \sqrt\Delta}2\,$

$b^n = \frac{V_n - U_n \sqrt\Delta}2\,$

Autres relations

Les nombres dans les suites de Lucas satisfont aux relations qui sont analogues à celles entre les nombres de Fibonacci et les nombres de Lucas. Par exemple :

$U_{m+n}=U_nU_{m+1}-QU_mU_{n-1}={U_nV_m+U_mV_n\over2}$ et

$V_{m+n}=V_mV_n-Q^mV_{n-m}={\Delta U_mU_n+V_mV_n\over2}~,$

en particulier

$U_{n+1}={PU_n+V_n\over2}=V_n+QU_{n-1},\qquad V_{n+1}={\Delta U_n+PV_n\over2}=\Delta U_n+QV_{n-1}$

et

$U_{2n} = U_n V_n,\qquad V_{2n} = V_n^2 - 2Q^n~.$

Cas particuliers

Les suites de Lucas ont des noms spécifiques pour certaines valeurs de P et Q :

$U_n(1,-1)\,$ est appelée suite de Fibonacci et ses valeurs sont les nombres de Fibonacci.

$V_n(1,-1)\,$ est une suite de Lucas, et ses valeurs sont les nombres de Lucas.

$U_n(2,-1)\,$ est appelée suite de Pell et ses valeurs sont les nombres de Pell (les nombres de la suite V_n associée sont appelés nombres de Pell-Lucas ou nombres de Pell compagnons)

$U_n(1,-2)\,$ est appelée suite de Jacobsthal et ses valeurs sont les nombres de Jacobsthal (en) (les nombres de la suite V_n associée sont appelés nombres de Jacobsthal-Lucas).

Articles connexes

• LUC (un cryptosystème basé sur les suites de Lucas).
• Nombre pseudopremier de Fibonacci
• Test de primalité de Lucas-Lehmer

Lien externe

(en) Eric W. Weisstein, « Lucas Sequence », MathWorld