Suite de Lucas

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En mathématiques, une suite de Lucas est une généralisation de la suite de Fibonacci et des nombres de Lucas. Les suites de Lucas furent étudiées en premier par le mathématicien français Édouard Lucas.

Relations de récurrence[modifier | modifier le code]

Soient deux entiers donnés P et Q qui satisfont

\Delta=P^2 - 4Q > 0\,

les suites de Lucas U(P,Q)\, et V(P,Q)\, sont définies par les relations de récurrence linéaire

U_0(P,Q) = 0\,
U_1(P,Q) = 1\,
U_n(P,Q)=PU_{n-1}(P,Q)-QU_{n-2}(P,Q) \mbox{  pour }n>1\,

et

V_0(P,Q)=2\,
V_1(P,Q)=P\,
V_n(P,Q)=PV_{n-1}(P,Q)-QV_{n-2}(P,Q) \mbox{  pour }n>1\,

Terme général[modifier | modifier le code]

Selon la méthode de calcul sur des suites à récurrence linéaire, il suffit de chercher les racines du polynôme caractéristique

x^2 - Px + Q = 0\,

Puisque P^2 - 4Q > 0, ce polynôme possède deux racines réelles distinctes qui sont a et b. Alors U(P,Q)\, et V(P,Q)\, peuvent aussi être définies en fonction de a et b par

U_n(P,Q)= \frac{a^n-b^n}{a-b} = \frac{a^n-b^n}{\sqrt\Delta}\,
V_n(P,Q)=a^n+b^n\,

à partir desquelles nous pouvons extraire les relations

a^n = \frac{V_n + U_n \sqrt\Delta}2\,
b^n = \frac{V_n - U_n \sqrt\Delta}2\,

Autres relations[modifier | modifier le code]

Les nombres dans les suites de Lucas satisfont aux relations qui sont analogues à celles entre les nombres de Fibonacci et les nombres de Lucas. Par exemple :

U_{m+n}=U_nU_{m+1}-QU_mU_{n-1}={U_nV_m+U_mV_n\over2} et
V_{m+n}=V_mV_n-Q^mV_{n-m}={\Delta U_mU_n+V_mV_n\over2}~,

en particulier

U_{n+1}={PU_n+V_n\over2}=V_n+QU_{n-1},\qquad V_{n+1}={\Delta U_n+PV_n\over2}=\Delta U_n+QV_{n-1}

et

U_{2n} = U_n V_n,\qquad V_{2n} = V_n^2 - 2Q^n~.

Cas particuliers[modifier | modifier le code]

Les suites de Lucas ont des noms spécifiques pour certaines valeurs de P et Q :

U_n(1,-1)\, est appelée suite de Fibonacci et ses valeurs sont les nombres de Fibonacci.
V_n(1,-1)\, est une suite de Lucas, et ses valeurs sont les nombres de Lucas.
U_n(2,-1)\, est appelée suite de Pell et ses valeurs sont les nombres de Pell (les nombres de la suite Vn associée sont appelés nombres de Pell-Lucas ou nombres de Pell compagnons)
U_n(1,-2)\, est appelée suite de Jacobsthal et ses valeurs sont les nombres de Jacobsthal (en) (les nombres de la suite Vn associée sont appelés nombres de Jacobsthal-Lucas).

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Eric W. Weisstein, « Lucas Sequence », MathWorld