Théorème des trois cercles de Hadamard

En analyse complexe, le théorème des trois cercles de Hadamard est un résultat sur le comportement d'une fonction holomorphe sur une couronne.

Énoncé

Soit f une fonction holomorphe sur l'ouvert $C=\{r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }\mid (r,\theta )\in ]r_{1},r_{2}[\times \mathbb {R} \}$ et continue sur son adhérence ${\overline {C}}$.

On pose : $M:r\mapsto \sup _{\theta }|f(r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta })|$.

Alors ln(M(r)) est une fonction convexe de ln r.

C'est-à-dire : $\forall r\in ]r_{1},r_{2}[\quad \ln \left({\frac {r_{2}}{r_{1}}}\right)\ln M(r)\leq \ln \left({\frac {r_{2}}{r}}\right)\ln M(r_{1})+\ln \left({\frac {r}{r_{1}}}\right)\ln M(r_{2})$.

De plus, si f(z) n'est pas de la forme A z^B, alors ln(M(r)) est une fonction strictement convexe de ln r.

Démonstration

Le résultat peut se déduire du théorème des trois droites de Hadamard.

On pose $g:z\mapsto f(\mathrm {e} ^{z})$ et $m:s\mapsto \sup _{|z|=\mathrm {e} ^{s}}|f(z)|$.

On a donc : $\forall s\in \left]\ln r_{1},\ln r_{2}\right[\quad m(s)=\sup _{\theta }|f(\mathrm {e} ^{s+\mathrm {i} \theta })|=\sup _{\theta }|g(s+\mathrm {i} \theta )|$.

Or g est holomorphe sur $B=\{x+\mathrm {i} y\mid (x,y)\in \left]\ln r_{1},\ln r_{2}\right[\times \mathbb {R} \}$ et continue sur ${\overline {B}}$.

Donc, par le théorème des trois droites de Hadamard, m est logarithmiquement convexe.

Or m = M ∘ exp, donc ln(M(r)) est bien une fonction convexe de ln r.

Histoire

John Edensor Littlewood donna en 1912 l'énoncé et une démonstration du théorème mais ne l'attribua à personne en particulier, le considérant comme un théorème bien connu. Harald Bohr et Edmund Landau l'attribuèrent à Jacques Hadamard, qui l'avait énoncé en 1896, sans toutefois publier de preuve.

Annexes

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hadamard three-circle theorem » (voir la liste des auteurs).

Bibliographie

(en) Edward Charles Titchmarsh, The Theory of the Riemann Zeta-Function, Oxford, Clarendon Press, 1951, chap. 14

Lien externe

(en) « Proof of Hadamard three-circle theorem », sur PlanetMath