Théorème des trois cercles de Hadamard

En analyse complexe, le théorème des trois cercles de Hadamard est un résultat sur le comportement d'une fonction holomorphe sur une couronne.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soit f une fonction holomorphe sur l'ouvert $C=\{r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }\mid (r,\theta )\in ]r_{1},r_{2}[\times \mathbb {R} \}$ et continue sur son adhérence ${\overline {C}}$ .

On pose : $M:r\mapsto \sup _{\theta }|f(r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta })|$ .

Alors ln(M(r)) est une fonction convexe de ln r.

C'est-à-dire : $\forall r\in ]r_{1},r_{2}[\quad \ln \left({\frac {r_{2}}{r_{1}}}\right)\ln M(r)\leq \ln \left({\frac {r_{2}}{r}}\right)\ln M(r_{1})+\ln \left({\frac {r}{r_{1}}}\right)\ln M(r_{2})$ .

De plus, si f(z) n'est pas de la forme A z^B, alors ln(M(r)) est une fonction strictement convexe de ln r.

Démonstration[modifier | modifier le code]

Le résultat peut se déduire du théorème des trois droites de Hadamard^[1].

On pose $g:z\mapsto f(\mathrm {e} ^{z})$ et $m:s\mapsto \sup _{|z|=\mathrm {e} ^{s}}|f(z)|$ .

On a donc : $\forall s\in \left]\ln r_{1},\ln r_{2}\right[\quad m(s)=\sup _{\theta }|f(\mathrm {e} ^{s+\mathrm {i} \theta })|=\sup _{\theta }|g(s+\mathrm {i} \theta )|$ .

Or g est holomorphe sur $B=\{x+\mathrm {i} y\mid (x,y)\in \left]\ln r_{1},\ln r_{2}\right[\times \mathbb {R} \}$ et continue sur ${\overline {B}}$ .

Donc, par le théorème des trois droites de Hadamard, m est logarithmiquement convexe.

Or m = M ∘ exp, donc ln(M(r)) est bien une fonction convexe de ln r.

Histoire[modifier | modifier le code]

John Edensor Littlewood donna en 1912 l'énoncé et une démonstration du théorème^[2] mais ne l'attribua à personne en particulier, le considérant comme un théorème bien connu. Harald Bohr et Edmund Landau l'attribuèrent à Jacques Hadamard, qui l'avait énoncé en 1896, sans toutefois publier de preuve^[3].

Annexes[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hadamard three-circle theorem » (voir la liste des auteurs).

↑ (en) David C. Ullrich, Complex Made Simple, vol. 97, AMS, coll. « Graduate Studies in Mathematics », 2008, 489 p. (ISBN 978-0-8218-4479-3 et 0-8218-4479-2, lire en ligne), p. 387.
↑ J. E. Littlewood, « Quelques conséquences de l'hypothèse que la function ζ(s) de Riemann n'a pas de zéros dans le demi-plan Re(s) > 1/2 », Comptes rendus de l'Académie des sciences, n^o 154,‎ 1912, p. 263-266.
↑ (en) H. M. Edwards, Riemann's Zeta Function, Dover Publications, 1974 (ISBN 0-486-41740-9), section 9.3.