Théorème de suspension de Freudenthal
Le théorème de suspension de Freudenthal est un théorème de mathématiques démontré en 1937 par Hans Freudenthal[1]. C'est un résultat fondamental sur l'homotopie, qui explique le comportement des groupes d'homotopie d'un espace pointé lorsqu'on en prend la suspension et qui conduit à la théorie de l'homotopie stable.
Énoncé
Soit X un CW-complexe pointé n-connexe. L'application X → Ω(X ∧ S1), où Ω désigne le foncteur espace des lacets et ∧ le smash-produit, induit un morphisme de groupes
Le théorème de suspension dit que ce morphisme est bijectif si k ≤ 2n et surjectif si k = 2n + 1[2].
Corollaires
- La n-sphère Sn étant (n – 1)-connexe, le groupe πn+k(Sn) est indépendant de n pour n ≥ k + 2[3]. Ce groupe est appelé le k-ième groupe d'homotopie stable des sphères.
- Plus généralement, pour k ≥ 1 fixé et pour n ≥ k/2, on peut définir de même les groupes d'homotopie stable de tout espace X n-connexe. Ce sont en fait les groupes d'homotopie du spectre (en) associé à X.
Notes et références
- (de) H. Freudenthal, « Über die Klassen der Sphärenabbildungen. I. Große Dimensionen », Compositio, vol. 5, , p. 299-314 (lire en ligne)
- (en) Paul G. Goerss et John F. Jardine, Simplicial Homotopy Theory, Birkhäuser, coll. « Progress in Mathematics » (no 174), (lire en ligne), p. 175
- (en) Allen Hatcher, Algebraic Topology, New York, CUP, , 544 p. (ISBN 978-0-521-79540-1, lire en ligne), p. 360
- (en) George W. Whitehead, « On the Freudenthal Theorems », Ann. Math., vol. 57, no 2, (JSTOR 1969855)
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Freudenthal suspension theorem » (voir la liste des auteurs).
