Théorème des suites adjacentes

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En mathématiques, le théorème des suites adjacentes concerne les suites réelles et précise que deux suites adjacentes convergent, vers une même limite.

Définition[modifier | modifier le code]

Deux suites réelles (an) et (bn) sont dites adjacentes si l'une des suites est croissante (au sens large), l'autre suite décroissante (au sens large) et si la différence des deux converge vers 0.

On supposera par la suite que (an) est croissante et (bn) est décroissante.

L'hypothèse suivante serait redondante : pour tout entier n, an ≤ bn. En effet, si (an) est croissante et (bn) décroissante alors (bn – an) est décroissante, donc positive si elle converge vers 0.

On peut même observer que pour tous entiers p et q, ap ≤ bq.

En effet, si par exemple p ≤ q, alors ap ≤ aq ≤ bq.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Théorème des suites adjacentes — Soient (an) et (bn) deux suites adjacentes (où (an) est croissante et (bn) décroissante). Alors ces deux suites sont convergentes et ont la même limite ∈ ℝ. De plus, pour tout entier naturel n, an ≤ ℓ ≤ bn.

Ce théorème est une conséquence de la propriété de la borne supérieure : tout ensemble de réels non vide et majoré possède une borne supérieure. Ce théorème n'est donc pas valable si on travaille dans l'ensemble des rationnels et que l'on cherche une limite rationnelle.

On démontre même que cette propriété est équivalente à celle de la borne supérieure (voir l'article Construction des nombres réels). Elle offre l'avantage, par rapport à la propriété des suites croissantes majorées, de faire plus que prouver la convergence d'une suite. Elle en donne un encadrement aussi fin qu'on le souhaite.

Utilisation[modifier | modifier le code]

On rencontre le théorème des suites adjacentes dans tous les problèmes utilisant la méthode de la dichotomie, dans le développement décimal d'un réel, dans l'écriture en fraction continue ainsi que dans de nombreux problèmes de quadrature (quadrature du cercle, de la parabole).

Deux suites (an) et (bn) sont adjacentes si et seulement si la suite (un) définie par u2k = bk – ak et u2k+1 = bk+1ak est de signe constant, de valeur absolue décroissante et de limite nulle, autrement dit si la série de terme général (–1)nun vérifie le critère de convergence des séries alternées. Le théorème de Leibniz énonçant la convergence de ce type particulier de série alternée est donc équivalent au théorème des suites adjacentes.