Théorème de récurrence de Poincaré

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Le théorème de récurrence Poincaré[1] dit que, pour presque toutes les « conditions initiales », un système dynamique conservatif dont l'espace des phases est de « volume » fini va repasser au cours du temps aussi près que l'on veut de sa condition initiale, et ce de façon répétée.

Énoncé moderne[modifier | modifier le code]

Système dynamique[modifier | modifier le code]

Soit un système dynamique mesuré, c’est-à-dire un triplet (X,\mu,\phi) où :

\forall \ A \subset X \ , \quad (\mu \circ \phi^{-1}) (A) \ = \ \mu \left[ \phi^{-1} (A)\right] \ = \ \mu(A)

Récurrence d'un point[modifier | modifier le code]

Soit A \subset X un sous-ensemble mesurable. Un point  x \in A est dit récurrent par rapport à A si et seulement si \forall p \in \mathbb N ,il existe un entier k \ge p pour lequel :

\phi^k(x) \ \in \ A

Théorème de récurrence de Poincaré[modifier | modifier le code]

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soit A \subset X un sous-ensemble mesurable pour la mesure \mu. Alors, presque tous les points x_0 \in A sont récurrents par rapport à A.

Démonstration[modifier | modifier le code]

Soit p un entier naturel. On peut définir l'ensemble :

 U_p  \ = \ \phi^{-p}(A) \ \cup \ \phi^{-p-1}(A) \ \cup \  \dots \ \cup \ \phi^{-k}(A) \ \cup \ \dots \ = \ \cup_{k=p}^{+\infty} \ \phi^{-k}(A)

Comme sous-ensemble mesurable de X, il vérifie :

 \mu(U_p)  \ \le \ \mu(X) \ < \ + \ \infty

C'est aussi un sous-ensemble de l'ensemble U_0 correspondant au cas particulier p = 0 :

U_p \ \subset \ U_0

où :

 U_0  \ = \ A \ \cup \ \phi^{-1}(A) \ \cup \  \dots \ \cup \ \phi^{-k}(A) \ \cup \ \dots \ = \ \cup_{k=0}^{+\infty} \ \phi^{-k}(A)

En remarquant qu'on peut écrire :

 U_p  \ = \ \phi^{- \, p}(U_0)

on en déduit que :

 \mu(U_p)  \ = \ \mu(\phi^{- \, p}(U_0))  \ = \ \mu(U_0)


la deuxième égalité résultant de la conservation de la mesure. Le sous-ensemble U_p possède donc la même mesure que l'ensemble U_0 ; on en déduit que le complémentaire à U_p dans U_0 est de mesure nulle :

 \mu(U_0 \backslash U_p)  \ = \ 0

Comme A\subset U_0, on en déduit

 \mu \left( \ \left\{ \ x \in A \quad \mathrm{et} \quad x \notin U_p \ \right\} \ \right)  \ = \ 0

Autrement dit, l'ensemble des points x de A tels que \phi^k(x)\notin A pour tout k\geq p est de mesure nulle.

En conclusion, en tant que réunion dénombrable des ensembles précédents pour p\in\mathbb{N}, l'ensemble de points x\in A non récurrents par rapport à A est de mesure nulle.

Note et référence[modifier | modifier le code]

  1. Henri Poincaré, « Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique », Acta Mathematica, vol. 13,‎ 1890, p. 1-270.
    Ce mémoire vaudra à son auteur le prix du roi Oscar, roi de Norvège et de Suède et passionné de mathématiques. Le jury était composé de Weierstrass, Mittag-Leffler et Hermite. L'histoire de ce mémoire est célèbre ; lire par exemple (en) June Barrow-Green, Poincaré and the Three Body Problem, AMS & LMS, coll. « History of Mathematics » (no 11),‎ 1997 (lire en ligne).

Articles connexes[modifier | modifier le code]