Théorème de la goutte

Ajouter des liens
Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Cet article est une ébauche concernant l’analyse.

Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.

Le théorème de la goutte est un théorème d'analyse fonctionnelle, démontré par Josef Daneš en 1972[1],[2],[3],[4] puis généralisé en 1985[5].

Dans un espace vectoriel réel, on définit la « goutte » D(x, C), associée à un point x et un convexe C, comme l'enveloppe convexe de {x}∪C. Le théorème généralisé s'énonce alors ainsi[6],[7] :

Dans un espace de Banach, soient B un convexe fermé borné non vide et F un fermé à distance non nulle[8] de B.

Pour tout point f du fermé F, il existe un point x de D(f, B) tel que F∩D(x, B) = {x}.

Théorèmes équivalents[modifier | modifier le code]

Le théorème de la goutte est équivalent, entre autres[5], au principe variationnel d'Ekeland et au « théorème du pétale »[9], qui s'énonce comme suit, en définissant un « pétale » Pγ(x, y) comme l'ensemble des points z tels que γd(z, x) + d(z, y) ≤ d(x, y) :

Pour toute partie complète A d'un espace métrique X, tout point a de A, tout point b de X\A et tout réel γ > 0, il existe un point x du pétale Pγ(a, b) tel que Pγ(x, b)∩A = {x}.

Plus précisément :

  • le théorème de la goutte non généralisé implique le principe d'Ekeland[5] ;
  • le principe d'Ekeland implique le théorème du pétale[10] ;
  • le théorème du pétale implique le théorème de la goutte, simple[4] ou généralisé[11],[12].

On peut s'étonner qu'un théorème purement métrique, comme celui du pétale ou d'Ekeland, se déduise d'un théorème sur les espaces vectoriels normés. Cela résulte du plongement de Kuratowski[13].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. ↑ (en) Josef Daneš, « A geometric theorem useful in nonlinear functional analysis », Boll. Un. Mat. Ital., vol. 4, no 6,‎ , p. 369-375.
  2. ↑ Dans cette première version, B est une boule fermée et le point x, au lieu d'appartenir à une goutte dépendant d'un point du fermé (non vide) F, appartient à une boule de même centre c que B et de rayon arbitrairement proche de d(c, F).
  3. ↑ (en) Georgiana Goga, « Some equivalent geometrical results with Ekeland's variational principle », An. Şt. Univ. Ovidius Constanța, vol. 13, no 1,‎ , p. 79-88 (lire en ligne), Theorem 2.4.
  4. ↑ a et b (en) Jonathan M. Borwein et Qiji J. Zhu, Techniques of Variational Analysis, New York, Springer, (ISBN 978-0-387-28271-8, lire en ligne), chap. 2, § 2 (« Geometric Forms of the Variational Principle »), p. 13, Theorem 2.2.4.
  5. ↑ a b et c (en) Josef Daneš, « Equivalence of some geometric and related results of nonlinear functional analysis », Comment. Math. Univ. Carolin., vol. 26,‎ , p. 443-454 (lire en ligne).
  6. ↑ Goga 2005, p. 82, Theorem 2.5.
  7. ↑ (en) Zdzislaw Denkowski, Stanislaw Migórski et Nikolaos S. Papageorgiou, An Introduction to Nonlinear Analysis : Applications, vol. 2, Springer, , 823 p. (ISBN 978-0-306-47456-9, lire en ligne), p. 102, Theorem 1.7.8 (pour B une boule fermée, et en rectifiant une coquille flagrante).
  8. ↑ Il ne suffit pas pour cela que F soit disjoint de B.
  9. ↑ (en) Jean-Paul Penot, « The drop theorem, the petal theorem and Ekeland's variational principle », Nonlinear Anal.-theor. Meth. App., vol. 10, no 9,‎ , p. 813-822 (DOI 10.1016/0362-546X(86)90069-6).
  10. ↑ Goga 2005, p. 83, Proposition 3.2 ou Borwein et Zhu 2006, p. 11-12, Theorem 2.2.2.
  11. ↑ Goga 2005, p. 83-84, Proposition 3.3.
  12. ↑ Daneš 1985 déduit directement son théorème (généralisé) du principe d'Ekeland.
  13. ↑ Daneš 1985, p. 450.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Théorème de Bishop-Phelps (en)

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • (en) Pando G. Georgiev, « The strong Ekeland variational principle, the strong Drop theorem and applications », J. Math. Anal. Appl., vol. 131, no 1,‎ , p. 1-21 (DOI 10.1016/0022-247X(88)90187-4)
  • (en) Andreas H. Hamel, « Phelps' Lemma, Danes' Drop Theorem and Ekeland's Principle in Locally Convex Topological Vector Spaces », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 131, no 10,‎ , p. 3025-3038 (lire en ligne)
  • (en) Cheng Lixin, Zhou Yunchi et Zhang Fong, « Danes' Drop Theorem in locally convex spaces », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 124,‎ , p. 3699-3702 (lire en ligne)
  • (en) Stefan Rolewicz, « On drop property », Studia Math., vol. 85,‎ , p. 27-37 (lire en ligne)
Ce document provient de « https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Théorème_de_la_goutte&oldid=200722678 ».