Théorème de La Hire

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Le petit cercle roule sans glisser à l'intérieur d'un cercle de rayon double : un point sur le cercle décrit un diamètre du grand cercle, un point lié au cercle, à l'intérieur ou à l'extérieur du disque délimité par celui-ci, décrit une ellipse, version animée.

Le théorème de La Hire est démontré dans le traité des roulettes (publié en 1706) du mathématicien français Philippe de La Hire, mais il était connu bien avant La Hire. Il peut être séparé en deux propositions : la première est que tout point fixe d'un cercle C de rayon r roulant sans glisser intérieurement sur un cercle C′ de rayon 2r décrit un diamètre de C′, la seconde plus générale est que dans les mêmes conditions tout point lié au cercle mobile C décrit une ellipse. Le diamètre décrit par un point de C est un cas dégénéré d'hypocycloïde (2 points de rebroussement). L'ellipse décrite par un point lié à C est un cas très particulier d'hypotrochoïde.

La première proposition fournit la justification d'un mécanisme à base d'engrenages qui transforme un mouvement circulaire en un mouvement rectiligne. Appelé autrefois engrenage de La Hire ou mouche de La Hire celui-ci est déjà décrit par Jérôme Cardan en 1570. Ce mouvement rectiligne sur un diamètre a aussi joué un rôle important dans l'histoire de l'astronomie : il a permis en 1247 à Nasir ad-Din at-Tusi de donner une version du modèle géocentrique du système solaire qui n'utilise pas le point équant de Ptolémée. Il a été utilisé ensuite par Nicolas Copernic pour la première version de son modèle héliocentrique, publié en 1543.

Ni la première ni la seconde proposition ne sont dues à La Hire, qui n'en revendiquait d'ailleurs probablement pas la paternité. Ainsi le théorème, en particulier la première proposition, apparaît-il sous d'autres noms dans la littérature, Cardan (cercles de Cardan), Copernic, ou plus récemment al-Tusi après la redécouverte de ses travaux (couple d'al-Tusi). Au Ve siècle Proclus donnait déjà une forme assez voisine de ces deux propositions.

Démonstration[modifier | modifier le code]

La première proposition est une conséquence directe du théorème de l'angle inscrit dans un cercle (l'angle au centre est le double de l'angle inscrit associé).

La seconde peut se démontrer par des considérations élémentaires de géométrie analytique et de trigonométrie, en particularisant un système d'équations paramétriques pour l'hypotrochoïde. Bien entendu, la même méthode fonctionne aussi pour la première proposition (on peut partir directement des équations de l'hypocycloïde).

Histoire[modifier | modifier le code]

Le couple d'al-Tusi d'après une copie du XIVe siècle de son manuscrit (Vatican Arabic ms 319, fol. 28v; 13th. c.

La première proposition (le mouvement rectiligne) est connue de l'astronome perse Nasir ad-Din at-Tusi qui le décrit en 1247 dans son Tahrir al-Majisti (Commentaire de l'Almageste). Celui-ci, et plus largement les astronomes de l'école de Maragha, l'utilisent pour éliminer le point équant du modèle de Ptolémée du système solaire.

Elle apparait également dans le De revolutionibus orbium coelestium de Nicolas Copernic publié en 1543. Du fait que Copernic n'utilise que des mouvements circulaires, il doit composer ceux-ci pour remédier à certaines anomalies observées, vis-à-vis d'un modèle simplifié où les orbites des planètes seraient circulaires, et utilise pour ceci le couple d'al-Tusi pour des raisons analogues à ce dernier, même si son modèle est héliocentrique[1]. Il l'utilisait déjà dans un manuscrit (appelé aujourd'hui commentariolus) dont il a fait circulé un nombre très réduit d'exemplaires avant 1514. Copernic démontre la première proposition (le mouvement sur un diamètre) dans le De revolutionibus orbium coelestium, et mentionne qu'il est possible de l'utiliser mais opte finalement pour une solution un peu différente (toujours à base de mouvements circulaires). La seconde sur le mouvement elliptique apparait dans son manuscrit mais n'a pas été reprise dans l'ouvrage imprimé. Copernic comptait semble-t-il l'exploiter ultérieurement. On n'en a pas retrouvé de démonstration de sa main, mais celle-ci semble à sa portée[2].

Jérôme Cardan a donné la première proposition du théorème dans son Opus novum de proportionibus numerorum, motuum, ponderum, sonorum, aliorumque mensurandum paru en 1570[3]. Rien n'indique qu'il connaissait la seconde[2].

La seconde proposition, en fait un résultat un peu plus général, est brièvement signalée et attribuée à David Fabricius par Johannes Kepler dans une note du Epitome astronomiae Copernicanae paru en 1615. Fabricius n'a pas lui-même publié le résultat, qu'il énonce à l'aide d'épicycles et de façon plus générale : la courbe engendrée par un point lié à un cercle mobile tournant sur lui-même et dont le centre se déplace sur un cercle est une ellipse si la rotation du cercle mobile sur lui même se fait en sens inverse et à une vitesse double de celle du déplacement sur le cercle fixe[2],[4]. Kepler, en correspondance avec Fabricius, lui a signalé en 1604 sa découverte de la trajectoire elliptique de la planète Mars. Celui-ci ne se satisfait pas de l'abandon du mouvement circulaire, et dans une lettre datée de 1608, indique à Kepler la façon d'engendrer l'ellipse à l'aide d'épicycles, à la manière de Ptolémée. Mais le procédé de Fabricius ne permet pas de rendre compte de la loi des aires, publiée par Kepler en 1609[4]. Kepler ne cite pas Copernic, et ne sait donc probablement pas que le théorème est connu de celui-ci, mais on ne sait rien pour Fabricius[2].

François Viète utilise, peu de temps avant Fabricius, des constructions analogues dans l’harmonicon celeste un ouvrage inachevé et jamais publié sur lequel il travaille les toutes dernières années de sa vie, jusqu'à sa mort en 1603, sans connaître donc les travaux de Kepler, qui à la même époque est en train d'étudier patiemment l'orbite de Mars. Viète étudie et compare les systèmes de Ptolémée et de Copernic, introduisant plusieurs simplifications importantes dans les calculs, entre autres en mettant en évidence les ellipses engendrées par deux mouvements circulaires[5].

En 1645, Ismael Boulliau énonce et démontre les deux propositions dans son astronomia philolaica, où il utilise la seconde (la forme plus générale mentionnée ci-dessus) pour engendrer le mouvement elliptique des planètes, mais ne peut rendre compte de la seconde loi de Kepler, comme ce dernier l'avait déjà remarqué (à propos du résultat analogue de Fabricius) en 1615[2].

Dans son traité de 1706, Lahire démontre le théorème, d'une façon très semblable à celle de Boulliau[2]. L'ouvrage de Boulliau est largement connu, et il est peu vraisemblable que Lahire ne l'ait pas lu[2]. Ni Boulliau, ni Lahire ne donnent une source pour le théorème, ce qui ne signifie pas qu'ils se l'attribuent, mais peut vouloir dire simplement que celui-ci est bien connu parmi les mathématiciens parisiens de leur époque[2].

On trouve également le théorème (les deux propositions) brièvement décrit dans un commentaire de Proclus des éléments d'Euclide, qui date donc du Ve siècle[6], sans qu'on sache, dans l'histoire moderne, à partir de quand et par qui cela a été remarqué. Proclus décrit une sorte de réciproque, partant du mouvement d'un segment (correspondant à un diamètre du petit cercle) dont les extrémités se déplacent de façon rectiligne sur les côtés d'un angles droit. Le centre du segment décrit alors un cercle et les autres points des ellipses.

Mécanique[modifier | modifier le code]

Cette propriété géométrique est utilisée dans plusieurs mécanismes astucieux qui permettent la transformation d'un mouvement circulaire en un mouvement rectiligne, comme l'engrenage dit de La Hire[7], et d'autres à base de doigts coulissant dans deux rainures perpendiculaires[8].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Copernic ne cite pas al-Tusi, ni aucun des travaux de son école. Il existe quelques indices de ce que Copernic ait pu avoir une connaissance au moins indirecte des travaux de l'école de Maragha, mais cela fait aujourd'hui débat chez les historiens, cf. F. Jamil Ragep Copernicus and his Islamic Predecessors: Some Historical Remarks, Filozofski Vestnik, 2004 lire en ligne.
  2. a, b, c, d, e, f, g et h (en)Carl B. Boyer, Isis, Vol. 38, No. 1/2 (Nov., 1947), pp. 54-56, Note on Epicycles & the Ellipse from Copernicus to Lahire.
  3. Rudolf Franke, 1989, Histoire de l'articulation à cardan, Culture technique [ISSN 0223-4386], 1989, N° 19; p.14-19, notice, lire en ligne.
  4. a et b (en)J. L. E. Dreyer, A History of Astronomy from Thales to Kepler, 1906, p 402-404, lire en ligne.
  5. (en) Noel M. Swerdlow, The Planetary Theory of François Viète, Part 1, Journal for the History of Astronommy 1975, vol vi pp 185-208 lire en ligne.
  6. I. N. Veselovsky, "Copernicus and Nasir al-Din al-Tusi", Journal for the History of Astronomy, 4 (1973), p 128-30.
  7. Voir ci-dessous l'illustration du musée des Arts et Métiers
  8. Voir Rudolf Franke, 1989 article cité, p 19 ; un axe entraine en rotation une barre perpendiculaire portant deux doigts diamétralement opposés s'engageant dans deux rainures perpendiculaires tournant autour d'un autre axe parallèle au premier, positionné de façon que les doigts passent par le second axe quand le premier arbre fait un tour, le second fait un demi-tour.

Lien externe[modifier | modifier le code]

  • Un modèle de « l'engrenage cylindrique intérieur de la Hire » réalisé au XIXe siècle, qui fait partie de la collection du musée des arts et métiers (n° inv. 8384), est visible ici et ici.