Segment circulaire

Un segment circulaire est coloré en vert.

En géométrie, un segment circulaire est une partie d'un disque intuitivement définie comme un domaine qui est « coupé » du reste du cercle par une corde (droite sécante). Le segment circulaire constitue donc la partie entre la droite sécante et un arc.

Soient R le rayon du cercle, c la longueur de la corde, s la longueur de l'arc, h la hauteur du segment, d la hauteur de la portion triangulaire et $\theta$ l'angle en radians du secteur circulaire (voir figure).

Le rayon est $R=h+d$.

La longueur de l'arc est $s=R\theta$.

La longueur de la corde est $c = 2R\sin\frac\theta2=R\sqrt{2-2\cos\theta}$.

La hauteur est $h=R(1-\cos\frac\theta2)$.

La superficie est $A = \frac{R^2}{2}\left(\theta-\sin\theta\right)$.

Démonstration

La surface totale couverte par l'arc de cercle vaut $A = \frac{\theta}{2} R^2$

La surface totale, S, peut également s'exprimer comme la somme de deux surfaces, le segment circulaire (en vert) A et le triangle pour l'autre partie A₁. On a donc A = S - A₁. L'aire du triangle vaut $A_1 = \frac{1}{2} \times base \times hauteur$ avec $base = 2 R \sin{\frac{\theta}{2}}$ et $hauteur = R \cos(\frac{\theta}{2})$

On a donc $A_1 = \frac{1}{2} 2 R \sin \frac{\theta}{2} R \cos \frac{\theta}{2} = \frac{1}{2} R^2 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2} = \frac{1}{2} R^2 \sin{\theta}$ du fait des formules d'addition et de différence.

Au final, nous avons $A = S - A_1 = \frac{\theta}{2} R^2 - \frac{1}{2} R^2 \sin{\theta} = \frac{R^2}{2}(\theta - \sin{\theta})$

L'angle est $\theta=2\arccos\frac dR$.