Quadrupôle

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

Le quadrupôle, en électrostatique, est une distribution de charges, ayant pour particularité que les barycentres des charges respectivement positives et négatives sont confondus.

Analyse du quadrupôle[modifier | modifier le code]

Soit une distribution (D) de charges q_i aux points P_i. Cette distribution (D) à support compact crée à une grande distance des charges (pour r >> a, avec a longueur caractéristique de la distribution) un potentiel V1(r).

On définit :

  • q = \Sigma q_i la somme des charges
  • \vec{p}(O) = \Sigma q_i \vec{OP_i}, indépendant de O si q=0, nul si O est choisi barycentre des charges
  • J_O = \Sigma q_i {OP_i}^2, le moment d'inertie par rapport à O
  • \hat{J} (\vec{X}) = \Sigma q_i \vec{OP_i} \times ( \vec{X} \times \vec{OP_i}), l'opérateur linéaire d'inertie par rapport à O
  • \hat{Q} = 2 J_o X -3 \hat{J} X, l'opérateur linéaire quadrupolaire en O

On peut vérifier que trace(\hat{Q})= 0.

Développement quadrupolaire[modifier | modifier le code]

Théorème :

V1(M) = \frac{q}{r} + \frac{\vec{p}.\vec{u}}{r^2} + \frac{\vec{u}.(\hat{Q} \vec{u})}{2 \times r^3} + o(\frac{1}{r^3}), avec \vec{u} = \vec{r}/r

Cas particulier : axe de symétrie[modifier | modifier le code]

(D) possède la symétrie de révolution autour d'un axe, disons Oz.

Alors la matrice de \hat{Q} est diagonale, avec Q_{x,x} = Q_{y,y} = - Q_o/2 et Q_{z,z} = Q_o qui s'appelle moment quadrupolaire en O de la distribution. Si q n'est pas nul, on choisit O en G, et alors :

V1(M) = \frac{q}{r} + \frac{Q_o}{2 \times r^3} \times [P_2(cos \theta )] + o(\frac{1}{r^3}), avec P_2(x) = 1/2 . (3x^2-1) (2e polynôme de Legendre).

Ce théorème vaut en gravimétrie pour la Terre supposée de révolution. Dans ce cas, Q_o = 2(A-C) < 0 ; l'usage est de poser J_2 = \frac{C-A}{Ma^2} = 1.08263 \times 10^{-3}.

Le potentiel terrestre est ainsi V(M) = -\frac{GM}{r} + \frac{GMa J_2 P_2(cos \theta)}{r^3}.

Ce développement peut être poussé plus loin (développement en harmoniques sphériques; termes en J4 (octupolaire), J6, etc.).

Voir aussi[modifier | modifier le code]