Quadripôle

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Un quadripôle

Un quadripôle, ou quadrupôle, est un composant ou un circuit (ensemble de composants) à deux entrées et deux sorties, permettant le transfert d'énergie entre deux dipôles.

Les signaux électriques en entrée et en sortie peuvent être de nature différente (tension, courant, puissance). On doit les premières études sur les quadripôles au mathématicien allemand Franz Breisig dans les années 1920.

On distingue 3 types de quadripôles :

• les quadripôles actifs
• les quadripôles passifs
• les quadripôles linéaires

Symbolisation

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Fonction de transfert

Définition de la fonction de transfert T d’un quadripôle linéaire en régime alternatif sinusoïdal :

– C'est un nombre complexe T= T (j*ώ) T dépend de la fréquence et de la charge placée en sortie.

– |T|=T= Rapport entre les valeurs efficaces du signal de sortie et du signal d'entrée.

– Arg (T) = différence de phase du signal de sortie par rapport au signal d'entrée.

Coefficients d'amplification

Ce sont des fonctions de transfert particulières.

• Coefficient d'amplification en tension :

$T = A_v = \frac{U_s}{U_e}$

• Coefficient d'amplification en courant : T=Ai= Is/Ie

$T = A_i = \frac{I_s}{I_e}$

On définit aussi le coefficient d'amplification en puissance:

Ap= US*IS*cos(φS)/Ue*Ie*cos(φe) [bien que ce ne soit pas un rapport de nombres complexes associés à des signaux].

⇒ Avec (φs) le déphasage de Us par rapport à Is et (φe) le déphasage de Ue par rapport à Ie.

Ces coefficients dépendent en général de la fréquence et de la charge en sortie.

Gains

Comme les modules de ces coefficients peuvent varier de façon importante lorsque la fréquence varie, on utilise une autre grandeur qui "tasse" ces variations.

• Gain en tension : Gv=20Log (Us/Ue)
• Gain en courant : Gi=20Log (Is/Ie)
• Gain en puissance : Gp=10log (Ps/Pe).

Les gains s'expriment en dB.

• Lorsque T est multiplié par 10, G=20logT augmente de 20 dB ;
• Le gain devient négatif si T<1.
• Lorsque Av double, Gv augmente de 6dB.

Relations en impédances

Quadripôle Z

On exprime les tensions en fonction des courants :

${V_1 \choose V_2} = \begin{pmatrix} Z_{11} & Z_{12} \\ Z_{21} & Z_{22} \end{pmatrix}{I_1 \choose I_2}$.

Avec :

$Z_{11} = {V_1 \over I_1 } \bigg|_{I_2 = 0} \qquad Z_{12} = {V_1 \over I_2 } \bigg|_{I_1 = 0}$

$Z_{21} = {V_2 \over I_1 } \bigg|_{I_2 = 0} \qquad Z_{22} = {V_2 \over I_2 } \bigg|_{I_1 = 0}$

On appelle $Z_{11}$ l'impédance d'entrée du quadripôle ; $Z_{12}$ l'impédance de transfert inverse du quadripôle ; $Z_{21}$ l'impédance de transfert du quadripôle ; $Z_{22}$ l'impédance de sortie du quadripôle.

Relations en admittances

Quadripôle Y

On exprime les courants en fonction des tensions :

${I_1 \choose I_2} = \begin{pmatrix} Y_{11} & Y_{12} \\ Y_{21} & Y_{22} \end{pmatrix}{V_1 \choose V_2}$ .

Avec :

$Y_{11} = {I_1 \over V_1 } \bigg|_{V_2 = 0} \qquad Y_{12} = {I_1 \over V_2 } \bigg|_{V_1 = 0}$

$Y_{21} = {I_2 \over V_1 } \bigg|_{V_2 = 0} \qquad Y_{22} = {I_2 \over V_2 } \bigg|_{V_1 = 0}$

On appelle $Y_{11}$ l'admittance d'entrée du quadripôle ; $Y_{12}$ l'admittance de transfert inverse du quadripôle ; $Y_{21}$ l'admittance de transfert du quadripôle ; $Y_{22}$ l'admittance de sortie du quadripôle.

Relations hybrides

Article détaillé : Paramètre hybride.

Quadripôle H

Ces relations sont utiles lors de l'étude des transistors.

${V_1 \choose I_2} = \begin{pmatrix} H_{11} & H_{12} \\ H_{21} & H_{22} \end{pmatrix}{I_1 \choose V_2}$ .

Avec :

$H_{11} = {V_1 \over I_1 } \bigg|_{V_2 = 0} \qquad H_{12} = {V_1 \over V_2 } \bigg|_{I_1 = 0}$

$H_{21} = {I_2 \over I_1 } \bigg|_{V_2 = 0} \qquad H_{22} = {I_2 \over V_2 } \bigg|_{I_1 = 0}$

On peut noter que $H_{11}=Z_{11}$ et que $H_{22}=Y_{22}$.

On appelle $H_{11}$ l'impédance d'entrée du quadripôle ; $H_{12}$ le gain inverse en tension du quadripôle ; $H_{21}$ le gain en courant de transfert du quadripôle ; $H_{22}$ l'admittance de sortie du quadripôle.

Le calcul matriciel s'adapte très bien aux quadripôles et permet d'obtenir les fonctions de transferts des circuits électroniques quand d'autres méthodes s'égarent dans un formalisme abscons, source d'erreurs et de pertes de temps.

Le courant de sortie du premier quadripôle étant l'opposé du courant d'entrée du quadripôle suivant, on utilise plutôt le système d'équations linéaires suivant :

$V_{1} = a_{11}.V_{2} + a_{12}.(-I_{2})$

$I_{1} = a_{21}.V_{2} + a_{22}.(-I_{2})$

Les coefficients aij forment les éléments de la matrice carrée "chaine directe" (abrégée MCD). L'analyse d'un filtre passif ou actif peut être simplifiée par décomposition en quadripôles élémentaires (Z série) et (Y parallèle) représenté chacun par une matrice "chaine directe". Les termes A11 et A12 de la matrice résultante servent à définir respectivement la fonction de transfert v2/v1(pour i2=0) ainsi que l'impédance d'entrée v1/i1 (pour i2=0).

Ainsi, la MCD d'une impédance série Z présentée sous forme d'un quadripôle sera {1 Z;0 1}; celle d'une admittance parallèle sera {1 0;Y 1}...

Relations hybrides inverse

Quadripôle G

Les relations hybrides inverse sont très peu utilisées, mais elles existent.

${I_1 \choose V_2} = \begin{pmatrix} G_{11} & G_{12} \\ G_{21} & G_{22} \end{pmatrix}{V_1 \choose I_2}$ .

Avec :

$G_{11} = {I_1 \over V_1 } \bigg|_{I_2 = 0} \qquad G_{12} = {I_1 \over I_2 } \bigg|_{V_1 = 0}$

$G_{21} = {V_2 \over V_1 } \bigg|_{I_2 = 0} \qquad G_{22} = {V_2 \over I_2 } \bigg|_{V_1 = 0}$

Théorème de réciprocité dans les quadripôles passifs

On a les relations : Y₁₂ = Y₂₁, Z₁₂ = Z₂₁, H₁₂ = -H₂₁ et ΔT = 1.

Quadripôle symétrique

Les deux accès d'un quadripôle symétrique sont indiscernables: les indices correspondant, 1 et 2, des paramètres de matrices impédance ou admittance sont donc permutables sans changement. En conséquence, pour les quadripôles symétriques, en plus de posséder les propriétés de réciprocité, on a les relations Y₁₁ = Y₂₂ et Z₁₁ = Z₂₂.

Association de deux quadripôles

Désignation	Schéma	Propriétés
série		[Z] = [Z1]+ [Z'1]
parallèle		[Y] = [Y1]+ [Y'1]
parallèle-série		[G] = [G1] + [G'1]
série-parallèle		[H] = [H1] + [H'1]
cascade		[T] = [T1] [T'1]

Conversion des matrices

	matrice de transfert	matrice impédance	matrice admittance	matrice hybride
	T	Z	Y	H
T	⌈T11 T12⌉ ⌊T21 T22⌋	⌈Z11/Z21 -ΔZ/Z21⌉ ⌊1/Z21 -Z22/Z21⌋	⌈-Y22/Y21 1/Y21⌉ ⌊-ΔY/Y21 Y11/Y21⌋	⌈-ΔH/H21 -H11/H21⌉ ⌊-H22/H21 -1/H21⌋
Z	⌈T11/T21 ΔT/T21⌉ ⌊1/T21 T22/T21⌋	⌈Z11 Z12⌉ ⌊Z21 Z22⌋	⌈Y22/ΔY -Y12/ΔY⌉ ⌊-Y21/ΔY Y11/ΔY⌋	⌈ΔH/H22 H12/H22⌉ ⌊-H21/H22 1/H22⌋
Y	⌈T22/T12 -ΔT/T12⌉ ⌊-1/T12 T11/T12⌋	⌈Z22/ΔZ -Z12/ΔZ⌉ ⌊-Z21/ΔZ Z11/ΔZ⌋	⌈Y11 Y12⌉ ⌊Y21 Y22⌋	⌈1/H11 -H12/H11⌉ ⌊H21/H11 ΔH/H11⌋
H	⌈T12/T22 ΔT/T22⌉ ⌊-1/T22 T21/T22⌋	⌈ΔZ/Z22 Z12/Z22⌉ ⌊-Z21/Z22 1/Z22⌋	⌈1/Y11 -Y12/Y11⌉ ⌊Y21/Y11 ΔY/Y11⌋	⌈H11 H12⌉ ⌊H21 H22⌋

Liens externes

• [PDF] Cours sur les quadripôles.

Voir aussi

• Diagrammes de Bode
• Filtre (électronique)
• Théorème de Kennelly
• Paramètres S