Polynôme de Gegenbauer

En mathématiques, les polynômes de Gegenbauer ou polynômes ultrasphériques sont une classe de polynômes orthogonaux. Ils sont nommés ainsi en l'honneur de Leopold Gegenbauer (1849-1903). Ils sont obtenus à partir des séries hypergéométriques dans les cas où la série est en fait finie :

$C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {(2\alpha )^{\underline {n}}}{n!}}\,_{2}F_{1}\left(-n,2\alpha +n;\alpha +{\frac {1}{2}};{\frac {1-z}{2}}\right)$

où n est la factorielle décroissante.

Propriétés

Orthogonalité

Les polynômes de Gegenbauer sont orthogonaux sur [-1 ; 1] pour le poids w(x) = (1-x²)^α-1/2 :

$\int _{-1}^{1}C_{n}^{(\alpha )}(x)C_{m}^{(\alpha )}(x)(1-x^{2})^{\alpha -{\frac {1}{2}}}\mathrm {d} x=\delta _{n,m}{\frac {\pi 2^{1-2\alpha }\Gamma (n+2\alpha )}{n!(n+\alpha )\Gamma (\alpha )^{2}}}$

Récurrence

Les polynômes de Gegenbauer peuvent être construits par la relation de récurrence :

$C_{0}^{(\alpha )}(x)=1,\ C_{1}^{(\alpha )}(x)=2\alpha x,\ C_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {1}{n}}\left(2x(n+\alpha -1)C_{n-1}^{(\alpha )}(x)-(n+2\alpha -2)C_{n-2}^{(\alpha )}(x)\right)$

Liens avec d'autres suites de polynômes orthogonaux

Les polynômes de Gegenbauer sont solutions de l'équation différentielle :

$(1-x^{2})y''-(2\alpha +1)xy'+n(n+2\alpha )y=0.\,$

On peut alors remarquer que pour α = 1/2, l'équation se ramène à celle satisfaite par les polynômes de Legendre, et pour α = 1, on retrouve celle des polynômes de Tchebychev de seconde espèce.

Applications

Les polynômes de Gegenbauer apparaissent comme des prolongements des polynômes de Legendre dans la théorie du potentiel pour les dimensions supérieures à 1.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Gegenbauer polynomials » (voir la liste des auteurs).

Liens externes

(en) Eric W. Weisstein, « Gegenbauer Polynomial », sur MathWorld