Argument d'un nombre complexe

Représentation des valeurs possibles de l'argument, avec sa branche principale hachurée en rouge

Cet article est un complément de nombre complexe.

Un argument d’un nombre complexe non nul z est une mesure $\theta\;$ (en radians) de l’angle :

$(\overrightarrow{Ox},\;\overrightarrow{OM})\equiv\theta\mod 2\pi$

où $M\;$ est l'image de z dans le plan complexe, c'est-à-dire le point d'affixe z.

On a alors :

$z=\rho\cdot(\cos\theta+i\sin\theta)=\rho e^{i\theta}=\left|z\right|\cdot e^{i\cdot\arg z}\;,$

où $\rho=\left|z\right|\;$ représente le module de $z\;$.

Souvent on note un argument du nombre complexe $z\;$ de façon simplifiée par :

$\arg z=\theta\;,$

ou plus précisément :

$\arg z \equiv\theta\mod 2\pi\;.$

Rappel :

• $\forall\theta\not\equiv\frac\pi 2\mod \pi,\ \tan\theta=\frac{\Im(z)}{\Re(z)}\;$ comme en coordonnées polaires et donc :
• $\tan\arg z=\frac{\Im(z)}{\Re(z)}=\frac{z-\bar z}{i\cdot(z+\bar z)}\;,$ où $\bar z\;$ est le conjugué de $z\;$,
• si la partie réelle de $z$ est strictement positive, $\arg z\equiv\arctan\frac{\Im(z)}{\Re(z)}\equiv\arctan\frac{z-\bar z}{i\cdot(z+\bar z)}\mod 2\pi\;,$.

De manière plus générale, l'argument d'un nombre complexe peut être entièrement déterminé de la façon suivante :

• $\arg z=2\arctan \left(\frac{\Im(z)}{\Re(z) + \left|z\right|}\right)$, si $z$ n'est pas un réel négatif, $\pi$ sinon.

Propriétés :

• $\arg(z_1\cdot z_2)\equiv\arg z_1+\arg z_2\mod 2\pi\;,$ si $z_1\;$ et $z_2\;$ sont des complexes non nuls.
• $\arg(z^n)\equiv n\cdot\arg z\mod 2\pi\;,$ si $z\;$ est un complexe non nul et $n\;$ un naturel.
• $\arg\frac 1z\equiv-\arg z\mod 2\pi\;,$ si $z\;$ est un complexe non nul.

En particulier:

• $\arg(a\cdot z)\equiv\arg z\mod 2\pi\;,$ si $a\;$ est un réel strictement positif et $z\;$ un complexe non nul.
• $\arg(a\cdot z)\equiv\arg z+\pi\mod 2\pi\;,$ si $a\;$ est un réel strictement négatif et $z\;$ un complexe non nul.