Pendule double

Présentation

Exercice classique de mécanique, il s'agit d'un pendule à l'extrémité duquel on accroche un autre pendule. On a donc deux tiges de longueur $l_1 \,$ et $l_2 \,$, de masse nulle et deux masses $m_1\,$ et $m_2\,$.

Mise en équation utilisant l'approche lagrangienne

L'énergie cinétique vaut :
$T=\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2=\frac{1}{2}m_1l_1^2\dot{\theta}_1^2 + \frac{1}{2}m_2[l_1^2\dot{\theta}_1^2+l_2^2\dot{\theta}_2^2 + 2l_1l_2\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2)]$
où $\theta_i\,$ est l'angle par rapport à la verticale et $v_i\,$ la vitesse du pendule $i\,$.
L'énergie potentielle vaut :
$V=m_1gz_1+m_2gz_2\,$ ($z_i\,$ étant l'altitude de la masse $i\,$), ou
$V=-(m_1+m_2)gl_1\cos(\theta_1)-m_2gl_2\cos(\theta_2)\,$.
Le lagrangien vaut donc :
$L=T-V\,$, soit
$L=\frac{1}{2}(m_1+m_2)l_1^2\dot{\theta}_1^2 +\frac{1}{2}m_2l_2^2\dot{\theta}_2^2 +m_2l_1l_2\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2) +(m_1+m_2)gl_1\cos(\theta_1)+m_2gl_2\cos(\theta_2)$

En appliquant les équations de Lagrange, on obtient les équations du mouvement :
(1) $(m_1+m_2)l_1\ddot{\theta}_1+m_2l_2\ddot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2)+ m_2l_2\dot{\theta}_2^2\sin(\theta_1-\theta_2) +(m_1+m_2)g\sin(\theta_1)=0$
(2) $l_1\ddot{\theta}_1\cos(\theta_1-\theta_2)+l_2\ddot{\theta}_2- l_1\dot{\theta}_1^2\sin(\theta_1-\theta_2)+g\sin(\theta_2)=0$

Ce système possède des solutions périodiques décomposables en deux modes, mais il est chaotique, c’est-à-dire qu'il possède aussi des solutions ni périodiques ni pseudo-périodiques, mais présentant en permanence un mouvement original, et qu'il est alors sensible aux conditions initiales.

Mise en équation utilisant l'approche newtonnienne

L'affixe de l'extrémité du premier pendule est $u_1=l_{1}e^{i\theta _{1}}\,$ et celle de l'extrémité du deuxième : $u=u_1+u_2\,$ où $u_2=l_{2}e^{i\theta _{2}}\,$.
L'accélération de cette dernière vaut donc $\ddot{u}=\ddot{u}_1+\ddot{u}_2=l_{1}\left( i\ddot{\theta }_{1}-\dot{\theta }_{1}^{2}\right) e^{i\theta _{1}}+l_{2}\left( i\ddot{\theta }_{2}-\dot{\theta } _{2}^{2}\right) e^{i\theta _{2}}$.

La relation fondamentale de la dynamique en $m_2\,$ permet de dire que $\ddot{u}-g$ est colinéaire à $e^{i\theta _{2}}$, et que donc $(\ddot{u}-g)e^{-i\theta _{2}}$ est réel. L'écriture de la nullité de sa partie imaginaire donne l'équation (2) ci-dessus.

La relation fondamentale de la dynamique en $m_1\,$ s'écrit $t_1-t_2+m_1g=m_1\ddot{u}_1$ où $t_1\,$ est l'affixe de la tension de la première tige agissant sur $m_1\,$ et $t_2=m_2(\ddot{u}-g)$ celle de la deuxième tige agissant sur $m_2\,$.

$t_1=t_2-m_1g+m_1\ddot{u}_1=(m_1+m_2)(\ddot{u}_1-g)+m_2\ddot{u}_2$ étant colinéaire à $e^{i\theta _{1}}$, l'écriture de la nullité de la partie imaginaire de $((m_1+m_2)(\ddot{u}_1-g)+m_2\ddot{u}_2)e^{-i\theta _{1}}$ donne l'équation (1).

Pendule à entraînement circulaire uniforme

Une autre exercice classique concerne le cas où la première tige se meut d'un mouvement uniforme autour de son axe. On a alors $\dot{\theta_1}=\omega$ et l'équation différentielle du mouvement, issue de (2), s'écrit, en posant $\theta_2=\theta\,$ :

$l_2\ddot{\theta}=- l_1\omega^2\sin(\theta-\omega t)-g\sin\theta=-(1+\frac{l_1\omega^2}{g}\cos\omega t)g\sin\theta+l_1\omega^2\sin\omega t \cos\theta$.

Pour de petites oscillations et $\frac{l_1\omega^2}{g}<<1\,$, l'équation se linéarise en $l_2\ddot{\theta}+g\theta=l_1\omega^2\sin(\omega t)$ et le système se comporte donc en oscillateur harmonique forcé :

Mais si dans ce cas on choisit $\omega=\sqrt{g/l_2}\,$, on obtient un phénomène de résonance ; par définition, les petites oscillations ne restent pas petites, et l'on tombe en fait dans un mouvement chaotique :

On constate que le pendule fait le tour si $l_2/l_1<4,3\,$

Voir aussi

• Pendule simple

Liens externes

• L'article de scienceworld d'Eric Weisstein, en anglais

• Animation du pendule double
• Animation flash du botafumeiro