Pendule double

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Le pendule double consiste en un pendule à l'extrémité duquel on accroche un autre pendule. C'est un exercice classique de mécanique. On a donc deux tiges de longueur  l_1 \, et  l_2 \,, de masse nulle et deux masses m_1\, et m_2\,. Son évolution est généralement chaotique.

Pendule double.gif

Mise en équation utilisant l'approche lagrangienne[modifier | modifier le code]

L'énergie cinétique vaut :
T=\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2=\frac{1}{2}m_1l_1^2\dot{\theta}_1^2 + 
        \frac{1}{2}m_2[l_1^2\dot{\theta}_1^2+l_2^2\dot{\theta}_2^2 +
        2l_1l_2\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2)]
\theta_i\, est l'angle par rapport à la verticale et v_i\, la vitesse du pendule i\,.
L'énergie potentielle vaut :
V=m_1gz_1+m_2gz_2\, (z_i\, étant l'altitude de la masse i\,), ou
V=-(m_1+m_2)gl_1\cos(\theta_1)-m_2gl_2\cos(\theta_2)\,.
Le lagrangien vaut donc :
L=T-V\,, soit
L=\frac{1}{2}(m_1+m_2)l_1^2\dot{\theta}_1^2 +\frac{1}{2}m_2l_2^2\dot{\theta}_2^2
+m_2l_1l_2\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2)
+(m_1+m_2)gl_1\cos(\theta_1)+m_2gl_2\cos(\theta_2)

En appliquant les équations de Lagrange, on obtient les équations du mouvement :
(1) (m_1+m_2)l_1\ddot{\theta}_1+m_2l_2\ddot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2)+
m_2l_2\dot{\theta}_2^2\sin(\theta_1-\theta_2)
+(m_1+m_2)g\sin(\theta_1)=0
(2) l_1\ddot{\theta}_1\cos(\theta_1-\theta_2)+l_2\ddot{\theta}_2-
l_1\dot{\theta}_1^2\sin(\theta_1-\theta_2)+g\sin(\theta_2)=0

Ce système possède des solutions périodiques décomposables en deux modes, mais il est chaotique, c’est-à-dire qu'il possède aussi des solutions ni périodiques ni pseudo-périodiques, mais présentant en permanence un mouvement original, et qu'il est alors sensible aux conditions initiales.

Mise en équation utilisant l'approche newtonnienne[modifier | modifier le code]

L'affixe de l'extrémité du premier pendule est 
u_1=l_{1}e^{i\theta _{1}}\,
et celle de l'extrémité du deuxième : 
u=u_1+u_2\,

u_2=l_{2}e^{i\theta _{2}}\,
.
L'accélération de cette dernière vaut donc 
\ddot{u}=\ddot{u}_1+\ddot{u}_2=l_{1}\left( i\ddot{\theta }_{1}-\dot{\theta }_{1}^{2}\right)
e^{i\theta _{1}}+l_{2}\left( i\ddot{\theta }_{2}-\dot{\theta }
_{2}^{2}\right) e^{i\theta _{2}}
.

La relation fondamentale de la dynamique en m_2\, permet de dire que 
\ddot{u}-g est colinéaire à e^{i\theta _{2}}
, et que donc 
(\ddot{u}-g)e^{-i\theta _{2}} est réel. L'écriture de la nullité de sa partie imaginaire donne l'équation (2) ci-dessus.

La relation fondamentale de la dynamique en m_1\, s'écrit t_1-t_2+m_1g=m_1\ddot{u}_1t_1\, est l'affixe de la tension de la première tige agissant sur m_1\, et t_2=m_2(\ddot{u}-g) celle de la deuxième tige agissant sur m_2\,.

t_1=t_2-m_1g+m_1\ddot{u}_1=(m_1+m_2)(\ddot{u}_1-g)+m_2\ddot{u}_2 étant colinéaire à e^{i\theta _{1}}, l'écriture de la nullité de la partie imaginaire de ((m_1+m_2)(\ddot{u}_1-g)+m_2\ddot{u}_2)e^{-i\theta _{1}} donne l'équation (1).

Pendule à entraînement circulaire uniforme[modifier | modifier le code]

Une autre exercice classique concerne le cas où la première tige se meut d'un mouvement uniforme autour de son axe. On a alors \dot{\theta_1}=\omega et l'équation différentielle du mouvement, issue de (2), s'écrit, en posant \theta_2=\theta\, :

l_2\ddot{\theta}=-
l_1\omega^2\sin(\theta-\omega t)-g\sin\theta=-(1+\frac{l_1\omega^2}{g}\cos\omega t)g\sin\theta+l_1\omega^2\sin\omega t \cos\theta.

Pour de petites oscillations et \frac{l_1\omega^2}{g}<<1\,, l'équation se linéarise en l_2\ddot{\theta}+g\theta=l_1\omega^2\sin(\omega t) et le système se comporte donc en oscillateur harmonique forcé :

Pendule1.gif

Mais si dans ce cas on choisit \omega=\sqrt{g/l_2}\,, on obtient un phénomène de résonance ; par définition, les petites oscillations ne restent pas petites, et l'on tombe en fait dans un mouvement chaotique :

Pendule3.gif
Pendule2.gif


On constate que le pendule fait le tour si l_2/l_1<4,3\,

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]