Lagrangien

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Le lagrangien  \mathcal{L}[\varphi_i] d'un système dynamique est une fonction des variables dynamiques qui permet d'écrire de manière concise les équations du mouvement du système. Son nom vient de Joseph-Louis Lagrange, qui a établi les principes du procédé (à partir de 1788).

Malgré l'emploi du même mot, le seul rapport avec le lagrangien que l'on trouve en optimisation est que, lorsque l'on ajoute des contraintes géométriques ou cinématiques, le critère gagne des termes avec multiplicateurs de Lagrange. Cependant, lorsque toutes les forces sont conservatives et introduites par un potentiel, il n'y a aucun multiplicateur et ce n'est pas un lagrangien au sens mathématique du terme.

Les équations du mouvement[modifier | modifier le code]

Les équations du mouvement s'obtiennent par application du principe de moindre action (ou principe d'action extrémale), qui s'écrit :

 \frac{\delta \mathcal{S}}{\delta \varphi_i} = 0

avec l'action  \mathcal{S}[\varphi_i] = \int{\mathcal{L}[\varphi_i(s)]{}\,\mathrm d^ns},

et {}{}{}{}\ \varphi_i l'ensemble des paramètres du système.

Les équations du mouvement obtenues sont équivalentes aux équations d'Euler-Lagrange. Un système dynamique dont les équations du mouvement peuvent s'obtenir à partir d'un principe de moindre action et d'un lagrangien est un système dynamique lagrangien. C'est le cas de la version classique du modèle standard, des équations de Newton, des équations de la relativité générale, et de problèmes purement mathématiques comme les équations des géodésiques ou le problème de Plateau.

Un exemple en mécanique classique[modifier | modifier le code]

La mécanique lagrangienne fut historiquement une reformulation de la mécanique classique à l'aide du concept de lagrangien. Dans ce contexte, le lagrangien est généralement défini par la différence entre l'énergie cinétique T et l'énergie potentielle V :

\mathcal{L} = T - V

En coordonnées cartésiennes[modifier | modifier le code]

En coordonnées cartésiennes, le lagrangien d'une particule de masse m non relativiste dans un espace euclidien à trois dimensions s'écrit

L(\vec{x}, \dot{\vec{x}}) \ = \ \frac{1}{2} \ m \ \dot{\vec{x}}^2 \ - \ V(\vec{x})

ou encore

L(\vec{x}, \dot{\vec{x}}) \ = \ \frac{\vec{P}^2}{2m} \ \ - \ V(\vec{x})

où P est la quantité de mouvement

\vec{P} \ = \ m \ \dot{\vec{x}}

La dérivée temporelle d'une variable est indiquée par un point noté au-dessus de celle-ci.


Dans ce cadre, les équations d'Euler-Lagrange sont équivalentes à

\frac{\mathrm d~}{\mathrm dt} \ \left( \, \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_i} \, \right) \ - \ \frac{\partial L}{\partial x_i} \ = \ 0

où l'indice i désigne l'une des 3 variables spatiales.


En effet, les équations d'Euler-Lagrange s'écrivent explicitement

 m \, \ddot{x}_i \ + \ \frac{\partial V}{\partial x_i} \ = \ 0

et les dérivées respectives de L(\vec{x}, \dot{\vec{x}}) donnent :

 \frac{\partial L}{\partial x_i} \ = \ - \ \frac{\partial V}{\partial x_i}
 \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_i} \ = \ \frac{\partial ~}{\partial \dot{x}_i} \, \left( \, \frac{1}{2} \ m \ \dot{\vec{x}}^2 \, \right) \ = \ m \, \dot{x}_i
\frac{\mathrm d~}{\mathrm dt} \ \left( \, \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_i} \, \right) \ = \ m \, \ddot{x}_i


Dans un référentiel galiléen et lorsque la force dérive d'un potentiel

\vec{F} \ = \ - \ \vec{\nabla} V(x)

les approches lagrangienne et newtonienne sont donc équivalentes par la deuxième loi de Newton

m \ \ddot{\vec{x}} \ = \ \vec{F}

En coordonnées sphériques[modifier | modifier le code]

Soit un espace à trois dimensions en coordonnées sphériques (r,\theta,\varphi), et le lagrangien :

L = \frac{m}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2 +r^2\sin^2\theta\dot{\varphi}^2)-V(r, \theta, \varphi).

Les équations d'Euler-Lagrange s'écrivent alors :

\frac{d}{dt}(\frac{\delta(L)}{\delta(\dot{r})}) - \frac{\delta(L)}{\delta(r)} = 0
\frac{d}{dt}(\frac{\delta(L)}{\delta(\dot{\theta})}) - \frac{\delta(L)}{\delta(\theta)} = 0
\frac{d}{dt}(\frac{\delta(L)}{\delta(\dot{\varphi})}) - \frac{\delta(L)}{\delta(\varphi)} = 0

Soit ici:

m\ddot{r}-mr(\dot{\theta}^2+\sin^2\theta\dot{\varphi}^2) + V_r' =0,
(mr^2\ddot{\theta}) -mr^2\sin\theta\cos\theta\dot{\varphi}^2 + V_{\theta}'=0,
mr^2\sin^2\theta\ddot{\varphi} + V_{\varphi}' =0.

Ici l'ensemble des paramètres s_i se réduit au temps t, et les variables dynamiques \phi_i(s) sont les trajectoires \vec x(t) des particules.

Lagrangiens et densités de lagrangien dans la théorie des champs[modifier | modifier le code]

Dans la théorie des champs, on distingue parfois le lagrangien L, dont l'intégrale sur le temps est l'action :

S = \int{L \,\mathrm dt}

et la densité lagrangienne \mathcal{L}, qu'on intègre sur tout l'espace pour obtenir l'action :

S [\varphi_i] = \int{\mathcal{L} [\varphi_i (x)]\,\mathrm d^4x}

Le lagrangien est ainsi l'intégrale spatiale de la densité lagrangienne. Cependant, on appelle souvent \mathcal{L} simplement le lagrangien, surtout dans l'usage moderne. C'est plus simple dans les théories relativistes où l'espace est défini localement. Ces deux types de lagrangiens peuvent être vus comme des cas particuliers d'une formule plus générale, selon qu'on introduit la variable spatiale \vec x dans les index i ou dans les paramètres s pour écrire \varphi_i(s). Les théories quantiques des champs en physique des particules, comme l'électrodynamique quantique, sont généralement écrites en termes de densités de lagrangiens \mathcal{L}, ces termes se transformant facilement pour donner les règles permettant d'évaluer les diagrammes de Feynman.

Lagrangien électromagnétique[modifier | modifier le code]

En général, en mécanique lagrangienne, le lagrangien vaut:

 L = T - V

T est l'énergie cinétique et V l'énergie potentielle.

Étant donnée une particule chargée électriquement de masse m et charge q, et de vitesse \vec{v} dans un champ électromagnétique de potentiel scalaire \phi, et de potentiel vecteur \vec{A}, l'énergie cinétique de la particule est :

 T = {1 \over 2} m \vec{v} \cdot \vec{v}

et son énergie potentielle est:

 V = q\phi - q \vec{v} \cdot \vec{A}

Le lagrangien électromagnétique est alors:

 L = {1 \over 2} m \vec{v} \cdot \vec{v}  - q\phi + q \vec{v} \cdot \vec{A} .

Lagrangiens en théorie quantique des champs[modifier | modifier le code]

Le lagrangien de Dirac[modifier | modifier le code]

La densité lagrangienne pour un champ de Dirac (en) est :

 \mathcal{L} = \bar \psi (i \hbar c \not\!D - mc^2) \psi

\psi est un spineur,  \bar \psi = \psi^\dagger \gamma^0 est son adjoint de Dirac, D est la dérivée covariante de jauge, et \not\!D est la notation de Feynman pour  \gamma^\sigma D_\sigma .

Le lagrangien de l'électrodynamique quantique[modifier | modifier le code]

La densité lagrangienne en QED est :

 \mathcal{L}_{\mathrm{QED}} = \bar \psi (i \hbar c\not\!D - mc^2) \psi - {1 \over 4\mu_0} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu}

F^{\mu \nu} est le tenseur électromagnétique.

Le lagrangien de la chromodynamique quantique[modifier | modifier le code]

La densité lagrangienne en QCD est[1],[2],[3] :

 \mathcal{L}_{\mathrm{QCD}} = \sum_n \bar \psi_n (i \hbar c\not\!D - m_n c^2) \psi_n - {1\over 4} G^\alpha {}_{\mu\nu} G_\alpha {}^{\mu\nu}

D est la dérivée covariante de jauge en QCD, et  G^\alpha {}_{\mu\nu} est le tenseur de la force du champ du gluon.

Formalisme mathématique[modifier | modifier le code]

Soit M une variété de dimension n, et une variété de destination T. Soit \mathcal{C} l'espace de configuration de la fonction continue s de M dans T.

Avant tout donnons quelques exemples :

  • En mécanique classique, dans le formalisme d'Hamilton, M est la variété de dimension 1 \mathbb{R}, qui représente le temps, et l'espace de destination est le fibré cotangent de l'espace des positions généralisées.
  • Dans la théorie des champs, M est la variété espace-temps et l'espace de destination est l'ensemble des valeurs possibles des champs en chaque point. Si par exemple il y a m champs scalaires réels φ1,...,φm, alors la variété de destination est \R^m. Si on a un champ de vecteurs réels, la variété de destination est isomorphe à \mathbb{R}^n. Il y a en fait une manière plus élégante d'utiliser le fibré tangent, mais on s'en tiendra à cette version.

Supposons maintenant qu'il existe une fonctionnelle S:\mathcal{C}\rightarrow\mathbb{R}, qu'on appelle l'action physique. C'est une application vers \mathbb{R}, et non vers \mathbb{C}, pour des raisons physiques.

Pour que l'action soit locale, nous avons besoin de restrictions supplémentaires sur l'action. Si \varphi\in\mathcal{C}, on impose que S[φ] soit l'intégrale sur M d'une fonction de φ, de ses dérivées et des positions qu'on appelle le lagrangien \mathcal{L}(\varphi,\partial\varphi,\partial\partial\varphi, ...,x). En d'autres termes,

\forall\varphi\in\mathcal{C}\, S[\varphi]\equiv\int_M d^nx \mathcal{L}(\varphi(x),\partial\varphi(x),\partial\partial\varphi(x), ...,x).

La plupart du temps, on impose que le lagrangien dépende uniquement de la valeur des champs, de leur dérivées premières, mais pas des dérivées d'ordre supérieur. C'est en fait seulement par commodité, et ce n'est pas vrai en général. Nous le supposons cependant dans le reste de cet article.

Fixons des conditions aux limites, essentiellement la donnée de φ aux frontières si M est compact, ou une limite pour φ quand x tend vers l'infini (ce qui est pratique lors d'intégrations par parties). Le sous-espace de \mathcal{C} des fonctions φ telles que toutes les dérivées fonctionnelles de l'action S en φ soient 0 et que φ satisfasse aux conditions aux limites, est l'espace des solutions physiques.

La solution est donnée par les équations d'Euler-Lagrange (en utilisant les conditions aux limites) :

\frac{\delta}{\delta\varphi}S=-\partial_\mu
 \left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\varphi)}\right)+ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\varphi}=0.

On retrouve la dérivée fonctionnelle par rapport à φ de l'action dans le membre de gauche.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. http://www.fuw.edu.pl/~dobaczew/maub-42w/node9.html
  2. http://smallsystems.isn-oldenburg.de/Docs/THEO3/publications/semiclassical.qcd.prep.pdf
  3. http://www-zeus.physik.uni-bonn.de/~brock/teaching/jets_ws0405/seminar09/sluka_quark_gluon_jets.pdf