Mode normal

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Visualisation d'un mode normal de vibration d'une peau de tambour, constitué d'une membrane circulaire souple attachée rigidement sur la totalité de ses bords. Voir d'autres modes.

Dans un système oscillatoire à plusieurs degrés de liberté, un mode normal ou mode propre d'oscillation est une des fréquences auxquelles un système excitable (micro ou macroscopique) peut osciller après avoir été perturbé au voisinage de son état d'équlibre stable[R 1] ; c'est une des fréquences naturelles de vibration. Tout objet physique, comme une corde vibrante, un pont, un bâtiment ou encore une molécule possède un certain nombre, parfois infini, de modes normaux de vibrations qui dépendent de sa structure, de ses constituants ainsi que des conditions aux limites qui lui sont imposées. Le nombre de modes normaux est égal à celui des degrés de liberté du système.

Le mouvement le plus général d'un système est une superposition de modes normaux. Le terme "normal" indique que chacun de ces modes peut vibrer indépendamment des autres, c'est-à-dire que l'excitation du système dans un mode donné ne provoquera pas l'excitation dans les autres modes[N 1]. En d'autres termes, la décomposition en modes normaux de vibrations permet de considérer le système comme un ensemble d'oscillateurs harmoniques indépendants dans l'étude de son mouvements au voisinage de sa position d'équilibre stable.

Si le système est soumis à une excitation externe, il est possible d'entrer en résonance avec chacune des fréquences propres associées aux différents modes normaux. Cette considération est très importantes en génie civil, où il est important de déterminer ces fréquences propres afin de s'assurer que dans les conditions normales d'utilisation de la structure, elle ne sera pas soumises à des excitations dans le domaines de fréquences correspondant à un ou plusieurs modes propres. Ceci permet d'éviter que la structure entre en résonance et permet d'éviter des situations potentiellement dangereuses.

Au-delà de la théorie des oscillations mécaniques ou électriques, le concept de mode normal possède une importance fondamentale: il a servi de paradigme ayant permis de développer les concepts d'état propre en mécanique quantique, ou encore celui de photon dans le cadre de la quantification du champ électromagnétique, laquelle peut être effectuée en décomposant le champ classique en "modes normaux" qui sont ensuite quantifiés[R 2]

Mise en évidence des modes normaux: oscillateurs mécaniques couplés[modifier | modifier le code]

La notion de mode normal peut être mise en évidence dans un cas concret, celui de deux oscillateurs harmoniques couplés, en considérant deux systèmes masse-ressort, de mêmes masses m_1=m_2=m. Celles-ci sont reliées chacune à un support rigide par des ressorts de mêmes raideurs notée k, et couplées par un autre ressort de raideur K. L'ensemble peut se déplacer horizontalement avec des frottements négligeables (cf. figure ci-dessous).

Coupled Harmonic Oscillator.svg

Aspects expérimentaux[modifier | modifier le code]

Expérimentalement, il est possible d'observer les éléments suivants:

  • si les masses sont mises en mouvement de façon quelconque, elles oscillent chacune avec un mouvement complexe qui n'est pas purement sinusoïdal[N 2];
  • toutefois, si à l'instant initial les masses sont écartées par rapport à leur position d'équilibre de la même distance, et dans le même sens, puis relâchées sans vitesse, elles oscillent toutes deux de façon harmonique à la fréquence \omega_1=\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}, égale à celle d'un système masse-ressort "isolé";
  • si en revanche, elles sont écartées initialement de la même distance, mais dans des sens opposés, puis relâchées là encore sans vitesse, les deux masses oscillent de façon harmonique à une fréquence \omega_2>\omega_1, les mesures permettant de montrer la relation \omega_2=\sqrt{\frac{k+2K}{m}}.

Ainsi, l'expérience met en évidence dans ce cas simple deux types de mouvements harmoniques "purs", associés chacun à deux fréquences particulières, obtenus pour des conditions initiales précises: ceux-ci correspondent aux deux modes normaux, appelés aussi "modes propres", du système. Une analyse plus poussée des résultats expérimentaux permettrait de montrer que le mouvement obtenu pour des conditions initiales quelconques est une superposition des mouvements harmoniques correspondants aux deux modes normaux mis en évidences, affectées chacun d'amplitudes et de phases à l'origine différentes.

Équations du mouvement et mise en évidence des modes normaux[modifier | modifier le code]

Les déplacements par rapport à la position d'équilibre statique où tous les ressorts sont détendus, sont notés x_1(t) et x_2(t). Le système est donc à deux degrés de liberté, et l'application de la relation fondamentale de la dynamique à chacune des deux masses permet d'obtenir les équations du mouvement:


m \ddot x_1 = - k x_1 + K(x_2 - x_1) \,\!

m \ddot x_2 = - k x_2 - K (x_2 - x_1)\,\!

Ces équations constituent un système d'équations différentielles linéaires (à coefficients constants) couplées: ceci traduit la dépendance du mouvement d'une des masses avec l'autre, causée par la présence du ressort de couplage central.

Il est cependant aisé de découpler le système en considérant respectivement la somme et la différence membre à membre de ces deux équations, ce qui revient à introduire de nouvelles coordonnées dites normales:

X_1=x_1+x_2 \,\!,
X_2=x_2-x_1 \,\!,

relations qui s'inversent aussitôt en:

x_1=\frac{1}{2}\left(X_1-X_2\right) \,\!,
x_2=\frac{1}{2}\left(X_1+X_2\right) \,\!,

En utilisant les variables normales X_1 et X_2 les équations du mouvement se réécrivent sous la forme d'un système d'équations différentielles découplées, décrivant l'évolution de deux oscillateurs harmoniques indépendants:


m \ddot X_1 = - k X_1 \,\!
,
m \ddot X_2 = - (k +2K) X_2\,\!
,

soit encore en introduisant les fréquences propres des deux modes normaux \omega_{01}=\sqrt{\frac{k}{m}} et \omega_{02}=\sqrt{\frac{k+2K}{m}}:


\ddot X_1 + \omega_{01}^2X_1 = 0\,\!
,
\ddot X_2 + \omega_{02}^2 X_2= 0\,\!
.

La résolution des ces équations est immédiate, et il vient aussitôt:

X_1(t)=X_{1m}\cos{(\omega_{01}t+\phi_1)} \,\!,
X_2(t)=X_{2m}\cos{(\omega_{02}t+\phi_2)} \,\!,

X_{1m},X_{2m},\phi_1,\phi_2 sont des constantes dépendant des conditions initiales imposées au système. Par suite, le mouvement le plus général est celui d'une superposition de deux oscillations harmoniques de fréquences \omega_{01} et \omega_{02} correspondant à celles des modes normaux de vibration du système:

x_1(t)=\frac{1}{2}\left(X_{1m}\cos{(\omega_{01}t+\phi_1)}-X_{2m}\cos{(\omega_{02}t+\phi_2)}\right) \,\!,
x_2(t)=\frac{1}{2}\left(X_{1m}\cos{(\omega_{01}t+\phi_1)}+X_{2m}\cos{(\omega_{02}t+\phi_2)}\right) \,\!.

Interprétation physique des modes normaux[modifier | modifier le code]

Il est important de souligner que si les conditions initiales sont telles que le système oscille dans un mode normal donné, i.e. si X_{1m}=0 ou X_{2m}=0, le système restera dans ce mode pendant la suite de l'évolution ultérieure. Ce résultat est bien entendu lié au fait que les équations du mouvements correspondant aux coordonnées normales correspondent à des oscillateurs harmoniques indépendants.

Il est facile de vérifier qu'il est possible de faire osciller chacune des masses dans le premier mode normal (X_1(t), de fréquence \omega_{01} en déplaçant initialement chacune des masses de la même distance et dans le même sens, puis en les relâchant sans vitesse, ce qui correspond aux conditions initiales x_1(t=0)=x_2(t=0)=x_0 et \dot{x_1}(t=0)=\dot{x_2}(t=0)=0. Dans ce cas il vient X_{1m}=2x_0, X_{2m}=0 et \phi_1=\phi_2=0, et le système oscille donc dans ce mode propre à la fréquence propre \omega_{01} qui correspond en fait à celle de chacun des systèmes masse-ressort découplés. Physiquement l'oscillation dans un tel mode correspond à un déplacement simultané, en phase, des deux masses, sans déformation du ressort de couplage: ceci est en réalité la conséquence du fait que X_1(t) décrit le déplacement du centre d'inertie du système. Ce mode propre est souvent qualifié de symétrique en raison de ses caractéristiques.

L'oscillation des masses selon le second mode normal est obtenue en écartant chacune des deux masses dans des sens opposés et de la même distance absolue, puis en les relâchant sans vitesse, soit pour des conditions initiales x_2(t=0)=-x_1(t=0)=x_0 et \dot{x_1}(t=0)=\dot{x_2}(t=0)=0. Dans ce cas il vient X_{1m}=0, X_{2m}=2x_0 et \phi_1=\phi_2=0. Les deux masses oscillent en opposition de phase à la fréquence propre \omega_{02}, avec la même amplitude: par suite le centre d'inertie du système est fixe lorsqu'il y a oscillation dans un tel mode, qualifié souvent d'antisymétrique en raison de ses propriétés.

Méthode matricielle[modifier | modifier le code]

La mise en évidence des modes normaux peut également se faire en utilisant une méthode matricielle. Les équations du mouvement précédentes peuvent se mettre sous la forme:

m\ddot{\vec{x}}=\begin{bmatrix} -(k+K) & K \\ K & -(k+K)\end{bmatrix}\vec{x},

avec \vec{x}=\begin{pmatrix} x_1(t) \\ x_2(t)\end{pmatrix}.

Le principe est alors de rechercher des solutions harmoniques de fréquence \omega à cette équation différentielle matricielle, en posant \vec{x}_{\omega}=\vec{x_m} e^{j\omega t}, où \vec{x_m}=\begin{pmatrix} X_{1m} \\ X_{2m}\end{pmatrix} est un vecteur constant contenant les amplitudes des oscillations, et j^2=-1. Il est évident que \ddot{\vec{x}}_{\omega}=-\omega^2\vec{x}_{\omega} et l'équation matricielle se ramène alors à une équation aux valeurs propres:

[K]\vec{x}_{\omega}=-m\omega^2\vec{x}_{\omega},

[K]=\begin{bmatrix} -(k+K) & K \\ K & -(k+K)\end{bmatrix} est la "matrice des raideurs" dont \vec{x}_{\omega} est vecteur propre correspondant à la valeur propre -m\omega^2[N 3]. Par suite \omega sera solution de l'équation:

det\left([K]+m\omega^2\hat{1}\right)=0, avec \hat{1} matrice 2x2 unité. Les valeurs obtenues pour les fréquences des modes propres sont évidemment les mêmes que celles du paragraphe précédent. Les expressions des modes propres sont obtenues en considérant les vecteurs propres associés à chacune des valeurs propres.

Cette méthode présente l'avantage de pouvoir être généralisée, au moins en théorie, à un nombre quelconque de degrés de libertés et à des situations plus générales, avec des masses ou raideurs différentes, ou encore d'autre type d'oscillateurs couplés, par exemple électrique. Elle peut cependant résulter en des calculs assez lourds, nécessitant le recours à des méthodes de calcul numérique.

Généralisation à un système à plusieurs degrés de liberté[modifier | modifier le code]

Les notions précédentes peuvent se généraliser aux oscillations libres au voisinage d'une position d'équilibre stable d'un système comportant N degrés de libertés, correspondant aux coordonnées et vitesses généralisées[N 4] notées q=\left(q_1,q_2,...,q_N\right) et \dot{q}=\left(\dot{q_1},\dot{q_2},...,\dot{q_N}\right), considéré comme conservatif, c'est-à-dire où les termes de dissipation d'énergie sont négligés, et sans interaction avec un champ extérieur. Le formalisme de la mécanique analytique, en l'occurrence le formalisme lagrangien, est le plus adapté pour procéder à une telle généralisation.

Expression du lagrangien au voisinage d'une position d'équilibre stable[modifier | modifier le code]

De façon générale le lagrangien d'un tel système est de la forme[R 3]

L(q,\dot{q})=T(q,\dot{q})-U(q),

T(q,\dot{q}) correspond à l'énergie cinétique totale du système, qui s'écrit de façon générale:

T(q,\dot{q})=\frac{1}{2}\sum_{i,j}{a_{ij}(q)\dot{q}_i\dot{q}_j},

les indices i et j allant de 1 à N, et les quantités a_{ij} étant telles que a_{ij}=a_{ji}[N 5],[N 6],[N 7].

Si q_0=\left(q_{10},q_{20},...,q_{N0}\right) correspond à une position d’équilibre stable du système, l'énergie potentielle U(q) est minimale pour celle-ci, et il est possible de façon générale de développer (q) au voisinage de q_0, ce qui donne:

U(q)\approx U(q_0)+\frac{1}{2}\sum_{i,j}{k_{ij}\left(q_i-q_{i0}\right)\left(q_j-q_{j0}\right)},

les coefficients k_{ij}[N 8] étant symétriques (k_{ij}=k_{ji}), et tels que la forme quadratique soit définie positive[N 9], en accord avec le fait que q_0=\left(q_{10},q_{20},...,q_{N0}\right) correspond à un minimum de l'énergie potentielle[N 10]. Il est alors utile de prendre q_0=\left(q_{10},q_{20},...,q_{N0}\right) pour origines de l'énergie potentielle et des coordonnées, en posant x_i=q_i-q{i0}, ce qui donne pour l'expression de l'énergie potentielle au voisinage de la position d'équilibre stable du système:

U(x)\approx\frac{1}{2}\sum_{i,j}{k_{ij}x_ix_j}.

Par ailleurs en posant q_i\approx q_{i0} dans les coefficients a_{ij} de l'expression de l'énergie cinétique, il vient l'expression approchée au même ordre de celle-ci:

T(\dot{x})\approx\frac{1}{2}\sum_{i,j}{m_{ij}\dot{x}_i\dot{x}_j},

m_{ij}=a_{ij}(q_0). Il est important de noter que ces coefficients n'ont pas nécessairement les dimensions d'une masse, pas plus que les k_{ij} n'ont celles d'une raideur en général. Toutefois il est facile de vérifier que dans tous les cas les quantités \sqrt{\frac{k_{ij}}{m_{ij}}} ont les dimension d'une fréquence.

Équations du mouvement - Équation caractéristique des modes propres[modifier | modifier le code]

Au voisinage d'une position d'équilibre stable le lagrangien d'un système conservatif à plusieurs degrés de liberté s'écrit alors:

L(x,\dot{x})=\frac{1}{2}\sum_{i,j}{m_{ij}\dot{x}_i\dot{x}_j-\frac{1}{2}\sum_{i,j}{k_{ij}x_ix_j}},

et en tenant compte de la symétrie des constantes m_{ij} et k_{ij} les équations du mouvement de Lagrange correspondantes sont données par:

\sum_{j}{m_{ij}\ddot{x}_j}=-\sum_{j}{k_{ij}x_j}, i=1,...,N.

Il s'agit donc d'un système d'équations différentielles linéaires couplées, à coefficients constants: il est possible de rechercher des solutions sinusoïdales à ce système, en posant (en notation complexe) \underline{x}_j(t)=\underline{A}_je^{i\omega t}, ce qui implique \ddot{\underline{x}}_j(t)=-\omega^2\underline{x}_j(t), les amplitudes complexes \underline{A}_j étant solution d'un système d'équations linéaires de la forme:

\sum_{j}{\left(k_{ij}-\omega^2 m_{ij}\right)\underline{A}_j}=0, j=1,...,N.

Un tel système n'a de solution non triviale (i.e. telle que \underline{A}_j\ne 0) que si les fréquences \omega sont solutions de l'équation caractéristique:

det\left(k_{ij}-\omega^2 m_{ij}\right)=0.

Les fréquences[N 11] \omega_j solution de cette équation sont celles des modes propres du système: en général ils sont au nombre de N, mais certaines fréquences peuvent être égales (dégénérescence de mode). Le système d'équations sur les amplitudes complexes \underline{A}_j peut alors être résolu et de façon générale N variables normales X_j(t), combinaisons linéaires de x_j(t) peuvent être introduites, découplant le système d'équations différentielles. Physiquement, pour de petites oscillations au voisinage d'une position d'équilibre stable d'un système conservatif à N degrés de liberté, le problème se ramène à une collection de N oscillateurs harmoniques indépendants correspondants aux différentes fréquences propres \omega_j.


Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Du moins en l'absence d'effets non-linéaires, comme la présence d'anharmonicités, qui pourront conduire à "mixer" les modes entre eux.
  2. Cf. pour des exemples le lien suivant: oscillateurs masse-ressort couplés.
  3. Ces valeurs propres sont réelles puisque [K] est une matrice symétrique à éléments réels.
  4. Il est important de noter que ces coordonnées ou vitesses généralisées n'ont pas nécessairement les dimensions d'une longueur ou d'une vitesse "ordinaire": elles peuvent par exemple correspondre à des angles ou des vitesses angulaires.
  5. Les dimensions de a_{ij}(q) dépendent de celles des \dot{q}_{i}.
  6. Ainsi par exemple, pour le pendule double l'énergie cinétique est donnée par \begin{align} T\left(\theta,\dot{\theta}\right) =\frac{1}{2}(m_1+m_2)l_1^2\dot{\theta}_1^2 +\frac{1}{2}m_2l_2^2\dot{\theta}_2^2 \\ +m_2l_1l_2\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2) \end{align}
,

    ce qui correspond bien à la forme proposée, avec a_{11}=m_1l_1^2, a_{22}=m_2l_2^2, et a_{12}=a{21}=\tfrac{1}{2}m_2 l_1 l_2 \cos{\left(\theta_1-\theta_2\right)}. Dans ce cas les a_{ij} ont les dimensions de moments d'inertie.
  7. Les a_{ij} doivent être tels que la forme quadratique en \dot{q}_{i,j} soit définie positive.
  8. Dont les dimensions dépendent de celles des q_i.
  9. C'est-à-dire que l'on a pas nécessairement k_{ij}>0 dans tous les cas, mais que pour tout q_i,q_j on a \sum_{i,j}{(q_i-q_{i0})k_{ij}(q_j-q_{j0})}>0.
  10. Les grandeurs k_{ij} correspondent aux différents termes de la matrice hessienne des dérivées partielles secondes de U\left(q_{10},q_{20},...,q_{N0}\right), ainsi k_{ij}=\frac{\partial^2 U}{\partial q_i\partial q_j}, le caractère symétrique de ces coefficients suppose donc que l'ordre de dérivation partielle n'importe pas, ce qui nécessite juste de supposer que ces dérivées secondes sont continues (cf. théorème de Schwarz), ce qui vérifié pour les potentiels physiques
  11. Il a déjà été remarqué que \sqrt{\frac{k_{ij}}{m_{ij}}} a toujours les dimensions d'une fréquence.

Références[modifier | modifier le code]

  1. Cf. Meirovitch, Elements of vibration analysis, 2nd ed., Mac Graw Hill, 1986.
  2. Cf. Cohen-Tannoudji, Dupont-Roc, Grynberg, Photons et atomes - Introduction à l'électrodynamique quantique, EDP Sciences, 1987, ISBN 978-2-86-883535-2.
  3. Cf. Lev Landau et Evgueni Lifchits, Physique théorique, éd. MIR, Moscou [détail des éditions], chapitre V.