Opérateur de Fredholm
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En mathématiques, l'opérateur de Fredholm est un concept d'analyse fonctionnelle qui porte le nom du mathématicien suédois Ivar Fredholm (1866-1927). Il s'agit d'un opérateur borné L entre deux espaces de Banach X et Y ayant un noyau de dimension finie et une image de codimension finie. On peut alors définir l'indice de l'opérateur comme
Sous ces hypothèses, l'espace image de L est fermé (il admet même un supplémentaire topologique).
Propriétés des opérateurs de Fredholm
- Stabilité de l'indice
L'ensemble des opérateurs de Fredholm entre deux espaces de Banach X et Y constitue un ouvert de l'espace des opérateurs bornés muni de la norme d'opérateur. Plus précisément, ajouter à un opérateur de Fredholm L donné un opérateur de norme suffisamment petite redonne un opérateur de Fredholm de même indice.
Ajouter à un opérateur de Fredholm un opérateur compact redonne également un opérateur de Fredholm de même indice.
- Composition
La composition de deux opérateurs de Fredholm donne un opérateur de Fredholm, d'indice égal à la somme des deux composants.
- Inversion
Tout opérateur de Fredholm est inversible modulo des opérateurs de rangs finis.
- Transposition
L'opérateur transposé d'un opérateur de Fredholm de X dans Y est un opérateur de Fredholm de Y' dans X', d'indice opposé.
Références
Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions]
